矩陣分析課程思政建設與混合教學模式探索

摘 "要：該文以矩陣分析課程為例，對課程思政背景下的混合教學模式進行構建和探索。首先對矩陣分析課程的知識結構和體系進行梳理，闡述該課程與其他學科課程的聯(lián)系和區(qū)別，分析矩陣分析課程特點。其次根據矩陣分析課程的特點和知識體系，挖掘課程思政元素，并闡述如何把課程思政元素和課程教學的各個環(huán)節(jié)進行緊密的契合。再次根據矩陣分析課程特點和課程思政內容的嵌入，利用信息數(shù)字技術和網絡教學平臺資源，構建“一課一案”的混合教學模式，包括翻轉課堂、問題教學等多種教學模式相結合進行教學模式的探索。最后根據所構建的課程思政背景下的混合教學模式提出有效的教學評價方法。

關鍵詞：矩陣分析課程；混合教學；課程思政；教學模式；課程建設

中圖分類號：G641 " " "文獻標志碼：A " " " " "文章編號：2096-000X（2025）S2-0041-04

Abstract： Taking Matrix Analysis course as an example， this paper constructs and explores the mixed teaching mode under the ideological and political background of the course. Firstly， the knowledge structure and system of matrix analysis course are sorted out， the connection and difference between this course and other courses are expounded， and the characteristics of matrix analysis course are analyzed. Secondly， according to Matrix Analysisof the characteristics and knowledge system of the curriculum， this study explores the ideological and political elements of the curriculum， and explains how to closely fit the ideological and political elements of the curriculum with each link of the curriculum teaching. Thirdly， according to Matrix Analysis of curriculum characteristics and the embedding of curriculum ideological and political content， the use of information digital technology and network teaching platform resources to build a mixed teaching mode of \"one lesson， one plan\"， including the combination of flipped classroom， problem teaching and other teaching modes to explore the teaching mode. At the end of the article， an effective teaching evaluation method is proposed according to the mixed teaching mode under the background of curriculum ideology and politics.

Keywords： Matrix Analysis course; mixed method of teaching; curriculum ideological and political education; model of teaching;course construction

隨著現(xiàn)代教育技術的不斷發(fā)展，使得教育數(shù)字化快速轉型，教育教學管理模式不斷地發(fā)生變革和創(chuàng)新。數(shù)字化時代的教育變革中教學基礎平臺、教學管理平臺、教學資源平臺、教學實踐平臺和教學監(jiān)控平臺搭建日漸完善，高等教育教學模式由傳統(tǒng)的單一教學逐漸發(fā)展成為基于各種教育教學平臺的混合教學模式。由此，聚焦國家戰(zhàn)略和關鍵產業(yè)發(fā)展急需，構建科教融匯協(xié)同育人機制，探索構建“一課一案”的混合教學模式是每一門課程必須探索的問題。文獻[1]以大學數(shù)學課程為例，參考共生效應和 BOPPPS 教學模式，針對教學資源、教學方法、數(shù)學實踐在課前、課中、課后三個過程提出“四力聯(lián)動”下的“三三三”混合教學優(yōu)化策略。文獻[2]從教與學兩個方面闡述了基于中國大學慕課和騰訊課堂的微積分課程空中課堂混合式教學的設計、組織與管理過程，并針對各個教學環(huán)節(jié)中出現(xiàn)的問題給出了相應的處理方案與策略。2020年5月28日教育部印發(fā)《高等學校課程思政建設指導綱要》把思想政治教育貫穿人才培養(yǎng)體系，全國各個高校、所有學科及課程圍繞全面提高人才培養(yǎng)能力這個核心點全面推進高校課程思政建設。如何根據學科特點、課程特點來融合恰當、深刻的思政內容，把課程思政合理地嵌入混合教學模式中來，對“一課一案”混合教學模式的構建又提出了新的挑戰(zhàn)。文獻[3]根據新工科建設方案及理工科專業(yè)課程特色，以任務驅動，以思政案例貫穿給出了基于BOPPPS模型和ARCS模型混合教學流程。文獻[4]結合課程思政和“互聯(lián)網+”教育背景下，以高等數(shù)學課程教學改革為例，從開展線上與線下混合教學模式，到逐步完善智能可視化平臺和相關配套工作等方面提出應對策略。在課程思政的背景下，教學改革數(shù)字化進程不斷推進，新的教學模式需要和課程思政內容同步融合也顯得日趨迫切。課程思政的最小單元和最終環(huán)節(jié)就是課堂，科學的設計課程思政教學體系，把課程思政融入到每一個教學環(huán)節(jié)的課程改革變得更加有意義。

矩陣理論體系在十九世紀末已經基本形成，目前它已經發(fā)展成為在控制論、優(yōu)化理論、數(shù)值分析、生物學等學科廣泛應用的數(shù)學分支。由于矩陣分析理論在多學科、多領域的廣泛應用，很多工科院校將矩陣分析課程作為碩士研究生階段的基礎選修課，以滿足不同學科學生的學習要求。本文以東北大學出版社出版的《矩陣分析》教材為例[5]，結合多年的教學經驗，對課程思政背景下的混合教學模式進行構建和探索。首先對矩陣分析課程的知識結構和體系進行梳理，闡述該課程與其他學科課程的聯(lián)系和區(qū)別，分析矩陣分析課程特點。其次根據矩陣分析課程的特點和知識體系，挖掘課程思政元素，并闡述如何把課程思政元素和課程教學的各個環(huán)節(jié)進行緊密的契合，自然、深刻地將價值塑造、知識傳授和能力培養(yǎng)三者融為一體。最后根據矩陣分析課程特點和課程思政內容的嵌入，利用信息數(shù)字技術和網絡教學平臺資源，構建“一課一案”的混合教學模式，包括翻轉課堂、問題教學等多種教學模式相結合，以提高學生分析問題和解決問題的能力為指引進行教學模式的探索。通過教學中不同環(huán)節(jié)設計恰當?shù)慕虒W手段，最大限度地激發(fā)學生對課程進行主動探索的興趣，引導學生的深入思考從而達到自主創(chuàng)新的最終目標。合理有效的教學評價是教學模式改革的最重要的一環(huán)，本文的最后根據所構建的課程思政背景下的混合教學模式提出有效的教學評價。

一 "矩陣分析課程與相關課程的聯(lián)系

隨著信息技術的迅速發(fā)展，科學計算在工程技術中的作用越來越明顯，線性問題廣泛存在于科學技術的各個領域，許多實際問題可以直接或通過離散化等方法轉化成矩陣問題。矩陣分析已經成為自然科學、經濟科學和工程技術領域中廣泛使用的數(shù)學工具，其理論和方法得到了廣泛的應用。

首先矩陣的分解理論是數(shù)值分析課程[6]中數(shù)值計算方法的理論依據。其中方陣的Doolittle分解、Crout分解、PLU分解和對稱正定矩陣的Cholesky分解以及滿秩陣（不一定是方陣，特別適用于病態(tài)陣）的QR分解、任意矩陣（特別是長方陣）的奇異值分解都為求線性方程組的數(shù)值解提供簡單快捷的算法，是線性數(shù)值計算和分析的重要理論基礎。特別在一些病態(tài)方程組求數(shù)值解的過程中能夠有效地減少迭代誤差和迭代次數(shù)。

其次矩陣分析課程中的理論和方法也是最優(yōu)化方法課程[7]中各種優(yōu)化問題的基礎。例如函數(shù)對向量的導數(shù)及函數(shù)對矩陣的導數(shù)、向量值函數(shù)對矩陣的導數(shù)分別對應優(yōu)化問題中的梯度和Hessian Matrix的求法，而這正是優(yōu)化問題的最基本定義，很多問題需要求目標函數(shù)的梯度及Hessian Matrix。矩陣分析課程中的求一個線性代數(shù)方程組的最小二乘解公式就是目標函數(shù)是線性函數(shù)的無約束極值問題。所以矩陣分析理論是一些優(yōu)化問題的基礎和理論依據，對建立所研究問題的數(shù)學模型并編程求解起著重要的理論支持。

矩陣分析課程中的矩陣指數(shù)函數(shù)等相關內容是求解微分方程組的理論基礎。在本科階段，學生已經學習了有關微分方程的解法和理論，而矩陣分析課程中得到了微分方程組解的公式，公式的矩陣表示形式為一階常系數(shù)微分方程求解公式的推廣。在控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)的能控性和能觀性結論的推導都依賴于矩陣指數(shù)函數(shù)的相關知識。事實上很多實際問題建模最后結果都以微分方程組的形式出現(xiàn)，所以矩陣分析課程的部分理論是各類控制系統(tǒng)設計和求解的理論基礎。

總之矩陣理論是信息科學、計算科學、控制理論與控制工程等學科的基礎理論和方法。

二 "矩陣分析課程中的思政元素

（一） "矩陣分析課程中的科學家和科學故事

矩陣理論創(chuàng)立以來，經過許多數(shù)學家的努力使其發(fā)展成為當今應用廣泛的數(shù)學分支。在教學過程中非常有必要講授矩陣理論的發(fā)展史，以及著名的數(shù)學家的生平故事，讓學生了解這門學科從哪里來，經歷了哪些發(fā)展階段，誰做了哪些工作。學生通過對課程的了解，激發(fā)了學習興趣，以科學大家為榜樣，積極思考學科的應用和未來走向。例如從學生都熟悉的數(shù)學家Cayley講起。1855年，英國數(shù)學家Cayley在研究線性變換的不變量時，為了簡明、方便，引入了矩陣的概念。1858年Cayley在《矩陣論的研究報告》中，定義了矩陣的相等、相加等運算和運算規(guī)律。 在十九世紀后半葉，矩陣理論得到進一步的發(fā)展，英國數(shù)學家Hamilton引入了復數(shù)，并發(fā)展了復數(shù)矩陣的理論。在矩陣分析知識點中著名的Hamilton-Cayley定理，它描述了方陣和其對應的特征多項式之間的關系，即任何一個方陣都是它特征多項式的根。實際上，矩陣的概念最早可以追溯到古代數(shù)學。在公元前2世紀，中國的《九章算術》方程章中就有關于線性方程組的解法，這可以看作是矩陣理論的初步形成。對線性方程組的研究，中國比歐洲至少早1500年。這里對《九章算術》思政元素進行挖掘?！毒耪滤阈g》全書總結了中國古代戰(zhàn)國、秦、漢等時期的數(shù)學成就，同時又經過歷代數(shù)學家的修整和補充，屬于一本綜合性的著作，更是中華五千年文明偉大成果之一。通過矩陣理論的發(fā)展史，自然地引到中國古代數(shù)學在矩陣理論中的闡述，讓學生從中感受到我國古代科學技術的先進，今天中華文化自信的源起，對未來科技發(fā)展引領的勇氣。

（二） "矩陣分析課程中的理論投射出的哲學思想

在科學研究的過程中，通常使用的思想和方法都來源于對生活中遇到問題的處理方式。下面通過矩陣分析課程的幾個知識點舉例說明課程思政元素的挖掘。

1 "從矩陣的分解知識點來闡述實踐是檢驗真理的唯一標準

在求線性方程組數(shù)值解的算法中經常遇到的矩陣分解方法，把一個條件數(shù)很壞的矩陣進行適當?shù)姆纸?，然后用幾個矩陣的乘積代替這個矩陣，從而克服迭代誤差。在現(xiàn)實生活中通常把一個復雜的東西拆解開來，看看有哪些基本部件存在，然后研究每個部件的特點之后再重新組裝成原來的樣子，比如家電的維修，或者處理一件復雜的事情把其分解成若干關鍵的步驟分開處理等。通過研究這些基本部件，來解析這個復雜物體，這個思想在數(shù)學中經常能夠看到，比如說因式分解、泰勒展開、傅里葉變換和基變換等等。所以數(shù)學中很多問題的處理方法都來源于生產和生活實踐。實踐是檢驗真理的唯一標準。我們所做的科學研究最終也要應用到實踐中去，創(chuàng)造社會價值，提高生產力。通過矩陣的分解理論來強調理論聯(lián)系實踐的重要性和必要性，打開學生創(chuàng)新創(chuàng)造靈感來源，更能明確科技創(chuàng)新的最終目標。

2 "從矩陣函數(shù)對向量的導數(shù)中梯度的應用闡述腳踏實地的做事態(tài)度

在矩陣函數(shù)對向量的導數(shù)章節(jié)，一個自變量為向量的數(shù)值函數(shù)對向量的一階導數(shù)就是該函數(shù)的梯度，而負梯度方向為函數(shù)值下降最快的方向，由這個知識點可以進行展開，比如爬山時下山。在下山的時候可以選擇最快的下山路線，但都不是筆直的，而是鋸齒狀的下山路線，并且越接近目的地鋸齒越多，從而需要走更多的鋸齒路線才能到達山底，而這也是最速下降法的缺點。由此引出在學習和工作過程中并沒有捷徑可以走，即便是較快的途徑也是充滿著曲折和挑戰(zhàn)。由此引導學生做事情要腳踏實地，摒棄不勞而獲的思想和行為。

3 "結合蓋爾圓理論闡述個人的行為必須在法律法規(guī)約束范圍之內

蓋爾圓理論闡述的是矩陣的每個一個特征值必在某個蓋爾圓內。蓋爾圓是以矩陣主對角線元素為圓心，以同一行除主對角線元素外的其余元素模的和為半徑的圓。我們每個人都是具有獨立特征的個體，就如一個矩陣的特征值一樣，但每個人必須以黨和國家為核心緊密地團結在一起，必須在法律法規(guī)的約束下存在。遵紀守法是每個公民的責任和義務，是必須遵守的行為準則。作為現(xiàn)代大學生更應該加強法律觀念，知法懂法更要守法，要在社會允許的范圍之內實現(xiàn)自我價值。

矩陣分析課程中的很多理論都可以折射出做事情和做學問的道理，例如最小二乘解問題、矩陣的直積理論等，要挖掘課程的思政元素不僅需要任課教師熟悉教材、了解學生，還需要結合專業(yè)特點和《高等學校課程思政指導綱要》去合理地融入思政內容，使得教書和育人雙管齊下、相互促進。

三 "課程思政背景下教學模式及教學評價方法

矩陣分析課程思政元素的植入要求對原有教學模式進行調整，使得教學過程和方法與課程思政有效融合，使課程思政內容既不顯得牽強，又對學生的理論學習起到促進作用。在文獻[8]中，對矩陣分析課程混合教學模式做了初步的研究，現(xiàn)結合課程思政內容，對矩陣分析課程的教學模式進行了相應調整，如圖1所示。其中問題式教學和翻轉課堂是激發(fā)學生主動性和創(chuàng)造性的主要教學手段。例如通過對矩陣的三角分解在解線性方程組中有何作用、秩1的矩陣滿秩分解的特點及在優(yōu)化方法中應用等問題的設置，不僅能起到激發(fā)學生的學習興趣和探索欲望的作用，更能使學生對知識融會貫通并和其他學科建立理論上的聯(lián)系，如數(shù)值計算方法和優(yōu)化理論等學科都離不開矩陣理論的研究。問題既是學習的驅動力又是引發(fā)思考的主線，學生在解決問題的過程中達到高效的學習效果。問題式教學再結合翻轉課堂，使學生成為課堂的主導者。學生在課堂上通過討論、講解、辯論等形式進行交流、合作和溝通不僅能更好地達到教學效果，更能培養(yǎng)學生的協(xié)作能力和創(chuàng)造能力，從而達到課程思政的目標。對學生家國情懷及做人做事的道理等思想教育主要在線下教學及翻轉課堂等能和學生面對面的教學過程中融入。由此可見，教學模式要根據課程思政內容的引入進行合理的調整，從而達到一加一大于二的教學效果。

教學評價是教學改革中最重要環(huán)節(jié)。教學評價既包括對教師教學模式、教學效果的評價，又包括對學生學習效果的考評，其評價結果相互聯(lián)系又相互作用。文獻[9]以計算機硬件基礎課程為例，給出了基于混合教學模式教學流程中各個階段的評價內容，對混合教學模式進行多層次、形成性評價。并通過課程的教學實踐，說明了形成性評價的有效性。不同的教學模式，不同的學科特點所使用的教學評價手段各不相同。融合思政元素的矩陣分析課程教學模式的評價借鑒文獻[10]中的層次分析法。首先對矩陣分析課程的教學模式建立遞階層次結構，然后根據具體的分層結構建立綜合評判矩陣，通過調查問卷設置合理的計算指標權重，最后得到基于 AHP的矩陣分析課程教學模式綜合評判結果。對學生學習效果的評價主要包括對學生的理論學習過程中分析問題、解決問題的能力、理論學習效果進行評價，對思政內容的評價主要針對學生的創(chuàng)新能力以及批判性思維能力進行評價。理論學習效果主要通過線下和線上測評方式，占總體評價成績的70%，其中線上測評借助于學校提供BB系統(tǒng)教學平臺進行實時測評。分析問題和解決問題的能力評價主要依托于翻轉課堂上的討論、辯論及講述為依據，通過學生互評的方式計入總體評價成績，占比10%。對學生創(chuàng)新能力及思政內容的考評通過小論文的形式進行評價，學生需要結合本專業(yè)的特點對矩陣分析課程中的理論進行分析和應用，論文的結論需專業(yè)教師參與評價，評價結果占比20%。確保課程模式構建有效性最重要的環(huán)節(jié)就是合理地設置過程學習評價方法，對學生學習效果評價的合理性、全面性是教學模式設置必須考慮的問題。特別是加入思政元素后對課程思政的效果進行全面客觀的評價，是在教學改革過程中首要解決的問題，評價方法需要清晰、有效，公平、全面，這需要在每個教學環(huán)境中進行調整，并在實踐中不斷去摸索與改進。

四 "結束語

本文以矩陣分析課程為例，對課程思政背景下的混合教學模式進行構建和探索。首先對矩陣分析課程的知識結構和體系進行梳理，闡述該課程與其他學科課程的聯(lián)系和區(qū)別，分析矩陣分析課程特點。其次根據矩陣分析課程的特點和知識體系，挖掘課程思政元素，并闡述如何把課程思政元素和課程教學的各個環(huán)節(jié)進行緊密的契合。每一種教學模式都是根據教學對象、教學目標、教學工具等不斷進行調整的。即便是同一種教學模式在具體實施過程中、在教學策略上也會有很多的特性化呈現(xiàn)。因此，課程思政背景下的混合教學模式需要在教學實踐中不斷地探索與創(chuàng)新。

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