垂線段最短的實(shí)際應(yīng)用

【摘要】線段最值問(wèn)題是平面幾何中比較難的，涉及知識(shí)比較多，綜合性強(qiáng)，圖形比較復(fù)雜，學(xué)生難以把握.一般以動(dòng)態(tài)的變化圖形為載體，探究圖形中線段長(zhǎng)的最值，學(xué)生雖然知道垂線段最短這一定理，但對(duì)如何靈活運(yùn)用此定理解決實(shí)際問(wèn)題存在疑惑.本文結(jié)合實(shí)例探討應(yīng)用此定理解決線段最值問(wèn)題的方法，思考此定理在實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題中應(yīng)用的更多可能性.

【關(guān)鍵詞】垂線段最短；初中數(shù)學(xué)；最值問(wèn)題

初中平面幾何中有一類(lèi)最值問(wèn)題，思考最值問(wèn)題解題思路時(shí)，首先想到的是數(shù)學(xué)定理：垂線段最短，試圖尋找最值問(wèn)題中可以使用的最短線段，但題中往往不容易找到，如何在問(wèn)題求解中找到最短線段就是接下來(lái)要討論的問(wèn)題.

類(lèi)型1"動(dòng)點(diǎn)軌跡確定

例1"如圖1，在△ABC中，AC=10，AB=8，△ABC的面積為30，AD平分∠BAC，E，F(xiàn)分別為AB，AD上兩動(dòng)點(diǎn)，連接BF，EF，求BF+EF的最小值.

問(wèn)題分析"觀察題目，可以發(fā)現(xiàn)E，F(xiàn)分別為AB，AD上兩動(dòng)點(diǎn)，所以F，E的軌跡確定，要求的兩條線段BF和EF分別在線段AD兩側(cè)，迅速聯(lián)想到“將軍飲馬”問(wèn)題，通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)把線段EF放到AD的另一側(cè)，BF+EF變?yōu)锽F+FH，B，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線，同時(shí)線段BH垂直AC時(shí)最小.

解析"過(guò)B作BH⊥AC于H，如圖2.

因?yàn)镾△ABC=1/2BH×AC=30，

所以BH=6，即BF+EF的最小值為6.

類(lèi)型2"動(dòng)點(diǎn)軌跡不確定

例2""如圖3，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=6，CB=3√3，M為BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AN，求CN的最小值.

問(wèn)題分析"觀察題目，點(diǎn)A是定點(diǎn)，點(diǎn)M在BC所在的直線上運(yùn)動(dòng)，AN=AM，∠NAM=60°，由瓜豆原理（主從聯(lián)動(dòng)模型）[1]知點(diǎn)N也在一條直線上運(yùn)動(dòng)，假設(shè)點(diǎn)M與B點(diǎn)重合，旋轉(zhuǎn)60°后與M在AC的延長(zhǎng)線上D處，假設(shè)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，旋轉(zhuǎn)60°后到AF，由主從聯(lián)動(dòng)模型，點(diǎn)N的軌跡是直線DF，CN的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C到直線DF的距離大小問(wèn)題，即“垂線段最短”問(wèn)題.結(jié)合已知條件很容易求出CN的最小值.

解析"如圖4，把△ACB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AFD，過(guò)C作CE⊥FD于點(diǎn)E.

因?yàn)樾D(zhuǎn)，所以△ACB≌△AFD，

∠AFD=∠ACB=90°，

∠ADF=∠ABC=30°，AD=AB=6，

所以CE=1/2CD=1/2（AD-AC）=3/2，

所以CN的最小值為3/2.

類(lèi)型3"加權(quán)（含系數(shù)）折線最值

例3"如圖5，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，求2AD+DC的最小值.

問(wèn)題分析"觀察題目，要求2AD+DC的最小值，變形為2（AD+1/2CD），關(guān)鍵是線段CD的一半并與AD連接，要線段CD的一半就需要30°角，于是過(guò)點(diǎn)C作30°角，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CE，則AD+1/2CD =AD+DE.要求2AD+DC的最小值，即求AD+DE最小值的2倍，需求出點(diǎn)A到CE的垂線段長(zhǎng)，加權(quán)折線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題.

解析"如圖6，作∠DCH=30°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CH.

在直角三角形ABC中，因?yàn)椤螦=90°，∠B=60°，AB=2，所以BC=4，AC=2√3.

在直角三角形ACF中，因?yàn)椤螦FC=90°，∠FAC=30°，AC=2√3，所以FC=√3，AF=AC2－CF2=3，所以2AD+DC的最小值為6.

類(lèi)型4"需轉(zhuǎn)化線段最值

例4"如圖7，在△ABC中，AB=5，AC=8，BC=7，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求線段EF的最小值.

問(wèn)題分析"觀察題目，有3個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)決定點(diǎn)E和點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)，結(jié)合已知DE⊥AB，DF⊥AC，聯(lián)想到A，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓O，EO=FO=1/2AD，EF怎么與AD建立聯(lián)系呢？△OEF是等腰三角形，如果知道其中一個(gè)角就能建立EF與AD的關(guān)系，由圓周角定理∠EOF=2∠BAC，要求∠BAC的大小，過(guò)C作CI⊥AB于I點(diǎn)，用勾股定理可以算出AI=4，而AC=8，于是∠BAC=60°，所以EF=√3OE=√3/2AD，故EF的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到直線BC的距離問(wèn)題.

解析"如圖8，連接AD，取AD的中點(diǎn)O，過(guò)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，過(guò)C作CI⊥AB于點(diǎn)I，連接OE，OF.因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC，所以O(shè)E=OF=1/2AD，設(shè)AI=x，則BI=5-x，由勾股定理得AC2-AI2=BC2-BI2，即82-x2=72-（5-x）2，解得x=4，于是∠BAC=60°，∠EOF=120°，EF=√3OE=√3/2AD，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，最小值為20√3/7，所以EF的最小值為30/7.

結(jié)語(yǔ)

在解決平面幾何線段最值問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常使用垂線段最短的原理進(jìn)行解答，本文中解答時(shí)的思路是將求解線段長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一點(diǎn)到某條直線的距離大小問(wèn)題，由此將其變成點(diǎn)到直線的距離最小問(wèn)題，這時(shí)就符合使用“垂線段最短”定理的情況，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用幾何知識(shí)，適當(dāng)添加輔助線，建立起要求的線段與垂線段之間的聯(lián)系.

參考文獻(xiàn)：

[1]賴(lài)學(xué)李.“種瓜得瓜，種豆得豆”——一類(lèi)“主從聯(lián)動(dòng)”最小值問(wèn)題的解法策略[J].數(shù)理天地（初中版），2024（05）：13-14.