萬變不離本質(zhì) 殊途終須同歸

潘吉麗

[摘 要] 在數(shù)學教學中，數(shù)學問題千變?nèi)f化錯綜復雜，其實很多問題，只要我們抓住圖形的幾何特征，探索圖形變化過程中的變與不變，挖掘問題內(nèi)涵本質(zhì)，提煉其解題規(guī)律及思想方法，就可以將問題迎刃而解.

[關鍵詞] 線段；最值問題；應用

筆者對《寧波市2016年初中畢業(yè)生學業(yè)考試說明》中利用“圓外一點到圓上點的最大距離和最小距離”模型求線段最值問題的應用進行了初淺分析和研究，這類問題起點高，將多個幾何圖形融合在一起，學生無從下手，總找不到合適的處理方法，那么如何解決這類問題呢？我們發(fā)現(xiàn)解決如此難的問題，只要掌握分析問題和解決問題的一些基本方法和技巧，充分利用已知條件，滲透轉(zhuǎn)化思想，可將這些最值問題最終轉(zhuǎn)化為同一相應的數(shù)學模型進行求解.

模型：如圖1所示，點P為⊙O外一點，則點P到⊙O上各點距離的最大值為線段PB的長，最小值為PA的長（直線PB經(jīng)過圓心O）.

無中生圓用模型

例1： 如圖2所示，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，點P為等腰直角三角形ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足PA⊥PB，則PC的取值范圍是______.

分析：本題變化的量比較多，不變的是∠AOD=30°和AB=3，因為AB=3為定值，AB所對的張角∠AOD=30°是個定角，所以可將點O看成△OAB的外接圓⊙O′上的動點，要求CO的最大值可轉(zhuǎn)化到“圓外一點到圓上點的最小距離和最大距離”模型來求解. 如圖5，過點A，O，B三點作輔助圓⊙O′，因為∠AOD=30°，所以∠AO′B=60°，可知△ABO′為等邊三角形. 易證四邊形O′ACB為菱形，因此O′C=3，OO′=3. 故OC的最大值就是O′C+OO′，從而可求出點C到原點O的最大值為3+3.

解題就要抓住問題的本質(zhì)及關鍵點，例1中有直角，根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”，由直角可直接聯(lián)想到作輔助圓，即點P的運動軌跡是一個圓；例2中有定角和定線段，根據(jù)“圓中相等的圓周角所對的弦相等”可將點O看成△OAB外接圓⊙O′上的動點. 數(shù)學的一個最大魅力就是知識間的互相滲透和運用，這兩道例題使我們充分感受到了輔助圓的巨大作用. 作出輔助圓后可以利用“圓外一點到圓上的點的最小距離和最大距離”模型求解. 巧妙地構(gòu)造輔助圓是靈活運用數(shù)學模型解決問題的關鍵，我們必須抓住問題本質(zhì)條件，掌握解題方法，這樣才能很快把問題化繁為簡、化難為易.

構(gòu)造相似套模型

隨著問題的層層深入，例3、例4難度又進了一步，此兩題條件中變化的量多，動靜結(jié)合，不光是直接利用模型求解，還要我們觀察、發(fā)現(xiàn)、分析數(shù)學模型，不流于形式，而此時例3、例4解題的重心放在了利用構(gòu)造相似方法轉(zhuǎn)化到求線段的最小值，即先通過相似三角形的對應邊成比例轉(zhuǎn)化到求線段的最小值，再利用模型“圓外一點到圓上點的最小距離和最大距離”求出線段的最小值，此過程讓我們充分體會基本問題知識的類比與遷移，由現(xiàn)象到本質(zhì)地加以引導，始終想辦法如何運用已知條件把要求線段的最值問題轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學模型來求解.

轉(zhuǎn)化思想歸模型

例5：如圖10所示，點P的坐標為（3，4），⊙P的半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點M是⊙P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是______.

例5的解題重心放在了數(shù)學轉(zhuǎn)化的思想上，A（2.8，0），B（5.6，0）隱含了中點條件. 通過三角形中位線策略轉(zhuǎn)化到要求的線段AC的最小值，體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，揭示了數(shù)學的本質(zhì)，在運用模型的過程中并注意與之相伴的“數(shù)學思想方法”的滲透. 我們應充分挖掘問題的本質(zhì)條件，使原來較為抽象、隱含的條件清晰地顯現(xiàn)出來，讓如此復雜的題目變得如此簡單，達到事半功倍的效果. 盡管題目靈活多變，但始終不變的是如何創(chuàng)造條件靈活地運用模型，并運用數(shù)學轉(zhuǎn)化思想把要解決的問題化歸到相應的數(shù)學模型，即解決問題的本質(zhì)方法不變.

總之，授人以魚，不如授人以漁，在數(shù)學教學中，要與學生共同探討基本問題模型與解題的聯(lián)系，還原知識的發(fā)生、發(fā)展及形成過程，使學生對數(shù)學中隱含的本質(zhì)有深刻的理解. 恰當?shù)剡\用數(shù)學模型方法，可以將紛繁復雜的問題化歸為我們熟悉的數(shù)學模型進行求解. 不論題目如何變化，只要我們抓住了解決問題的本質(zhì)方法，便所有作法都相同. 真所謂題目萬變，最終解決問題的方法卻殊途同歸.