創(chuàng)設(shè)真實情境 強化實踐應(yīng)用

摘" 要：概率與統(tǒng)計是高考中通過真實情境考查實踐應(yīng)用能力，以及數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的重要載體. 高考中的真實情境主要聚焦現(xiàn)實生活情境、科學(xué)研究情境和勞動生產(chǎn)情境. 計數(shù)原理的考查中更加突出對原理本質(zhì)的理解；概率的考查中更加強調(diào)對經(jīng)典模型的靈活運用，以及學(xué)科內(nèi)部知識的深度融合；統(tǒng)計的考查中更加強化表征分析和統(tǒng)計推斷. 在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生把握研究概率與統(tǒng)計問題的一般路徑和思維方式.

關(guān)鍵詞：真實情境；經(jīng)典模型；數(shù)學(xué)建模；數(shù)據(jù)分析；研究路徑

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）10-0053-08

引用格式：彭海燕，張珅瑞. 創(chuàng)設(shè)真實情境" 強化實踐應(yīng)用：2024年高考“概率與統(tǒng)計”專題命題分析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（10）：53-60.

概率與統(tǒng)計的高考命題改革是伴隨著經(jīng)濟社會的發(fā)展而不斷發(fā)展與深化的. 事實上，經(jīng)過近30年的探索與實踐，特別是新課標、新教材落地實施和新高考內(nèi)容深化改革以來，高考對概率與統(tǒng)計的考查呈現(xiàn)了新的趨勢：更加注重基本概念的理解與應(yīng)用，試題情境更加真實和復(fù)雜，素材來源更加豐富和多元，模型更加精細和完善，數(shù)學(xué)建模與概率與統(tǒng)計深度融合.

一、考查內(nèi)容分析

2024年是高考數(shù)學(xué)全國卷試卷結(jié)構(gòu)調(diào)整的第七個年頭，也是改革力度最大的一年. 在結(jié)構(gòu)調(diào)整的背景下，2019年全國Ⅰ卷概率與統(tǒng)計解答題首次出現(xiàn)在全卷最后一題的位置；2023年新課標Ⅰ卷概率與統(tǒng)計解答題則出現(xiàn)在全卷倒數(shù)第二題的位置；2024年新課標Ⅰ卷中沒有設(shè)置概率與統(tǒng)計解答題，新課標Ⅱ卷中的概率與統(tǒng)計解答題依然出現(xiàn)在全卷倒數(shù)第二題的位置（第18題）. 在內(nèi)容安排上，結(jié)構(gòu)調(diào)整以前，包括2024年舊高考的全國甲卷，一般都會設(shè)置3道概率與統(tǒng)計試題，涵蓋排列與組合或二項式定理、統(tǒng)計（數(shù)字特征或統(tǒng)計案例）和概率（公式應(yīng)用、經(jīng)典模型）內(nèi)容. 而2024年新課標Ⅰ卷中有2道概率與統(tǒng)計客觀題，分別考查正態(tài)分布密度曲線的理解及其性質(zhì)把握和古典概型（排列與組合背景或隨機變量視角）；新課標Ⅱ卷中的概率與統(tǒng)計試題包含2道客觀題和1道主觀題，考查數(shù)字特征的理解、計數(shù)原理的應(yīng)用和二項分布基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)建模及期望決策. 兩份新課標試卷中概率與統(tǒng)計試題鋪排各異的特點提示我們，隨著新課標卷中試題數(shù)量的減少，考查內(nèi)容不再強調(diào)全覆蓋，如此便可以更加靈活、科學(xué)地確定試題的內(nèi)容、分值、順序和難度.

二、命題特點分析

1. 命題意圖分析

2020年以來的高考數(shù)學(xué)試題緊密結(jié)合社會實際和學(xué)生的現(xiàn)實生活，加強對實踐應(yīng)用能力的考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實際問題中的工具特征和應(yīng)用價值，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育改革中不斷加強實踐性、應(yīng)用性的要求. 2024年高考數(shù)學(xué)命題充分考慮概率與統(tǒng)計知識與生產(chǎn)生活實際聯(lián)系的緊密度，主要以概率與統(tǒng)計知識為載體考查實踐應(yīng)用能力，以及數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng). 綜觀三套全國卷，在情境設(shè)置上主要是與學(xué)生校園生活有關(guān)的現(xiàn)實生活情境（如體育運動）和勞動生產(chǎn)情境，這也是概率與統(tǒng)計問題常用的情境.

（1）以排列與組合考查基本原理和古典概型應(yīng)用，突出基礎(chǔ)性.

排列與組合是兩類特殊的計數(shù)問題，是對計數(shù)原理的直接運用，也是古典概型應(yīng)用的基礎(chǔ)，在具體問題設(shè)計中重視利用圖表及其表征信息來分析問題和解決問題.

例1 （2024年新課標Ⅱ卷·14）在如圖1所示的4 × 4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有" " " " 種選法. 在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是" " " " .

答案：24；112.

考查目標：此題考查計數(shù)原理和排列與組合，枚舉法和轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及圖表表征分析能力和邏輯推理素養(yǎng).

命題意圖：此題的表征是通過一個數(shù)表來呈現(xiàn)的，需要學(xué)生分析數(shù)表中數(shù)據(jù)的特征，屬于推理型的分割數(shù)表問題，命題更趨向?qū)诵脑淼目疾? 第一空突出對分步計數(shù)原理的檢測；第二空既可以在第一空的基礎(chǔ)上逐一列舉得到選中的[15，21，33，43]4個數(shù)之和最大，也可以在分析數(shù)表數(shù)字特征的基礎(chǔ)上運用分類思想，分別從列和行兩個角度研究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每列中的數(shù)十位數(shù)字都相同，因而可以僅關(guān)注個位數(shù)字特征，進而研究每行的數(shù)字特征，再結(jié)合最大值構(gòu)成的特點，運用邏輯推理得到問題的答案. 第二空較好地考查了學(xué)生思維的靈活度和創(chuàng)新性，真正考查了學(xué)生的表征能力.

試題亮點：作為雙空題，該題屬于中等題，具有創(chuàng)新性，是一道“反套路、反刷題”試題. 第一空比較簡單，屬于常見的分步乘法計數(shù)原理問題，旨在降低試題難度、提高得分率，這是雙空題設(shè)計的初衷. 當然，這一空也為第二空作遞進鋪墊，第二空則完美地體現(xiàn)了“多考想的、少考算的”的命題理念. 學(xué)生可以將此題涉及的所有情況一一列舉后完成解答，也可以針對表格信息先進行邏輯推理，發(fā)現(xiàn)行、列數(shù)字之間的規(guī)律，再作答. 顯然，后者的運算量要少得多. 該題是一道考查思維品質(zhì)的良好試題.

拓展練習(xí)：（2016年全國Ⅱ卷·理5）如圖2，小明從街道的點E處出發(fā)，先到點F處與小紅會合，再一起到位于點G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（" " ）.

（A）24 （B）18

（C）12 （D）9

答案：B.

例2 （2024年全國甲卷·理16）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球，設(shè)[m]為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，[n]為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則[m]與[n]之差的絕對值不大于[12]的概率為________.

答案：[715].

考查目標：此題考查絕對值不等式、排列與組合、古典概型，枚舉法和分類討論思想，以及邏輯推理素養(yǎng).

命題意圖：此題重點考查學(xué)生對概率模型的理解與應(yīng)用，需要學(xué)生運用枚舉法解決問題. 若用[a，b，c]表示一次實驗可能出現(xiàn)的結(jié)果，則可以先確定[c]球的編號，再根據(jù)[a+b]的取值范圍討論[a，b]兩個球的可能情況，得到符合條件的樣本點，進而根據(jù)古典概型的計算公式求解. 當然，如果能夠注意到[a+b∈]

[3，11]，則不難發(fā)現(xiàn)[a+b=5]和[a+b=9]的樣本點的個數(shù)是相同的，如此[c=1]和[c=6]時的數(shù)量是一致的；同理，[c=2]和[c=5]，[c=3]和[c=4]時的數(shù)量也是一致的，也就是說只需要計算[c為1，2，3]時的數(shù)量即可. 此題較好地體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)問題和提出問題在問題解決中的價值.

試題亮點：此題為填空題的最后一題，只要學(xué)生認真分析題目條件，從[m，n]的關(guān)系中梳理并推導(dǎo)出[a，b，c]三個球編號的關(guān)系，繼而利用枚舉法便可求解，對學(xué)生邏輯思維的嚴謹性和運算求解能力要求較高. 此題的命制背景是學(xué)生熟悉的取球問題，源于人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）必修第二冊習(xí)題10.1第14題的第（3）小題，原題的背景是拋擲3次骰子，求三個點數(shù)之和是9的概率. 此題在其基礎(chǔ)上進行了拓展與延伸，學(xué)生需要基于[m，n]的關(guān)系梳理推導(dǎo)出[a，b，c]三個球編號之間的關(guān)系，并且綜合了平均數(shù)、絕對值不等式的考點，形式新穎，體現(xiàn)了高考概率試題在綜合性和創(chuàng)新性上的突破，展示了高考試題源于教材、高于教材的立意. 教學(xué)過程中，要引領(lǐng)學(xué)生抓住核心要素，分析問題本質(zhì). 古典概型是高中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的重要概率模型，是高考考查的熱點內(nèi)容，枚舉法則是解決古典概型問題最基本的方法，2023年全國乙卷、2022年新高考Ⅰ卷、2022年全國乙卷、2022年全國甲卷等高考試卷中的相關(guān)概率與統(tǒng)計試題均體現(xiàn)了枚舉法在解決古典概型問題中不可撼動的基礎(chǔ)地位.

拓展練習(xí)：（2022年全國甲卷·理15）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為" " " " .

答案：[635].

（2）以統(tǒng)計量的計算和含義理解考查統(tǒng)計推斷和決策，突出綜合性.

高考概率與統(tǒng)計試題重視考查統(tǒng)計圖表和數(shù)字特征，并且近三年都是根據(jù)實際問題背景構(gòu)建新的統(tǒng)計量來引導(dǎo)統(tǒng)計的考查方向，強化統(tǒng)計推斷和決策.

例3 （2024年新課標Ⅱ卷·4）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如表1所示.

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（" " ）.

（A）100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于[1 050 kg]

（B）100塊稻田中畝產(chǎn)量低于[1 100 kg]的稻田所占比例超過[80%]

（C）100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于[200 kg]到[300 kg]之間

（D）100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于[900 kg]到[1 000 kg]之間

答案：C.

考查目標：此題考查頻數(shù)分布表、圖表中數(shù)量關(guān)系信息的提取、集中趨勢和離散程度數(shù)字特征的計算，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

命題意圖：此題利用頻數(shù)分布表考查學(xué)生的閱讀理解能力，要求學(xué)生通過對表格中樣本的部分數(shù)據(jù)進行分析計算并作出估計. 特別是A，B，D三個選項，都涉及對缺失項的理性判斷. 此題具有很強的現(xiàn)實意義，要求學(xué)生有較強的理論聯(lián)系實際的能力，以及分析問題和解決問題的能力，較好地考查了學(xué)生的思維品質(zhì).

試題亮點：此題源于人教A版教材必修第二冊“9.2 用樣本估計總體”的例1，其給出2015年全年空氣質(zhì)量等級和2016年5月和6月的空氣質(zhì)量指數(shù)，要求選擇合適的統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù)、計算相應(yīng)的數(shù)字特征并回答問題. 兩道題目雖然命制背景不同，但是考查目標均是頻數(shù)分布表、圖表中數(shù)量關(guān)系信息的提取，以及集中趨勢和離散程度數(shù)字特征的計算，要求學(xué)生對概念的本質(zhì)及每個數(shù)字特征的意義有深刻理解. 另外，此題雖然是基礎(chǔ)題，但由于頻數(shù)分布表有所“缺失”，因而對學(xué)生的圖表分析能力要求較高，重在考查學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng). 關(guān)于數(shù)字特征問題，在掌握數(shù)字特征計算的同時，更要深入理解數(shù)字特征在具體情境中的實際含義，而這也是近五年高考考查的熱點.

拓展練習(xí)：（2022年全國甲卷·理 / 文2）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識. 為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖3所示，則（" " ）.

（A）講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

（B）講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

（C）講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

（D）講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

答案：B.

例4 （2024年全國甲卷·理17 / 文18）某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造. 升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取[150]件進行檢驗，數(shù)據(jù)如表2所示.

（1）填寫如下列聯(lián)表（表3）.

能否有[95%]的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有[99%]的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？

（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率[p=0.5]. 設(shè)[p]為升級改造后抽取的[n]件產(chǎn)品的優(yōu)級品率. 如果[pgt;p+1.65p1-pn]，則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了. 根據(jù)抽取的[150]件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（[150≈12.247.]）

附： [K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d.]

參考答案：（1）有95％的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，但沒有99％的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異.

（2）能夠認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.

考查目標：此題考查樣本估計總體、[2×2]列聯(lián)表、獨立性檢驗，以及新定義統(tǒng)計量的計算與含義理解，考查數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng).

命題意圖：此題在對提煉的數(shù)量關(guān)系進行考查時，要求學(xué)生深入挖掘試題內(nèi)涵，選取適當?shù)牟呗院退季S路徑等，對學(xué)生解題的過程與方法提出了要求. 第（1）小題主要考查用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征，并提取相應(yīng)信息數(shù)據(jù)填寫[2×2]列聯(lián)表，然后計算[K2]，分析和判斷實際問題，有效考查了學(xué)生對獨立性檢驗的理解. 第（2）小題新定義一個不等式[pgt;p+][1.65p1-pn]，通過計算并比較其與升級改造后的產(chǎn)品的優(yōu)級品率的大小，判斷優(yōu)級品率是否有所提高.

試題亮點：此題以工廠車間生產(chǎn)線智能化升級改造為背景命制，體現(xiàn)了我國加工制造業(yè)的發(fā)展. 此題位于全國甲卷（理科）解答題的第1題（文科卷解答題的第2題），屬于基礎(chǔ)題，求解思路單一，對學(xué)生的運算能力有一定要求. 近幾年高考中也持續(xù)出現(xiàn)相關(guān)背景下的新定義問題，如2023年全國乙卷理科中的產(chǎn)品伸縮率比較，2021年全國乙卷理科中的產(chǎn)品某項指標是否提高，解題思路和方法與此題一致，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的積極滲透. 著力提升學(xué)生邏輯思維的嚴謹性和對統(tǒng)計思想的感悟，旨在提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

拓展練習(xí)：（2022年新高考Ⅰ卷·20）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩組）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了[100]例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了[100]人（稱為對照組），得到如表5所示的數(shù)據(jù).

（1）能否有[99%]的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，[A]表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，[B]表示事件“選到的人患有該疾病”，[PB AP（B A）]與[PB APB A]的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標，記該指標為[R].

① 證明：[R=PA BP（A B） ? PA BPA B]；

② 利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出[PA B]，[PA B]的估計值，并利用①的結(jié)果給出[R]的估計值.

附：[K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，]

答案：（1）有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

（2）① 略；②[6].

例5 （2024年新課標Ⅱ卷·18）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃[3]次，若[3]次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)閇0]分；若至少投中[1]次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃[3]次，每次投中得[5]分，未投中得[0]分. 該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.

某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為[p]，乙每次投中的概率為[q]，各次投中與否相互獨立.

（1）若[p=0.4，q=0.5]，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于[5]分的概率.

（2）假設(shè)[0lt;plt;q].

① 為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)閇15]分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

② 為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

答案：（1）[0.686].

（2）① 甲參加第一階段比賽；② 甲參加第一階段比賽.

考查目標：此題考查二項分布、獨立事件的理解和積事件概率的運算，考查數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

命題意圖：此題需要學(xué)生理解兩個階段比賽結(jié)果的獨立性，并抽象出甲、乙投中次數(shù)[X]，[Y]服從二項分布，其中[X～B3，p]，[Y～B3，q]，甲、乙參加第一階段比賽，比賽成績隨機變量分別為[Z1，Z2]. 此題需要構(gòu)建隨機變量之間的關(guān)系，并用符號恰當?shù)乇硎荆唇㈦S機變量[Zi i=1，2]與[X]，[Y]之間的模型. 第（1）小題屬于簡單題，為具體概率值的積事件概率計算，為后續(xù)問題的求解作思維鋪墊；第（2）小題則聚焦學(xué)生在推理中進行分類計算和綜合比較，考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

試題亮點：此題綜合性較強，在體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的同時考查學(xué)生的關(guān)鍵能力，具有一定的區(qū)分度. 命制背景是學(xué)生熟悉的投籃比賽，教材中也有類似背景，如人教A版教材選擇性必修第三冊第75頁例3，此題與2022年全國乙卷（理科）第10題有異曲同工之妙，凸顯了高考對概率考查的本質(zhì)要求，可有效檢測學(xué)生的概率思想. 對于概率的學(xué)習(xí)，不能局限于對各種概率的計算，要提升學(xué)生分析隨機現(xiàn)象的能力，培養(yǎng)學(xué)生認識不確定現(xiàn)象的思維方式，促使學(xué)生學(xué)會辯證地思考問題，從而提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng). 此外，2024年新課標Ⅰ卷第14題也可以通過分析兩個隨機變量之間的關(guān)系解決. 綜觀近幾年高考中的此類試題發(fā)現(xiàn)，對事件關(guān)系的分析及準確地用符號表達事件關(guān)系是學(xué)生的弱點，導(dǎo)致此類涉及多個復(fù)雜事件關(guān)系的問題成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，因此要特別注重培養(yǎng)學(xué)生分析事件及其關(guān)系和符號表達的能力.

拓展練習(xí)：（2016年全國Ⅰ卷·理19）某公司計劃購買[2]臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰. 機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個[200]元. 在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個[500]元. 現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了[100]臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得到柱狀圖如圖4所示.

以這[100]臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替[1]臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記[X]表示[2]臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，[n]表示購買[2]臺機器的同時購買的易損零件數(shù).

（1）求[X]的分布列；

（2）若要求[PX≤n≥0.5]，確定[n]的最小值；

（3）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在[n=19]與[n=20]之中選其一，應(yīng)選用哪個？

答案：（1）求得[X]的分布列如表7所示.

（2）19.

（3）選[n=19].

2. 命題導(dǎo)向分析

通過對2024年高考概率與統(tǒng)計試題的分析可以發(fā)現(xiàn)，高考中強化的考教銜接做得很深入，6份全國卷中的概率與統(tǒng)計試題基本都源于教材中的例題和習(xí)題，真正體現(xiàn)了高考改革與課程改革同頻共振、同向同行. 例如，2024年新課標Ⅰ卷題第9題源于人教A版教材選擇性必修第三冊“7.5 正態(tài)分布”練習(xí)題的第2題，原題通過兩個服從正態(tài)分布的隨機變量考查不同事件的概率比較. 此題則增加了生活的應(yīng)用背景，通過種植區(qū)以往的畝收入與推動出口后的畝收入兩個隨機變量服從的正態(tài)分布考查對應(yīng)的概率. 解題方法完全一致，側(cè)重于對數(shù)形結(jié)合思想的運用. 情境真實，感受數(shù)學(xué)源于生活又應(yīng)用于生活，體現(xiàn)提升素養(yǎng)的教育理念和“五育”并舉的教育要求. 2024年全國甲卷理科第13題源于人教A版教材選擇性必修第三冊復(fù)習(xí)參考題6第1題中的第（7）小題，兩題均考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，都是求系數(shù)的最大值. 但原題因展開式中各項系數(shù)即二項式系數(shù)，因而較為基礎(chǔ)，只需要掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)即可輕松求解，而此題在其基礎(chǔ)上提升了難度，因展開式中各項系數(shù)與二項式系數(shù)不同，可以用公式列出不等關(guān)系組，求解符合題意的參數(shù)取值范圍，也可以結(jié)合數(shù)據(jù)特點逐一計算展開式中第6項到第10項的系數(shù)并比較得出答案，對學(xué)生的思維能力和計算能力都有較高要求. 體現(xiàn)了高考試題源于教材、高于教材的立意，著重考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng). 此外，2024年天津卷第3題源于人教A版教材選擇性必修第三冊習(xí)題8.1第1題，原題需要依據(jù)四幅散點圖判斷[y]與[x]之間的相關(guān)關(guān)系，此題則需比較相關(guān)系數(shù)的大小，本質(zhì)一致. 此題屬于基礎(chǔ)題，學(xué)生要認識到正負相關(guān)的意義，以及數(shù)據(jù)線性相關(guān)的密切程度和相關(guān)系數(shù)的值之間的關(guān)系，考查學(xué)生對相關(guān)系數(shù)的理解與應(yīng)用. 2024年北京卷第18題源于人教A版教材選擇性必修第三冊“7.3 離散型隨機變量的數(shù)字特征”的例4，原題的背景是工地的大型設(shè)備不同狀態(tài)下的方案損失費用計算問題，難點在于需要分析不同天氣狀態(tài)下不同方案的總損失. 而此題的背景是保險的保費與出險賠付，需要分析出險次數(shù)對賠償金額的影響. 兩題均能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值. 此題需要學(xué)生認真分析并建立賠償次數(shù)和賠付金額、毛利潤之間的聯(lián)系，對學(xué)生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)提出了明確要求. 2024年上海卷第8題源于人教A版教材選擇性必修第三冊“7.1.2 全概率公式”例5的第（1）小題，背景是車床加工零件次品率問題，此題則是類似的答題正確率問題. 考查方式一致，主要考查對全概率公式的理解與直接運用.

當然，高考概率與統(tǒng)計命題除了體現(xiàn)教考銜接一體化以外，還應(yīng)該注意到概率與統(tǒng)計命題更加重視概念的理解、復(fù)雜事件關(guān)系的分析及與現(xiàn)實生活廣泛的聯(lián)系. 其中，復(fù)雜事件關(guān)系的分析及其符號化表達將會導(dǎo)致試題對邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力要求的提高，從而導(dǎo)致試題難度的增加. 相應(yīng)地，與社會生活聯(lián)系的廣泛性也會導(dǎo)致情境的豐富和對閱讀理解能力、信息整理能力的要求的提高，這些都是值得關(guān)注的命題導(dǎo)向.

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

2018年以來高考對概率與統(tǒng)計內(nèi)容的考查表明，高考試題的情境設(shè)置除了關(guān)注學(xué)生身邊的校園現(xiàn)實生活實際情境（如各種校園體育運動、球類比賽等），也希望學(xué)生更多關(guān)注與生產(chǎn)勞動相關(guān)的情境（如先進制造與數(shù)字賦能、經(jīng)濟生活、環(huán)境保護等），感受概率與統(tǒng)計在生產(chǎn)生活實際中的廣泛應(yīng)用. 當然，為了體現(xiàn)新時代特點，激發(fā)學(xué)生投身科技自立自強，熱愛科學(xué)、崇尚科學(xué)，也設(shè)計了大量科學(xué)研究情境（如生物制藥中的藥品試驗、芯片制造中的刻蝕技術(shù)、各種創(chuàng)新工藝改造等）. 三種情境的設(shè)計極大拓展了概率與統(tǒng)計知識的應(yīng)用空間，也突出考查了學(xué)生的實踐應(yīng)用能力，以及數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

當然，2024年高考試卷結(jié)構(gòu)改革帶來了許多新的挑戰(zhàn). 面對這些挑戰(zhàn)，對于概率與統(tǒng)計內(nèi)容的復(fù)習(xí)教學(xué)，我們有以下建議.

1. 重視概念和公式教學(xué)，切實把握概念的內(nèi)涵和外延

新高考特別重視考查對概念的理解和運用，人教A版教材對概率與統(tǒng)計內(nèi)容處理的最大特色就是重視概率與統(tǒng)計中相關(guān)概念的形成和講解. 事實上，正是由于很多教師在講解概念時不夠深入，甚至直接跳過概念而把重心放在習(xí)題講解上，才導(dǎo)致學(xué)生無法真正把握概念，使得概率與統(tǒng)計成為難點. 例如，2024年新課標Ⅰ卷第9題是一道考查正態(tài)分布概念的好題，只要熟知正態(tài)分布的概念和[Nμ，σ2]中[μ，σ]的含義，很容易求出相關(guān)的概率范圍. 再如，關(guān)于獨立性的概念，如果對獨立性概念的內(nèi)涵和外延把握不好，很容易產(chǎn)生錯誤認識. 事實上，“相互獨立”的含義不是“事件[A]（或事件[B]）對事件[B]（或事件[A]）的發(fā)生沒有影響”，而是“事件[A]（或事件[B]）對事件[B]（或事件[A]）發(fā)生的概率沒有影響”，也許很多學(xué)生對“概率”一詞沒有注意，即可能會把事件[A]和事件[B]相互獨立簡單理解為事件[A]與事件[B]相互不影響或相互沒有關(guān)系，2021年全國Ⅰ卷理科第8題就是專門考查獨立性概念的試題. 類似地，還有對條件概率的概念理解等，都需要學(xué)生深入把握概念的本質(zhì). 因此，在教學(xué)中一定要強化概念學(xué)習(xí)，切實把握好概念的內(nèi)涵和外延.

2. 重視事件關(guān)系分析，強化事件的符號化表達

概率學(xué)習(xí)中的兩大難點：一是對復(fù)雜關(guān)系的分析和分解；二是對隨機事件的恰當符號化表達. 只有把以上兩件事情做到位，才能更好地運用概率公式對隨機事件的概率進行數(shù)學(xué)運算. 上述例5就需要分析甲、乙兩隊投籃的情況及相應(yīng)成績的構(gòu)成及其符號表達才能順利求解. 但實際上，很多學(xué)生沒有養(yǎng)成上述習(xí)慣，直接運用概率[p，q]計算，不能很好地把握事件關(guān)系，也無法看透問題的本質(zhì). 例如，對于2024年新課標Ⅰ卷第14題，如果能夠從事件關(guān)系的角度進行分析，即設(shè)四輪比賽后，甲的總得分為[X]，乙的總得分為[Y]，則[Y=4-X]. 由此，很容易看透問題本質(zhì)，得到非常簡潔的解答，而非逐一列舉. 對于復(fù)雜的概率問題，可以采取如下研究路徑：認識隨機現(xiàn)象—用恰當?shù)姆柋磉_事件—明確隨機事件間的關(guān)系—運用概率公式進行數(shù)學(xué)運算.

3. 重視積累經(jīng)典模型，切實把握模型的本質(zhì)特征

概率與統(tǒng)計內(nèi)容與現(xiàn)實聯(lián)系緊密，概率論源于生活，因而有著大量的經(jīng)典模型問題，如賭徒問題，以及概率中的優(yōu)化問題、小概率決策及相關(guān)分析、回歸分析、獨立性檢驗、t—檢驗等. 對于上述經(jīng)典問題，要切實弄懂其本質(zhì)特征，如賭資分配是近三年高考考查的熱點問題，主要原因是其能夠與全概率公式進行充分融合. 事實上，賭資分配問題有幾個很明顯的特征：① 問題研究可以簡化為點在數(shù)軸上移動；② 每次移動都有一定概率；③ 當前時刻與下一時刻的運動有聯(lián)系，可以寫出概率遞推公式；④ 最后一定會停下來，達到一個給定的最終狀態(tài). 其實，賭資分配問題的本質(zhì)模型是一維隨機游走，而且有兩側(cè)吸收壁. 一維隨機游走，指在一維空間中，即一條直線數(shù)軸上，有一個可以任意移動的質(zhì)點位于某處[x=i，i∈Z]，它能夠以一定的概率向左或向右移動一個單位長度，每個單位時間移動一次.

4. 認真研究教材，做好教考銜接

通過對2024年高考試題的特點分析，發(fā)現(xiàn)試題引導(dǎo)教學(xué)立足課程標準，要求以課程目標和核心素養(yǎng)為指引，以數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能為載體，在學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的過程中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會研究、學(xué)會解決問題，進而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 在教學(xué)中，要重視對教材的學(xué)習(xí)，要強化教材研究，要重視對教材中一些基本概念、核心原理來龍去脈的講解和深刻理解；立足教材中的概念、公式、定理等重要知識，構(gòu)建知識的邏輯框架，使內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，提升學(xué)生理解的深刻性和思維的靈活性；強化通性通法，淡化特殊技巧，引導(dǎo)學(xué)生善于從繁雜的問題呈現(xiàn)形式中洞悉本質(zhì)，把握一般規(guī)律與方法，注重滲透數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗；圍繞教材中的典型例題和習(xí)題，深入挖掘其內(nèi)涵和價值，重視一題多解、一題多變、多題一解，開闊學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的視野，以及分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的思維品質(zhì)，為培育學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定堅實基礎(chǔ).

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［8］彭海燕，張珅瑞. 概率與統(tǒng)計的秘密［M］. 杭州：浙江大學(xué)出版社，2023.

作者簡介：彭海燕（1977— ），男，正高級教師，廣東省特級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

張珅瑞（1984— ），男，高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究．