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    三角函數(shù)最值問題

    2016-11-11 01:13:34石井臣
    考試周刊 2016年85期
    關(guān)鍵詞:最值問題三角函數(shù)

    石井臣

    摘 要: 三角函數(shù)一直是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn),也是難點(diǎn),它的最值問題在考試中屢見不鮮,在幾年來的單招考試中經(jīng)常出現(xiàn).其出現(xiàn)形式多種多樣,有較強(qiáng)的變化性,或者在小題中單純考察三角函數(shù)的值域問題;或者隱含在解答題中,作為解決解答題所用的知識(shí)點(diǎn)之一;或者解決某一問題時(shí),應(yīng)用三角函數(shù)有界性會(huì)使問題更易于解決.

    關(guān)鍵詞: 三角函數(shù) 最值問題 例題分析

    三角函數(shù)一直是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn),也是難點(diǎn),它的最值問題在考試中屢見不鮮,幾年來的單招考試經(jīng)常出現(xiàn).出現(xiàn)形式多種多樣,有較強(qiáng)的變化性,或者在小題中單純考察三角函數(shù)的值域問題;或者隱含在解答題中,作為解決解答題所用的知識(shí)點(diǎn)之一;或者解決某一問題時(shí),應(yīng)用三角函數(shù)有界性會(huì)使問題更易于解決.主要有以下幾種類型:

    1.形如y=msinx+ncosx型的函數(shù)

    該表達(dá)式是含有正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的函數(shù),并且都是一次的.解決此類問題的指導(dǎo)思想是利用兩角和的三角函數(shù)公式把該式化成一個(gè)角的三角函數(shù)后再求最值.

    化函數(shù)形式為y=sin(x+φ),其中tanφ=(m≠0).

    例1.函數(shù)y=4sinx+3cosx的最值是(D)

    A.最大值是7,最小值是-7 B.最大值是4,最小值是-4

    C.最大值是3,最小值是-3 D.最大值是5,最小值是-5

    分析:化函數(shù)為y=sin(x+φ),即y=5sin(x+φ),其中tanφ=,再根據(jù)正弦函數(shù)值域求出次函數(shù)最大值和最小值.

    2.與二次函數(shù)相類似函數(shù)y=asinx+bsinx+c的最值

    特點(diǎn)是含有正弦函數(shù)和余弦函數(shù)且形如二次函數(shù).

    此種類型函數(shù)最值解法:①根據(jù)同角平方關(guān)系式首先統(tǒng)一函數(shù)名稱;②利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù);③根據(jù)換元后的變量的取值范圍確定此函數(shù)的最值.

    例2.求函數(shù)y=cosx+cosx的最值.

    解:令cosx=m,則函數(shù)可化成y=m+m,

    又因?yàn)?1≤cosx≤1,所以-1≤m≤1。至此把函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為有條件的二次函數(shù)最值問題。

    y=m+m的對(duì)稱軸為m=-,可得:

    當(dāng)m=-時(shí),函數(shù)取得最小值y=(-)+(-)=-;

    當(dāng)m=1時(shí),函數(shù)取得最大y=1+1=2.

    3.含有sinx、cosx的二次齊式函數(shù)最值問題

    例3.求y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小值.

    解:y=sinx+2sinxcosx+3cosx

    =(sinx+cosx)+2sinxcosx+2cosx

    =1+sin2x+1+cos2x=2+sin(2x+)

    當(dāng)sin(2x+)=-1時(shí),y取最小值2-.

    4.形如y=的函數(shù)最值問題

    例4.求函數(shù)y=的最大值和最小值.

    分析:代數(shù)式表示的是過點(diǎn)(2,2)與點(diǎn)(cosx,sinx)的直線的斜率,而點(diǎn)(cosx,sinx)是單位圓上的點(diǎn),觀察圖形可以得出最值的求法,數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中常用的一種解題方法.

    解:?jiǎn)挝粓A的方程x+y=1,設(shè)過點(diǎn)(2,2)的直線斜率為k,則直線方程為y=k(x-2)+2,看圖知當(dāng)直線與圓相切時(shí)斜率分別取得最大和最小值.聯(lián)立兩方程消變量y得:

    (1+k)x+(4k-4k)x+4k-8k+3=0.

    令判別式△=-4(3k-8k+3)=0,得k==,

    最大值為,最小值為.

    例5.求y=cosx+sinx+2sinxcosx的最大值.

    解:運(yùn)用奇妙的換元,令sinx+cosx=t,-≤t≤,平方整理可得sinxcosx=,原式化為y=t+t-1,化為二次函數(shù)的條件最值問題.對(duì)稱軸方程:t=-,所以,當(dāng)t=時(shí),函數(shù)取得最大值y=2+-1=+1.

    通過歸納整理,大家對(duì)三角函數(shù)的最值問題不會(huì)非常陌生了,當(dāng)然有關(guān)三角函數(shù)的問題很廣,類型繁多,以上幾種類型是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的情形,遇到陌生題目類型,應(yīng)該堅(jiān)持化未知變已知,通過換元或者數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)方法解決問題.

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