寓抽象于具體，發(fā)展邏輯思維能力

摘" 要：新高考數(shù)學試卷引導教學“回歸課標，重視教材”，對數(shù)學復習課如何遵循教育規(guī)律，突出數(shù)學教學的本質進行討論. 在高中數(shù)學命題與教學評價專題研討會上，公開課“抽象函數(shù)研究”為大會提供了基于教學實踐進行理論概括的研討樣例. 基于教學實踐，對教學設計進行反思，獲得了以下啟示：在教學內容的選擇上，寓抽象概念于具體模型，回歸抽象函數(shù)的代數(shù)運算本質，以高考真題為例進行研究；在教學目標的設定上，關注邏輯思維能力的培養(yǎng)與提升；在教學方法的嘗試上，基于有結構的導引問題，寓抽象于合情推理；在教學過程的設計上，遵循能力測評、診斷分析、典例精析、歸納小結和目標檢測五環(huán)節(jié)模式，注重內容的基礎性和方法的普適性，為學生留出思考和學習的空間，落實回歸教學的要求，有效提升和發(fā)展學生的邏輯思維能力．

關鍵詞：抽象函數(shù)；邏輯思維能力；五環(huán)節(jié)模式

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）10-0019-05

引用格式：黃炳鋒. 寓抽象于具體，發(fā)展邏輯思維能力：以“抽象函數(shù)研究”的教學為例［J］. 中國數(shù)學教育（高中版），2024（10）：19-23.

2024年迎來了恢復高考以來高考數(shù)學命題最重大、最全面的一次改革. 新高考數(shù)學創(chuàng)新試卷結構，調整難度結構，突出了“價值引領、素養(yǎng)導向、能力為重、知識為基”的高考命題理念，全面發(fā)揮了“立德樹人、服務選才、引導教學”的高考核心功能，用試題詮釋了“遵循教育規(guī)律，突出教學本質，回歸課標，重視教材”的教學要求. 在此背景下，中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會以“高考數(shù)學命題改革趨勢與教學方式變革方向”為主題，帶領眾多教研員與一線教師開展了“高中數(shù)學命題與教學評價”的專題研究. 在湖北省宜昌市舉辦的專題研討會上，筆者以“抽象函數(shù)研究”為題，開設了教學公開課，為專題研討會提供了基于教學實踐進行理論概括的研討樣例. 通過復盤教學設計與教學過程，在教學內容的選擇、教學目標的設定、教學方法的嘗試，以及教學過程的設計四個方面了進行回顧與反思.

一、教學內容的選擇：立足具體實例，選真題作實戰(zhàn)演練

1. 在教學內容的選擇上，實戰(zhàn)高考，選擇合適的高考試題作為具體實例

近年來，抽象函數(shù)試題頻繁出現(xiàn)在大型考試中. 例如，2024年新課標Ⅰ卷第8題、九省聯(lián)考第11題，2023年新課標Ⅰ卷第11題、適應性考試第7題和第9題，2022年新高考Ⅰ卷第12題、新高考Ⅱ卷第8題等，這些試題涉及的函數(shù)沒有具體的解析式或圖象，只抽象地提供了一些函數(shù)特征，或者只借助函數(shù)的方程給出了函數(shù)的特定性質或運算規(guī)則，以描述函數(shù)的定義域、遞推關系、特殊點的函數(shù)值和特定的運算性質等條件. 試題以選擇題為主，立意新穎，構思巧妙，難度較大，求解該類試題需要學生具有嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力，以及應用函數(shù)知識分析問題和解決問題的能力，這對學生的綜合能力要求較高. 因此，抽象函數(shù)的求解成為了新高考的熱點和重點. 它既是高中函數(shù)部分的難點，也是高等數(shù)學函數(shù)部分與初等數(shù)學函數(shù)部分的銜接點.

抽象函數(shù)本身就是一個抽象概念，是相對于具體函數(shù)而提出的. 高考對抽象函數(shù)的考查是將其置于具體的實例中，為了讓學生明確所要研究的對象，能夠遷移研究方法，教學內容應該寓抽象概念于具體實例. 選擇高考試題作為實戰(zhàn)演練的典型例題，能夠幫助學生在解決具體問題的過程中梳理解題的一般方法和基本策略.

2. 在教學內容的設計上，回歸教材，探尋抽象函數(shù)的代數(shù)運算本質

盡管抽象函數(shù)沒有具體的解析式作為載體，試題比較抽象，理解起來比較困難，但是抽象函數(shù)問題的本質還是函數(shù)問題，其命題方式以基本初等函數(shù)為模型，在代數(shù)運算和函數(shù)性質的基礎上進行一般化抽象，因此抽象函數(shù)的解題分析與具體函數(shù)的性質研究所遵循的邏輯基礎和一般方法一致，抽象函數(shù)教學內容的設計應該回歸教材中研究具體函數(shù)的路徑與方法.

回歸教材的思考，一方面，體現(xiàn)在抽象函數(shù)與具體函數(shù)沒有本質的差異上. 在抽象函數(shù)研究中，所用的方法都可以在教材提供的具體函數(shù)研究的學習過程中找到，在學習函數(shù)的概念與性質和基本初等函數(shù)時已經學習過相關方法，因此只需要對抽象函數(shù)賦予一般的意義即可. 另一方面，將教材中具體函數(shù)的運算性質加以抽象并賦予定義的形式，就可以得到抽象函數(shù)的形式. 這意味著許多抽象函數(shù)具有原型，具體函數(shù)的解就是抽象函數(shù)的特解. 例如，滿足“[fx+y=][fxfy]”的抽象函數(shù)可以是指數(shù)函數(shù)，因為指數(shù)函數(shù)中指數(shù)的加法運算可以轉化為冪的乘法運算，對應關系的掌握有助于學生在處理抽象問題時迅速找到解決方法. 由此形成了兩種解決抽象函數(shù)問題的一般方法：一種是基于演繹推理，結合函數(shù)性質與概念由一般到特殊，通過賦值、推理等方式來獲得結論；另一種是基于合情推理，結合函數(shù)的運算特征選擇符合抽象函數(shù)特征的具體函數(shù)模型，借助選擇題的題型特征進行求解.

3. 在教學內容的研究上，無需拓展，立足基本初等函數(shù)原型的研究

在進行教學設計時，筆者試圖在教學中通過嚴謹?shù)姆椒ㄕ撟C抽象函數(shù)的模型，用“定理”的形式給出模型聯(lián)系與函數(shù)樣例. 章建躍理事長否定了這個設想，他指出抽象函數(shù)本就抽象，提煉成定理會更加抽象，不符合學生的認知水平. 實際上，高考中以抽象函數(shù)為背景的試題，考查了學生的數(shù)學探究性思維、思維的靈活性和從特殊到一般的歸納思維等. 這類問題的解決，應該注重內容的基礎性和方法的普適性，教師只需要引導學生通過適當推理得出規(guī)律，或者將抽象函數(shù)問題適當轉化為可以利用基本初等函數(shù)的性質進行求解的問題即可，絕不希望出現(xiàn)超綱教學的抽象函數(shù)的內容，將抽象函數(shù)作為新的知識增長點，補充知識“套定理”，新增內容“套模式”，盲目鉆研與機械訓練，都不是高考的復習導向. 這說明抽象函數(shù)的教學內容不需要在概念知識上進行拓展，新增定理. 在函數(shù)模型的選擇上，以基本初等函數(shù)為原型就足夠了，復習教學的重點應該將總結解題技巧轉到培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和發(fā)展學生的邏輯思維等關鍵能力上.

教什么比怎么教更重要. 選擇了合適的教學內容，高中數(shù)學的復習課就有了正確教學的基礎，抽象函數(shù)的復習教學應該寓抽象于具體，重視學生的數(shù)學思維方式的形成，重視應用數(shù)學解決問題的能力的培養(yǎng)，在教“真數(shù)學”中發(fā)展學生的邏輯思維能力.

二、教學目標的設定：依托不同水平，化能力為分層發(fā)展

高考對邏輯思維能力的考查是分水平層次的，抽象函數(shù)試題對學生的能力層次要求較高，在教學目標上應該依托不同的教學內容和教學過程分層次進行設計，逐一突破，在教學過程中分水平發(fā)展. 為了使教學目標更具體、可操作且可檢測，對教學目標和教學過程進行了如下分層思考.

第一層次是數(shù)學抽象能力和直觀想象能力. 表現(xiàn)在審題的過程中，體現(xiàn)了高考的基礎性和綜合性. 研究一個抽象函數(shù)問題，學生應該明確試題（包括選擇題中的題設和選項）的特征，從變量與常量的個數(shù)、條件等式的樣式、目標選項的特點，以及涉及的代數(shù)運算形式等方面進行識別，從一般性與特殊性兩個方面建立題設與選項之間的聯(lián)系.

第二層次是數(shù)學運算能力和邏輯推理能力. 表現(xiàn)在解題的過程中，體現(xiàn)了高考的綜合性與應用性. 學生應該明確如何通過靈活賦值、代數(shù)運算（包括導數(shù)運算）和尋找模型等方式實現(xiàn)轉化，應用數(shù)形結合、函數(shù)與方程、特殊與一般、轉化與化歸，以及分類與整合等思想方法獲得結論.

第三層次是數(shù)學建模能力和數(shù)學表達能力. 表現(xiàn)在獲得結論與檢驗反思的過程中，體現(xiàn)了高考的應用性與創(chuàng)新性. 學生要能夠找到基本初等函數(shù)的原型來解釋抽象函數(shù)，要能夠創(chuàng)造性地建立函數(shù)模型來實現(xiàn)證明或證偽的解題過程，并從中提煉研究方法作為解題的一般策略.

抽象函數(shù)試題主要考查函數(shù)的三要素（定義域、對應關系和值域）、單調性、奇偶性、周期性、極值、最值和對稱性等基礎知識，考查學生的邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學建模能力和創(chuàng)新能力等關鍵能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、轉化與化歸思想、分類與整合思想、特殊與一般思想等數(shù)學思想方法，檢測了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模和直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了高考的綜合性和創(chuàng)新性.

基于上述分析將教學目標設定為：經歷求解抽象函數(shù)問題的過程，了解該類試題的情境創(chuàng)設、條件構造和設問方式的特點，理解抽象函數(shù)的數(shù)學內涵，能夠以基本初等函數(shù)為參照，通過歸納、類比等方法探究規(guī)律和發(fā)現(xiàn)解題方法，通過邏輯推理進行證明或者通過舉反例進行證偽，得出結論，體會從特殊到一般、歸納與類比等數(shù)學思想，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng).

教學目標達成的標志為：能夠以基本初等函數(shù)為參照，提取條件和選項所提供的信息；能夠通過探索發(fā)現(xiàn)符合抽象函數(shù)條件的具體函數(shù)模型，找到符合要求的函數(shù)，并結合函數(shù)性質，對試題選項中的性質進行判斷；能夠通過邏輯推理、數(shù)學運算等方法得出抽象函數(shù)的相關性質，并對選項給出的性質做出正確的判斷.

三、教學方法的嘗試：基于導引問題，寓抽象于合情推理

教學內容的選擇決定了教學的方向和方法. 通過調查與分析，發(fā)現(xiàn)教學的主要問題為抽象思維、邏輯推理能力不足，運算求解能力欠缺，建立函數(shù)模型的意識不強，沒有形成研究抽象函數(shù)的一般方法.

基于診斷，筆者認為要寓抽象于具體，抽象函數(shù)性質的研究方法是通過歸納具體函數(shù)研究的方法并將其一般化而得到的，但是由于抽象函數(shù)的解析式往往不確定，所以在研究抽象函數(shù)的性質時更趨向于回歸性質的定義或者利用符合條件的函數(shù)模型進行檢驗，求解抽象函數(shù)問題需要學生有理性思維能力，體現(xiàn)了邏輯性、實證性和批判性特點. 這是學習的主要困難. 化解困難的方法是提供具體的函數(shù)實例進行驗證或者加強解題分析、引導思考，培養(yǎng)學生的理性思維能力.

由此設定教學的難點為探索發(fā)現(xiàn)有關抽象函數(shù)問題的求解方法，提煉解題的一般方法與策略.

四、教學過程的設計：按照五個環(huán)節(jié)設計，置解題于過程分析

教學過程按照能力測評、診斷分析、典例精析、歸納小結、目標檢測五個環(huán)節(jié)進行設計. 筆者先指出近年來頻頻出現(xiàn)的抽象函數(shù)試題的難度較大，很大程度影響了學生的考試成績，引起了學生的注意；再提出寓抽象于具體的策略，以專題的形式對抽象函數(shù)試題進行研究.

1. 能力測評

對學生進行限時實戰(zhàn)演練，選擇2023年新課標Ⅰ卷第11題（例1）作為測試題，要求學生獨立完成并提交解答過程，教師出示答案，了解學生的整體答題情況.

例1 （多選題）已知函數(shù)[fx]的定義域為R，[fxy=y2fx+x2fy]，則（" " ）.

（A）[f0=0]

（B）[f1=0]

（C）[fx]是偶函數(shù)

（D）[x=0]為[fx]的極小值點

【設計意圖】檢測學生的認知基礎，對學生的解答進行反饋評價.

2. 診斷分析

教師進行調查、分析，通過對話的方式引導學生提煉研究一道抽象函數(shù)試題的基本方法，并用分解的五個問題引導學生思考，讓學生在解題過程中初步形成解決抽象函數(shù)問題的三個視角. 在教學中，教師結合學生對極小值的概念認識模糊的情況，引導學生翻閱教材，指導學生讀書并交流閱讀體會，讓學生理解極小值這一概念.

調查問題：你的答案正確嗎？能否說明錯誤的原因，或者正確的答案給你什么啟示？

為了幫助大家探尋這類試題的解題方法，試根據以下問題分享自己的思考過程.

（1）觀察試題，你發(fā)現(xiàn)了什么特征？

（2）解題中，你是如何建立題設與選項之間的聯(lián)系的？

（3）你是如何分析題設與選項之間的聯(lián)系的？你是如何實現(xiàn)轉化的？

（4）你是如何得出結論的？正確的結論能證明、錯誤的結論能證偽嗎？如何證偽？

（5）解題給你什么啟發(fā)？

追問：試題中已知的條件是什么？四個選項有什么特點？

【設計意圖】引導學生從試題的特征和解題的一般方法兩個方面概括解題思路，在緊扣條件等式，觀察目標選項，靈活賦值（或舉反例），化特殊為一般，化抽象為具體，獲得結論或所需要的函數(shù)性質的數(shù)學表達的解題過程中，初步了解解題的“五步驟”.

分析問題：對不能充分利用函數(shù)所滿足的條件，以及不能從特殊現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律等問題進行探索，結合上述5個問題的回答，能否提出解決問題的合理視角？

追問1：構成函數(shù)的三要素包括定義域、對應關系和值域，例1中函數(shù)的定義域為R，說明什么？函數(shù)的對應關系有幾個？

追問2：基于三要素的思考，選項A和選項B提供了什么信息？

追問3：基于函數(shù)性質的思考，選項C和選項D提供了什么信息？為了判斷函數(shù)[fx]是否為偶函數(shù)，需要怎樣的函數(shù)性質的數(shù)學表達？

【設計意圖】基于上述3個追問，引導學生從以下三個視角展開探索.（1）基于函數(shù)要素的視角. 從構成函數(shù)的三要素開始研究函數(shù)性質是回歸函數(shù)概念的具體表現(xiàn).（2）基于代數(shù)運算的視角. 從函數(shù)的概念與函數(shù)的代數(shù)特征方面思考，在定義域內對變量賦值必然滿足函數(shù)的代數(shù)方程，所得結論一定成立，這樣的代數(shù)運算包括賦值和求導等.（3）基于性質研究的視角. 在學習函數(shù)的概念與性質和基本初等函數(shù)時，學生已經學過利用函數(shù)圖象、代數(shù)運算，以及導數(shù)運算等方法研究具體函數(shù)，基于性質研究的視角，就是從具體函數(shù)的性質研究中獲得啟示.

思考問題：如何用上述三個視角來解決實際問題呢？

【設計意圖】為學生提供思考的視角，根據后續(xù)的實戰(zhàn)情境，展開學習討論.

3. 典例精析

教師選擇2021年新高考Ⅱ卷第8題（例2）作為典型例題，以“觀察試題，你發(fā)現(xiàn)有什么特征？如何解答？解答試題的過程，給你怎樣的視角？”等問題，有邏輯地引導學生置解題于過程分析，進而形成解題的一般方法.

例2" 設函數(shù)[fx]的定義域為R，且[fx+2]為偶函數(shù)，[f2x+1]為奇函數(shù)，則（" " ）.

（A）[f-12=0] （B）[f-1=0]

（C）[f2=0] （D）[f4=0]

問題1：“令”的目的是什么？根據什么來“令”？如何能夠想到通過構造函數(shù)值之間的關系來解決問題？

問題2：如何想到“特殊”，為什么可以用特殊來替代一般？

【設計意圖】該題的教學意在引導學生根據給定的條件有層次地研究函數(shù)的性質，在研究的基礎上歸納并總結抽象函數(shù)問題的一般解法. 教學重視題意的分析，突出求解抽象函數(shù)的策略與方法，指出不同的求解思維與方法反映了不同的數(shù)學思想的具體應用. 其中，對法則特殊化處理和利用函數(shù)性質化歸函數(shù)值既是特殊化思想和等價轉化思想的具體體現(xiàn)，也是求解抽象函數(shù)的法寶；利用對應法則合理地反復賦值來求解問題既是特殊化思想的具體應用，也是求解抽象函數(shù)必須想到的思維方法.

4. 歸納小結

對典型的例題和解題分析進行小結，在師生對話中明確抽象函數(shù)的試題特點、原型和解題的一般視角.

問題：上述兩道例題給你什么啟示？抽象函數(shù)試題有什么特點？能否根據抽象函數(shù)問題的求解方法提煉解題策略？

【設計意圖】在例題的基礎上提煉有關抽象函數(shù)問題的一般求解方法，探索解題策略，形成研究抽象函數(shù)的3個視角：基于函數(shù)要素，基于代數(shù)運算，基于性質研究. 在此基礎上，教師引導學生歸納并總結解題的一般步驟和每一步的具體操作，如圖1所示.

5. 目標檢測

教師選擇2024年新課標Ⅰ卷第8題作為檢測試題.

例3" 已知函數(shù)[fx]的定義域為R，[fxgt;][fx-1+fx-2]，且當[xlt;3]時，[f（x）=x]，則下列結論中一定正確的是（" " ）.

（A）[f10gt;100] （B）[f20gt;1 000]

（C）[f10lt;1 000] （D）[f20lt;10 000]

【設計意圖】檢測學生的答題情況和學生在一節(jié)復習課中是否達成目標，形成了解題的一般方法.

五、教學反思與展望：快慢教學辯證觀，導向關鍵能力提升

回顧教學過程，引發(fā)反思的是如何辯證地看待“快慢教學”. 教師在診斷分析階段有意識地放慢節(jié)奏，用較多時間加深學生對試題的理解和對解題步驟的思考，與開始階段讓學生先抄寫題目再解答問題一樣，都是“慢教學”的過程.“慢教學”并非一味追求慢，學生在抄寫題目的過程中可以培養(yǎng)審題能力，養(yǎng)成認真讀題的好習慣，“慢教學”是為了讓學生在解題時能夠啟動“快思考”. 診斷分析是為了探尋思維的斷點，幫助學生形成解決問題的常規(guī)思路，熟悉了思考問題的步驟，解題自然就快了. 特別地，當發(fā)現(xiàn)學生對某一概念的認識模糊時，教師停頓下來引導學生閱讀教材，交流閱讀體會，此時的“慢”是為了幫助學生厘清概念. 毫無疑問，“快”與“慢”是相對的、辯證的，復習開始階段的“慢”是為了后續(xù)復習和解題能保持“快”.

反觀教學設計，引發(fā)思考的是如何整體設計復習內容. 高考總復習往往離不開教輔材料，但是當前的教輔材料多為題型歸納加上反復訓練的形式，選材內容良莠不齊.“抽象函數(shù)研究”的教學提供了選材的樣式，為高中數(shù)學的復習方法提供了有益嘗試. 從命題改革的導向上看，應該將“輪次復習 + 題型歸納”的復習轉變?yōu)椤爸R結構梳理 + 關鍵能力提升”的復習，并以“單元教學設計 + 專題”的方式實施教學. 唯有如此，才能適應新高考的變革.

參考文獻：

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［5］章建躍. 高考復習如何回歸教材（之二）：從2024年高考綜合改革適應性測試卷得到的啟示［J］. 中小學數(shù)學（高中版），2024（1 / 2）：128-129.

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［7］黃炳鋒. 數(shù)學新高考高分要領：基于五環(huán)節(jié)的教學設計［M］. 福州：福建教育出版社，2021.

基金項目：福建省教育科學“十四五”規(guī)劃2023年度常規(guī)課題——高中數(shù)學建?；顒拥慕虒W與評價研究（FJJKZX23-212）．

作者簡介：黃炳鋒（1969— ），男，正高級教師，福建省特級教師，主要從事高中數(shù)學教學研究．