無中生圓，圓滿解題

韓菲菲

[摘 要] 對(duì)于表面上純屬直線型問題的幾何問題題型，拋開原始的解題思路，提取相關(guān)條件，巧添輔助圓，利用圓冪定理解題，可化繁為簡，化難為易. 本文由一道競賽題展開聯(lián)想，通過幾個(gè)例題來分析如何巧添輔助圓并解題.

[關(guān)鍵詞] 輔助圓；圓冪定理；幾何問題

[1992年全國聯(lián)賽] 如圖1，在△ABC中，AB=AC，D是底邊上一點(diǎn)，E是線段AD上一點(diǎn)，且∠BED=2∠CED=∠BAC，求證：BD=2CD.

所以∠ECF=90°.

易證△EFG≌△EFC（AAS），

所以∠FEG=∠CED，GF=CF.

因?yàn)椤螧EF=2∠CED，

所以∠BEG=∠GEF.

可證△BEG≌△FEG（ASA），

所以BG=GF=CF.

所以BF=2CF.

根據(jù)角平分線性質(zhì)得BD=2CD.

有比較，才知優(yōu)越. 我們發(fā)現(xiàn)方法二更完美，究其原因，在于圓. 圓是最美妙的幾何圖形. 圓的根基是弧，且具有完美對(duì)稱性，具有很多圓冪定理，所以能用好圓，領(lǐng)悟圓，會(huì)讓我們解題舉重若輕，充滿創(chuàng)造性. 在處理平面幾何中的許多問題時(shí)，需要借助圓的性質(zhì)使問題得以更好地解決，但是我們所需要的圓卻并不存在，這就需要我們利用已知條件，做到“無中生圓”.

下面結(jié)合幾個(gè)例題簡單地談一下如何根據(jù)具體情境生圓，做到圓滿解決.

利用圓的定義生圓

解析 因?yàn)锳B=AC=AD，所以以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，點(diǎn)B，C，D均在圓上. 利用△ABC為等腰三角形，且AE為中線得到AE為高，又因?yàn)锳E=EC，由圓周角定理等條件計(jì)算得到∠EAC=45°，∠BAC=90°，∠BDC=45°，∠DBC=30°.

此時(shí)只需對(duì)△DBC進(jìn)行分析即可，得到BC=12，所以AB=12.

利用直徑所對(duì)的圓周角是直角

的條件生圓

例2 如圖5，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，Q是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠CPQ=90°，求線段CQ的取值范圍.

利用四邊形對(duì)角互補(bǔ)生圓

例3 如圖7，在矩形ABCD中，AB=6，以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形BEF，連接AE，AF，當(dāng)AE⊥AF且AE︰AF=1︰2時(shí)，AE的長是多少？

解析 由∠EAF+∠EBF=180° 可得點(diǎn)A，E，B，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，再結(jié)合托勒密定理可以得到AB·EF=AE·BF+BE·AF.

設(shè)AE=x，代入得到方程

同底同側(cè)張等角生圓

例4 如圖8，在△ABC中，CE⊥AB，BD⊥AC，∠A=60°，求證：BC=2DE.

類似以上這樣的，表面上純屬直線型問題，但利用直線型的有關(guān)知識(shí)解答會(huì)很繁雜，甚至有的很難找到解決問題的思路和途徑. 但如果對(duì)題設(shè)進(jìn)行認(rèn)真分析，仔細(xì)觀察圖形，便可挖掘題設(shè)中所蘊(yùn)含的內(nèi)在條件，提取相關(guān)條件，巧添輔助圓，溝通與圓的內(nèi)在聯(lián)系，調(diào)取圓內(nèi)的相關(guān)圓冪定理和性質(zhì)，為解題提供了新的途徑，把圓的有關(guān)性質(zhì)在解題中進(jìn)行運(yùn)用，可化繁為簡，化難為易.