立足教材的“等差數(shù)列與函數(shù)”復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)踐

摘" 要：教學(xué)應(yīng)該立足教材而又不拘泥于教材. 從教材習(xí)題出發(fā)，用函數(shù)觀點(diǎn)研究等差數(shù)列的通項(xiàng)[an]，并利用圖象的平直性快速解決問(wèn)題；通過(guò)類比，對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和[Sn]進(jìn)行研究，并利用圖象的對(duì)稱性和凹凸性解決問(wèn)題；通過(guò)運(yùn)算（求導(dǎo)）研究[Snn]的性質(zhì)，讓學(xué)生感悟凹凸性與平直性的和諧統(tǒng)一.

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列；函數(shù)觀點(diǎn)；立足教材；教學(xué)實(shí)踐

中圖分類號(hào)：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1673-8284（2024）10-0027-07

引用格式：朱成萬(wàn). 立足教材的“等差數(shù)列與函數(shù)”復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)踐［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（10）：27-32，39.

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，即其自變量的取值是正整數(shù). 等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可以從等差數(shù)列的通項(xiàng)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和兩方面進(jìn)行考查. 從等差數(shù)列的通項(xiàng)角度來(lái)看，等差數(shù)列是一次函數(shù)，通項(xiàng)公式[an=a1+n-1d]可以寫成[an=pn+q]的形式，它與一次函數(shù)[y=kx+b]相對(duì)應(yīng). 類似地，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和[Sn=na1+nn-1d2]可以寫成[Sn=An2+Bn]的形式，它與二次函數(shù)[y=ax2+bx]相對(duì)應(yīng).

函數(shù)既有代數(shù)表示（解析式）又有幾何表示（函數(shù)圖象）. 類似地，等差數(shù)列既可以用代數(shù)表示，也可以用圖象表示. 實(shí)際上，給定了數(shù)列的通項(xiàng)公式[an]，就是給定了函數(shù)解析式[an=fn]. 其中，[n]是自變量，[an]是函數(shù)值. 于是函數(shù)[an=fn]與點(diǎn)[n，an]一一對(duì)應(yīng). 從幾何角度來(lái)看：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式[an=pn+q]對(duì)應(yīng)一次函數(shù)，幾何直觀體現(xiàn)為平直性；等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式[Sn=An2+Bn]對(duì)應(yīng)二次函數(shù)，幾何直觀體現(xiàn)為對(duì)稱性和凹凸性. 因此，我們可以借助函數(shù)圖象的幾何直觀解決數(shù)列問(wèn)題.

利用函數(shù)的解析式和圖象的幾何直觀對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)[an]及其性質(zhì)進(jìn)行研究，并在此基礎(chǔ)上，通過(guò)類比，進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和[Sn]. 該過(guò)程突出了函數(shù)思想，體現(xiàn)了聯(lián)系性，豐富了學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升了學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是利用函數(shù)觀點(diǎn)解決等差數(shù)列的通項(xiàng)[an]及其前[n]項(xiàng)和[Sn]的相關(guān)問(wèn)題.

二、目標(biāo)與目標(biāo)解析

作為復(fù)習(xí)探究課，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定位為：源于教材而又不拘泥于教材，即從教材中的習(xí)題入手（源于教材）研究等差數(shù)列的通項(xiàng)與一次函數(shù)的關(guān)系，然后通過(guò)類比，研究等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和[Sn]的性質(zhì)（不拘泥于教材）.

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）通過(guò)例1，學(xué)生能夠了解解決與等差數(shù)列通項(xiàng)[an]有關(guān)的問(wèn)題的三種方法：基本量法、函數(shù)解析式法和函數(shù)圖象法.

（2）通過(guò)問(wèn)題2，學(xué)生能夠理解等差數(shù)列通項(xiàng)[an]的兩個(gè)重要性質(zhì)的幾何意義，感受通項(xiàng)[an]對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的平直性.

（3）通過(guò)例2和問(wèn)題3，學(xué)生能夠理解等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和[Sn]的幾何意義，感受前[n]項(xiàng)和[Sn]對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的對(duì)稱性和凹凸性.

（4）通過(guò)例3和問(wèn)題5，學(xué)生能夠理解等差數(shù)列的通項(xiàng)[an]與前[n]項(xiàng)和[Sn]的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧與統(tǒng)一.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

學(xué)生雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式[an]和前[n]項(xiàng)和[Sn]的基礎(chǔ)知識(shí)，基本掌握了基本量（“知三求二”問(wèn)題）的計(jì)算求解方法，但是對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)[an]及其前[n]項(xiàng)和[Sn]的認(rèn)識(shí)還局限于數(shù)列本身. 例如，在例1和例2中，學(xué)生往往利用等差數(shù)列的首項(xiàng)[a1]、公差d等基本量進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算求解，缺乏從函數(shù)角度研究等差數(shù)列的意識(shí).

學(xué)生很少接觸與數(shù)列蘊(yùn)含的幾何意義有關(guān)的試題，特別是對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)[an]對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象所體現(xiàn)的平直性，等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和[Sn]對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象所體現(xiàn)的凹凸性等研究缺乏認(rèn)識(shí)（如問(wèn)題2和問(wèn)題3）. 此外，學(xué)生對(duì)于等差數(shù)列的通項(xiàng)[an]與前[n]項(xiàng)和[Sn]的聯(lián)系，一次函數(shù)與二次函數(shù)通過(guò)運(yùn)算（求導(dǎo)）而融合的理解存在不足（如問(wèn)題4和問(wèn)題5）.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的通項(xiàng)[an]與前[n]項(xiàng)和[Sn]，通過(guò)運(yùn)算體會(huì)數(shù)學(xué)的和諧與統(tǒng)一.

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路是：（1）從教材中的習(xí)題入手，研究等差數(shù)列通項(xiàng)與一次函數(shù)的關(guān)系，探究等差數(shù)列通項(xiàng)的兩個(gè)性質(zhì)的幾何意義，體會(huì)等差數(shù)列的通項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的平直性；（2）通過(guò)類比，研究等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和，體會(huì)等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的對(duì)稱性和凹凸性；（3）對(duì)[Snn]及其性質(zhì)進(jìn)行研究，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)運(yùn)算（求導(dǎo)后二次函數(shù)變?yōu)橐淮魏瘮?shù)）感悟凹凸性與平直性的聯(lián)系，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一之美.

1. 引導(dǎo)語(yǔ)

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，它的定義是[an-an-1=d]，通項(xiàng)公式是[an=a1+n-1d]，也可以寫成[an=pn+q]的形式，等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式是[Sn=d2n2+a1-d2n]，也可以寫成[Sn=An2+Bn]的形式.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)復(fù)習(xí)舊知，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備.

2. 探究通項(xiàng)[an]及其性質(zhì)

例1" 在等差數(shù)列[an]中，若[am=n，an=m m≠n，]則[am+n]的值為" " " " .

師生活動(dòng)：教師呈現(xiàn)試題后，學(xué)生自主解答，通常會(huì)有以下解法.

解法1：由[an=a1+n-1d=m，am=a1+m-1d=n，]得[a1=m+n-1，d=-1.]

則[am+n=a1+m+n-1d=m+n-1-m+n-1=0].

解法2：由[an=pn+q=m，am=pm+q=n，] 得[p=-1，q=m+n.]

則[am+n=pm+n+q=0].

教師引導(dǎo)：我們知道數(shù)列是離散的函數(shù). 對(duì)于[am=n]，從函數(shù)的角度來(lái)看，就是當(dāng)自變量為[m]時(shí)，函數(shù)值為[n]；從函數(shù)的圖象來(lái)看，[am=n]對(duì)應(yīng)點(diǎn)[m，n]. 同理，[an=m]對(duì)應(yīng)點(diǎn)[n，m]. 因此，求[am+n]的值就是求點(diǎn)[m+n，am+n]的縱坐標(biāo). 故得到解法3.

解法3：因?yàn)閇an]是等差數(shù)列且[m≠n]，所以[d≠0]，它的通項(xiàng)公式是關(guān)于[n]的一次函數(shù)，圖象可以看作一條直線型點(diǎn)列，如圖1所示. 則[n，m]，[m，n，][m+n，am+n]三點(diǎn)共線，利用兩點(diǎn)形成的直線的斜率相等，得[n-mm-n=am+n-nm+n-m]，解得[am+n=0].

教師追問(wèn)：你能對(duì)上述三種解法進(jìn)行梳理嗎？

師生共同梳理：解法1是利用等差數(shù)列的首項(xiàng)[a1]和公差d等基本量來(lái)求解問(wèn)題的；解法2是利用等差數(shù)列通項(xiàng)的函數(shù)解析式來(lái)求解的；解法3是利用函數(shù)圖象的幾何直觀來(lái)解決問(wèn)題的. 上述三種解法的運(yùn)算量逐漸減少.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)回顧基礎(chǔ)知識(shí)，從基本量（解法1）、函數(shù)解析式（解法2）和函數(shù)圖象（解法3）三個(gè)角度解決與等差數(shù)列通項(xiàng)有關(guān)的問(wèn)題，并通過(guò)對(duì)比三種解法的運(yùn)算量，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)視角思考數(shù)列問(wèn)題.

問(wèn)題1：能否說(shuō)明利用函數(shù)圖象的幾何直觀求解與等差數(shù)列通項(xiàng)有關(guān)的問(wèn)題的一般思路？

師生活動(dòng)：教師提示，學(xué)生思考后作答.

一般思路為：（1）將數(shù)列各要素翻譯成函數(shù)各要素，即通項(xiàng)[an]→點(diǎn)[n，an]；（2）運(yùn)用函數(shù)解析式或者相關(guān)的幾何結(jié)論解決函數(shù)問(wèn)題；（3）將結(jié)果用數(shù)列表示.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)歸納思路，讓學(xué)生理解研究方法，為接下來(lái)的研究帶來(lái)思路和方法上的引導(dǎo).

問(wèn)題2：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看作線性函數(shù)，其圖象的幾何直觀體現(xiàn)為平直性. 對(duì)于等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）等差中項(xiàng)[an=an-1+an+12 ]；（2）若[m+n=p+q]，則[ap+aq=am+an]. 能否給出它們的幾何解釋？

師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生思考后作答.

生1：如圖2，等差數(shù)列的圖象是均勻分布在某一條直線上的點(diǎn)，若[an-1和an+1]分別對(duì)應(yīng)直角梯形的兩條底邊的長(zhǎng)，則[an]為直角梯形的中位線的長(zhǎng). 因此[an=][an-1+an+12 ]的幾何意義是直角梯形的中位線的長(zhǎng)等于該梯形上、下底邊長(zhǎng)的和的一半.

生2：如圖3，類似地，若[am，an]和[ap，aq]分別對(duì)應(yīng)直角梯形的上、下底邊的長(zhǎng)，則[ap+aq]與[am+an]為上述兩個(gè)梯形的中位線長(zhǎng)的兩倍. 因?yàn)閇m+n=p+q]，所以這兩個(gè)直角梯形有相同的中位線，所以[ap+aq=][am+an].

生3：對(duì)性質(zhì)（2）作變形可以得到：若[n-q=p-m]，則[ap-am=an-aq]，則[an-aqn-q=ap-amp-m]. 該式的幾何意義是直線的斜率相等，這種解析方式能夠更直觀地體現(xiàn)圖象的平直性.

【設(shè)計(jì)意圖】該問(wèn)題中的等差數(shù)列的兩個(gè)性質(zhì)，在新授課時(shí)往往側(cè)重于“下標(biāo)相等”的代數(shù)運(yùn)算，而在本節(jié)課中用一次函數(shù)的圖象直觀地給出了解釋，加深了學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一次函數(shù)聯(lián)系的理解.

3. 探究[Sn]及其性質(zhì)

例2" 記[Sn]為數(shù)列[an]的前n項(xiàng)和，若[Sm=Sn][m≠n]，則[Sm+n]的值為" " " ".

師生活動(dòng)：教師呈現(xiàn)例題后，學(xué)生從例1中得到啟示，通常會(huì)得到以下三種解題方法.

解法1：由題意，知[Sn=na1+12nn-1d，Sm=ma1+12mm-1d.]

兩式相減，得[a1n-m+d2n2-n-m2+m=0]，

即[n-ma1+d2n+m-1=0].

因?yàn)閇m≠n]，

所以[a1=-d2n+m-1].

所以[Sn+m=n+ma1+12n+mn+m-1d]

[=n+m-d2n+m-1+12n+mn+m-1d]

[=0].

解法2：設(shè)[Sn=An2+Bn].

由題意，得[An2+Bn=Am2+Bm].

所以[An+m+B=0].

所以[Sn+m=An+m2+Bn+m]

[=n+mAn+m+B]

[=0].

解法3：因?yàn)閇an]是等差數(shù)列，

所以[Sn=Sn]是關(guān)于n的二次函數(shù)，圖象為一條拋物線型點(diǎn)列，如圖4所示.

因?yàn)閇Sm=Sn][ m≠n]，

所以點(diǎn)[m，Sm]與點(diǎn)[n，Sn]關(guān)于直線[x=m+n2]對(duì)稱.

由于該二次函數(shù)沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，即[S0=0].

所以[Sm+n=0].

所以[Sm+n=0].

教師追問(wèn)：你能對(duì)上述三種解題方法進(jìn)行梳理嗎？

師生共同梳理：解法1是利用等差數(shù)列的首項(xiàng)[a1]和公差[d]等基本量進(jìn)行求解的，運(yùn)算量非常大（課堂實(shí)踐表明，很多學(xué)生算不出最終結(jié)果）；解法2是用等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和的函數(shù)解析式進(jìn)行求解的，運(yùn)算量比解法1??；解法3是利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)解題的，幾乎沒(méi)有運(yùn)算量.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生將解決等差數(shù)列通項(xiàng)[an]的方法遷移到求解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和[Sn]的問(wèn)題中，通過(guò)對(duì)比三種解題方法，讓學(xué)生感悟用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題的優(yōu)越性.

問(wèn)題3：類比等差數(shù)列[an]通項(xiàng)公式的性質(zhì)：（1）等差中項(xiàng)[an=an-1+an+12 ]；（2）若[m+n=p+q]，則[ap+aq=am+][an]. 針對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和[Sn]，試探究以下問(wèn)題.

（1）[Sn]與[Sn-1+Sn+12 ]是否相等？

（2）若[m+n=p+q]，則[Sp+Sq=Sm+Sn]是否成立？（不妨設(shè)[0lt;mlt;plt;qlt;n].）

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，通過(guò)類比等差數(shù)列通項(xiàng)的研究方法，學(xué)生可以從圖形角度直觀看出上述等式是否成立.

生1：當(dāng)公差[dgt;0]時(shí)，等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和[Sn]對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線型點(diǎn)列，如圖5所示. 此時(shí)有[Snlt;Sn-1+Sn+12 ]. 類似地，當(dāng)[dlt;0]時(shí)，有[Sngt;Sn-1+Sn+12 ].

生2：性質(zhì)（2）可以看作是性質(zhì)（1）的拓展. 如圖6，當(dāng)[dgt;0]時(shí)，等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和[Sn]對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線型點(diǎn)列，此時(shí)有[Sp+Sqlt;] [Sm+Sn]. 同理，當(dāng)[dlt;0]時(shí)，有[Sp+Sqgt;Sm+Sn].

教師追問(wèn)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微. 我們已經(jīng)從形的角度探究出了[Sp+Sq]與[Sm+Sn]的關(guān)系，你能用代數(shù)方法進(jìn)行證明嗎？

證明：以[dgt;0，Sp+Sqlt;Sm+Sn]為例.

[Sn-Sq=na1+12nn-1d-qa1-12qq-1d]

[=a1n-q+d2nn-1-qq-1]

[=n-qa1+d2n+q-1].

同理，[Sp-Sm=p-ma1+d2p+m-1].

因?yàn)閇0lt;mlt;plt;qlt;n]，且[m+n=p+q]，

所以[p-m=n-qgt;0]，且[n+qgt;m+p].

所以[a1+d2n+q-1gt;a1+d2p+m-1].

所以[Sn-Sqgt;Sp-Sm]，即[Sp+Sqlt;Sm+Sn].

所以當(dāng)[dgt;0]時(shí)，若[m+n=p+q]，則[Sp+Sqlt;Sm+Sn]成立.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類比等差數(shù)列的通項(xiàng)，理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)的聯(lián)系，讓學(xué)生能夠利用二次函數(shù)的凹凸性解決問(wèn)題，體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系，強(qiáng)化學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)看待數(shù)列問(wèn)題的意識(shí).

問(wèn)題4：等差數(shù)列[an]中，[an-amn-m]的幾何意義是一次函數(shù)的斜率，那么[Sn-Smn-m]的幾何意義是什么？

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生思考后得到[Sn-Smn-m]表示拋物線上兩點(diǎn)[Am，Sm，Bn，Sn]所在直線的斜率，即割線的斜率.

追問(wèn)1：記函數(shù)[Sn=Sn=an2+bn]，那么[Sn-Smn-m]的值是多少？

因?yàn)閇Sn-Smn-m=an2+bn-am2-bmn-m=am+n+b]，所以[Sn-Smn-m]的值為[am+n+b].

追問(wèn)2：式子[am+n+b]有什么含義？

如圖7，對(duì)函數(shù)[Sn=an2+bn]求導(dǎo)，得到[Sn=][2an+b]，則[am+n+b=Sm+n2]，即[Sn-Smn-m=am+n+b]的幾何意義是割線AB的斜率等于拋物線在點(diǎn)[A，B]橫坐標(biāo)的中點(diǎn)M處的切線的斜率.

追問(wèn)3：當(dāng)[m+n=p+q]時(shí)，[Sn-Smn-m=Sp-Sqp-q]的幾何意義是什么？

如圖8，[Sn-Smn-m=Sp-Sqp-q]表示直線AB與直線CD的斜率相等，即[AB∥CD]. 因?yàn)閇m+n=p+q]，所以直線AB，CD的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同. 因此[Sn-Smn-m=Sp-Sqp-q]的幾何意義蘊(yùn)含著圓錐曲線中的一個(gè)結(jié)論：拋物線的平行弦的中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條射線.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)進(jìn)一步拓展二次函數(shù)的凹凸性，尋求知識(shí)之間的聯(lián)系，加深學(xué)生對(duì)數(shù)列問(wèn)題的理解.

4. 探究[Snn]及其性質(zhì)

例3 （2023年新課標(biāo)Ⅰ卷·7）記[Sn]為數(shù)列[an]的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：[an]為等差數(shù)列；乙：[Snn]為等差數(shù)列，則（" " ）.

（A）甲是乙的充分條件但不是必要條件

（B）甲是乙的必要條件但不是充分條件

（C）甲是乙的充要條件

（D）甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

學(xué)生思考后給出如下解答.

解：因?yàn)閇an]為等差數(shù)列，

所以設(shè)數(shù)列[an]的首項(xiàng)為[a1]，公差為d.

則[Sn=na1+nn-12d].

所以[Snn=a1+n-12d=d2n+a1-d2].

所以[Snn]為等差數(shù)列，

所以甲是乙的充分條件.

因?yàn)閇Snn]為等差數(shù)列，

所以設(shè)[Sn+1n+1-Snn=D]（[D]為常數(shù)），

則[Snn=S1+n-1D]，即[Sn=nS1+nn-1D].

所以當(dāng)[n≥2]時(shí)，[an=Sn-Sn-1=S1+2n-1D].

因?yàn)楫?dāng)[n=1]時(shí)，[an=a1+2n-1D]成立，

所以[an=a1+2n-1D].

因?yàn)閇an+1-an=a1+2nD-a1+2n-1D=2D]為常數(shù)，

所以[an]為等差數(shù)列.

所以甲是乙的必要條件.

綜上所述，甲是乙的充要條件.

故答案選C.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)該問(wèn)題的研究，學(xué)生能夠進(jìn)一步明確等差數(shù)列的通項(xiàng)與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征.

問(wèn)題5：記[Sn]為等差數(shù)列[an]的前n項(xiàng)和，對(duì)于數(shù)列[Snn]，類比前面的研究方法，你能得出什么結(jié)論？

學(xué)生探討后，得到的部分結(jié)論如下.

結(jié)論1：數(shù)列[Snn]是等差數(shù)列.

結(jié)論2：當(dāng)[m+n=p+q]時(shí)，[Smm+Snn=Spp+Sqq]（體現(xiàn)為圖象的平直性）.

結(jié)論3：[Sm+nm+n=Sn-Smn-m].

對(duì)于結(jié)論3，可以將其特殊化，得到：當(dāng)[Sn=Sm]時(shí)，[Sn+m=0]（參照例2）；當(dāng)[Sn=m，Sm=n]時(shí)，[Sn+m=][-m+n]（類比例1）.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)探究，讓學(xué)生進(jìn)一步理解[Snn]及其性質(zhì). 通過(guò)總結(jié)結(jié)論，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)的和諧與統(tǒng)一.

5. 小結(jié)

問(wèn)題6：我們研究了幾類對(duì)象？用了什么方法？你有什么啟示？

（1）研究了三類對(duì)象，分別為[an，Sn， Snn].

（2）用函數(shù)的觀點(diǎn)研究了等差數(shù)列的通項(xiàng)及其前n項(xiàng)和，具體見表1.

（3）啟示：研究對(duì)象在變，研究方法不變.

作業(yè)布置：類比用函數(shù)觀點(diǎn)研究等差數(shù)列的方法，試用函數(shù)觀點(diǎn)研究等比數(shù)列.

五、教學(xué)反思

本節(jié)課為復(fù)習(xí)探究課，在設(shè)計(jì)思路上，主要有以下特點(diǎn).

1. 立足教材而不拘泥于教材

本節(jié)課所用的許多素材都源自教材. 其中，例1源自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）選擇性必修第二冊(cè)第18頁(yè)練習(xí)3；問(wèn)題2源自人教A版教材選擇性必修第二冊(cè)第17頁(yè)的例5和思考；例2中利用二次函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)解決問(wèn)題源自人教A版教材選擇性必修第二冊(cè)第23頁(yè)例9；問(wèn)題3中有關(guān)一次函數(shù)的平直性和二次函數(shù)的凹凸性的探究源自人教A版教材必修第一冊(cè)第101頁(yè)復(fù)習(xí)參考題3的第8題.

在探究問(wèn)題時(shí)不拘泥于教材，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面.

（1）教學(xué)時(shí)不是解出試題就可以了，而是要進(jìn)行多方位、多角度深入探究.

（2）有關(guān)等差數(shù)列的通項(xiàng)[an]的研究完成后，采用類比的方法研究等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和[Sn]，進(jìn)而研究[Snn]的性質(zhì)，體現(xiàn)了對(duì)研究對(duì)象的拓展和研究方法的自然延伸.

2. 強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，加強(qiáng)聯(lián)系

等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩類重要的基本數(shù)列模型，等差數(shù)列的通項(xiàng)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是等差數(shù)列的兩大基本要素. 本節(jié)課對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)和等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和進(jìn)行研究，目的是強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，即強(qiáng)調(diào)對(duì)基本問(wèn)題的研究.

在研究過(guò)程中，教師并沒(méi)有將等差數(shù)列的通項(xiàng)與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和割裂開來(lái)，而是加強(qiáng)了它們之間的聯(lián)系，主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面.

（1）將等差數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)和研究方法遷移到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的研究中.

（2）在研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的凹凸性時(shí)，得到的不等關(guān)系是顯性的. 在教學(xué)時(shí)，教師要充分挖掘其中蘊(yùn)含的隱性關(guān)系（斜率相等），從而將數(shù)列的表示與導(dǎo)數(shù)的幾何意義聯(lián)系起來(lái). 由平行線的中點(diǎn)有規(guī)律，自然地聯(lián)想到圓錐曲線中的相關(guān)結(jié)論.

（3）可以將等差數(shù)列的研究路徑和研究方法遷移到等比數(shù)列的研究中.

3. 凸顯思想，著意思維

本節(jié)課的著眼點(diǎn)是利用函數(shù)觀點(diǎn)研究等差數(shù)列. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是一次函數(shù)，幾何直觀呈現(xiàn)為平直性；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是二次函數(shù)，幾何直觀呈現(xiàn)為對(duì)稱性和凹凸性. 在用基本量法、函數(shù)解析式法和函數(shù)圖象法解決問(wèn)題（特別是例1和例2）時(shí)，運(yùn)算量逐級(jí)減少，凸顯了利用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題的優(yōu)越性.

運(yùn)算量的減少得益于思維量的增加. 當(dāng)思維量提升了，運(yùn)算量就會(huì)減少，體現(xiàn)了高考“多一點(diǎn)想、少一點(diǎn)算”的命題理念.

參考文獻(xiàn)：

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［3］鄔建云，王紅權(quán).“等差數(shù)列”習(xí)題課的教學(xué)實(shí)踐［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2015（12）：25-30.

作者簡(jiǎn)介：朱成萬(wàn)（1973— ），男，正高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.