構(gòu)建解決問(wèn)題思維路徑，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

摘" 要：基于“抽象函數(shù)研究”一課，從教學(xué)內(nèi)容選擇、整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、課堂教學(xué)過(guò)程和解題思維教學(xué)等方面進(jìn)行課例評(píng)析. 該課內(nèi)容以切入口小而微的微專題形式實(shí)現(xiàn)了專項(xiàng)突破；整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以知識(shí)線、思想方法線和研究策略線三條線融合展開；在教學(xué)過(guò)程中為學(xué)生提供了充足的自主思考時(shí)間，師生之間充分交流，注重課堂的思維容量；解題的思維教學(xué)注重層層啟發(fā)，講想法，回歸本原性方法，構(gòu)建解決問(wèn)題的思維路徑，引導(dǎo)學(xué)生有規(guī)律地思考，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 該課以能力素養(yǎng)立意，將思想和方法構(gòu)建成具體的思維路徑，以思維路徑引導(dǎo)教學(xué)，構(gòu)建解決問(wèn)題的一般化思維方式和策略，為高三復(fù)習(xí)的解題教學(xué)提供了非常好的范式.

關(guān)鍵詞：高三復(fù)習(xí)；抽象函數(shù)；思維路徑；解決問(wèn)題

中圖分類號(hào)：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1673-8284（2024）10-0024-03

引用格式：龍艷文. 構(gòu)建解決問(wèn)題思維路徑，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：“抽象函數(shù)研究”高三復(fù)習(xí)課例點(diǎn)評(píng)［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（10）：24-26.

中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)于2024年8月23日至26日在湖北省宜昌市舉辦了高中數(shù)學(xué)命題與教學(xué)評(píng)價(jià)專題研討會(huì)，會(huì)議展示了很多既精彩又有深度的高考命題方向和高考備考專題研究講座，為新形勢(shì)下高考備考的復(fù)習(xí)指明了方向. 此次研討會(huì)專門現(xiàn)場(chǎng)展示了兩節(jié)高三復(fù)習(xí)課. 章建躍博士指出，這兩節(jié)高三復(fù)習(xí)課是他聽過(guò)的非常具有示范性的高三復(fù)習(xí)課. 福建省福州第三中學(xué)黃炳鋒老師（以下統(tǒng)稱“執(zhí)教教師”）的授課課題是“抽象函數(shù)研究”，授課對(duì)象是湖北省宜昌市第一中學(xué)層次最好的班級(jí)的學(xué)生. 在課堂上，執(zhí)教教師展示了極強(qiáng)的教學(xué)功底、高立意的教學(xué)設(shè)計(jì)和精彩的課堂教學(xué). 筆者有幸受會(huì)務(wù)組邀請(qǐng)對(duì)該課進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)評(píng)，表達(dá)了自己對(duì)這節(jié)課的一些思考和想法，不當(dāng)之處敬請(qǐng)批評(píng)指正.

一、教學(xué)內(nèi)容選擇微專題專項(xiàng)突破

近幾年，高考試卷中考查抽象函數(shù)的試題較多，且主要以難度較大的選擇題為主. 抽象函數(shù)只提供了函數(shù)的一般化性質(zhì)，能夠很好地考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、極值、最值和對(duì)稱性等基礎(chǔ)知識(shí). 同時(shí)，抽象函數(shù)具有很強(qiáng)的抽象性，構(gòu)思巧妙，能夠很好地考查學(xué)生的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

抽象函數(shù)試題體現(xiàn)了高考的綜合性和創(chuàng)新性，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，所以它既是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)和痛點(diǎn)，也是高三復(fù)習(xí)的重點(diǎn). 該節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)內(nèi)容并沒(méi)有采取傳統(tǒng)的高三一輪章節(jié)復(fù)習(xí)的方式，即“概念回顧 + 基礎(chǔ)小練 + 例題分析”的形式，而是采取了以抽象函數(shù)為主題的微專題形式，教學(xué)內(nèi)容的選擇切入口小而微，實(shí)現(xiàn)了專項(xiàng)突破.

由于授課學(xué)生的層次較好，學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)，基于該學(xué)情，該課選擇從難度較大的高考試題直接入手，體現(xiàn)了章建躍博士提出的在知識(shí)、技能和能力培養(yǎng)的關(guān)系上，摒棄先打基礎(chǔ)再發(fā)展能力的傾向，注重做中學(xué)、用中學(xué)的能力培養(yǎng)模式.

例1 （2023年新課標(biāo)Ⅰ卷·11）已知函數(shù)[fx]的定義域?yàn)镽，[fxy=y2fx+x2fy]，則（" " ）.

（A）[f0=0]

（B）[f1=0]

（C）[fx]是偶函數(shù)

（D）[x=0]為[fx]的極小值點(diǎn)

該題是多選題，學(xué)生能夠判斷出選項(xiàng)A、選項(xiàng)B和選項(xiàng)C是正確的，然后直接排除選項(xiàng)D. 從答題角度來(lái)說(shuō)，該題已經(jīng)完成，學(xué)生在確定選項(xiàng)A、選項(xiàng)B和選項(xiàng)C正確后結(jié)束了答題，并沒(méi)有對(duì)選項(xiàng)D進(jìn)行質(zhì)疑和思考. 但是執(zhí)教教師沒(méi)有僅滿足于讓學(xué)生答題，而是繼續(xù)追問(wèn)選項(xiàng)D為什么不對(duì)，對(duì)高考試題的內(nèi)容進(jìn)行深度挖掘，充分發(fā)揮了教學(xué)內(nèi)容的價(jià)值，真正解決了學(xué)生學(xué)習(xí)抽象函數(shù)的難點(diǎn).

二、整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)三線融為整體

該節(jié)課的板書設(shè)計(jì)如圖1所示.

從板書設(shè)計(jì)中可以看出，執(zhí)教教師對(duì)該節(jié)課的整體架構(gòu)設(shè)計(jì)了三條線. 第一條線是知識(shí)線，通過(guò)對(duì)兩道例題的分析，表達(dá)了抽象函數(shù)的解題過(guò)程；第二條線是思想方法線，通過(guò)對(duì)第一條線的展開，歸納并總結(jié)了解題的思想方法；第三條線是研究策略線，即通過(guò)對(duì)抽象函數(shù)問(wèn)題的研究，歸納并總結(jié)了對(duì)抽象函數(shù)問(wèn)題一般化的研究策略.

很多教師采取導(dǎo)學(xué)案的形式開展高三復(fù)習(xí)課教學(xué)，但是導(dǎo)學(xué)案呈現(xiàn)的內(nèi)容往往是碎片化的，很多導(dǎo)學(xué)案只是試題的堆砌，是一種松散的形式，沒(méi)有從結(jié)構(gòu)化的角度進(jìn)行選題和設(shè)計(jì). 這節(jié)復(fù)習(xí)課的整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為高三抽象函數(shù)復(fù)習(xí)課的教學(xué)提供了一個(gè)范式，即先設(shè)計(jì)研究策略線，再設(shè)計(jì)思想方法線，最后圍繞這兩條線進(jìn)行選題和教學(xué)設(shè)計(jì). 教學(xué)過(guò)程以知識(shí)線的學(xué)習(xí)逐步展開，思想方法線不斷滲透于教學(xué)中，研究策略線指引方向，在課堂教學(xué)中三條線融為一體. 這節(jié)課的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了章建躍博士提出的“在教學(xué)內(nèi)容的處理上，要改變碎片化知識(shí)點(diǎn)累積式教學(xué)，大力加強(qiáng)應(yīng)用驅(qū)動(dòng)、學(xué)用融合的整體性教學(xué)”.

三、課堂教學(xué)過(guò)程中師生交流充分

在呈現(xiàn)高考試題后，執(zhí)教教師并沒(méi)有讓學(xué)生立刻作答，而是讓學(xué)生把題目抄寫一遍. 教師在教學(xué)中大量使用教輔、導(dǎo)學(xué)案、PPT等現(xiàn)成資源，會(huì)讓學(xué)生失去逐字逐句認(rèn)真抄寫題目的機(jī)會(huì)，無(wú)形中造成了學(xué)生審題能力的下降. 抄寫題目的過(guò)程看似浪費(fèi)時(shí)間，實(shí)則該過(guò)程既是學(xué)生審題的過(guò)程，又是讓學(xué)生加深思考的過(guò)程. 然后，執(zhí)教教師給學(xué)生提供了充足的思考時(shí)間和答題時(shí)間. 在學(xué)生自主做題的過(guò)程中，執(zhí)教教師通過(guò)PPT呈現(xiàn)了以下問(wèn)題，體現(xiàn)了一般化的思維路徑.

問(wèn)題1：觀察試題，你能發(fā)現(xiàn)什么特征？

問(wèn)題2：解題中，如何建立題設(shè)與選項(xiàng)之間的聯(lián)系？

問(wèn)題3：如何分析題設(shè)與選項(xiàng)的聯(lián)系？如何實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？

問(wèn)題4：如何得出結(jié)論？正確的結(jié)論能證明、錯(cuò)誤的結(jié)論能證偽嗎？如何證偽？

問(wèn)題5：解題給你什么啟發(fā)？

學(xué)生解題結(jié)束后，執(zhí)教教師沒(méi)有讓學(xué)生立刻敘述解題過(guò)程，而是讓幾名學(xué)生根據(jù)上述問(wèn)題分享自己的思考過(guò)程，進(jìn)而追問(wèn)：對(duì)不能充分利用函數(shù)所滿足的條件，以及不能從特殊現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律等問(wèn)題進(jìn)行探索，結(jié)合對(duì)上述5個(gè)問(wèn)題的回答，能否提出解決問(wèn)題的合理視角？隨后，執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生從三個(gè)視角展開探索，即基于函數(shù)要素、基于代數(shù)運(yùn)算和基于性質(zhì)研究.

在整個(gè)課堂教學(xué)過(guò)程中，執(zhí)教教師都不是讓學(xué)生立刻敘述解題過(guò)程，而是與學(xué)生進(jìn)行充分交流. 在交流過(guò)程中，執(zhí)教教師表現(xiàn)得沉穩(wěn)從容，師生之間的對(duì)話也自然平和，執(zhí)教教師在溝通交流過(guò)程中特別尊重學(xué)生的各種想法. 整個(gè)課堂改變了一些高三復(fù)習(xí)課堂死氣沉沉的現(xiàn)象，學(xué)生不斷舉手回答，課堂氣氛非常活躍. 例如，一名學(xué)生在尋找反例的過(guò)程中說(shuō)出，通過(guò)與執(zhí)教教師交流讓他想到了找反例和怎么找反例，加深了他對(duì)題目的理解.

執(zhí)教教師不斷與學(xué)生進(jìn)行交流，課堂節(jié)奏比較緩慢. 只講了兩道選擇題，雖然從題量來(lái)看教學(xué)容量很小，但是從思維容量來(lái)看，教學(xué)容量很大. 現(xiàn)在一些高三的教學(xué)節(jié)奏太快，教師布置了太多題目，在課堂上為了盡可能多地講授題目，教師省去了學(xué)生充分自主思考的時(shí)間，減少了與學(xué)生充分交流的機(jī)會(huì). 因此，筆者特別希望高三教師也能夠?qū)㈩}量降下來(lái)，將高三的課堂復(fù)習(xí)節(jié)奏慢下來(lái).

四、構(gòu)建思維路徑引導(dǎo)解題教學(xué)

對(duì)于解題教學(xué)，教師從題目中提煉解題方法和技巧是非常必要的. 但是有些教師在高三復(fù)習(xí)的解題教學(xué)中過(guò)分追求方法的多樣. 例如，有的教師總結(jié)了抽象函數(shù)?？碱}型的解題十法. 方法過(guò)多、過(guò)細(xì)，學(xué)生根本記不住，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)所適從，不知道如何選擇和應(yīng)用方法. 該節(jié)課的解題教學(xué)突出了歸納總結(jié)題目蘊(yùn)含的知識(shí)、概念和原理. 執(zhí)教教師先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，通過(guò)賦予一些特殊值，如0或1，來(lái)求解函數(shù)在特定點(diǎn)的值，然后歸納并總結(jié)例1的選項(xiàng)A和選項(xiàng)B的信息表現(xiàn)為函數(shù)的一些特殊點(diǎn)的性質(zhì)，可以通過(guò)賦值的方法來(lái)解決. 執(zhí)教教師結(jié)合選項(xiàng)A和選項(xiàng)B推導(dǎo)了更多的信息，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)C反映了函數(shù)的一般化性質(zhì)，即函數(shù)的奇偶性，可以通過(guò)未知量的代換來(lái)解決問(wèn)題. 最后，執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生從整體的角度分析例1的選項(xiàng)A、選項(xiàng)B和選項(xiàng)C的特征和思路，總結(jié)了根據(jù)條件提供的一般化函數(shù)性質(zhì)，通過(guò)特殊化來(lái)研究函數(shù)的特殊性質(zhì)，再對(duì)函數(shù)的一般化性質(zhì)進(jìn)行研究的方法，充分體現(xiàn)了特殊與一般的思想.

對(duì)于選項(xiàng)D，執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生尋找反例進(jìn)行否定，讓學(xué)生從容試錯(cuò). 例如，有的學(xué)生找到特殊點(diǎn)[f0=0]和[f1=0]就否定了選項(xiàng)D. 執(zhí)教教師順勢(shì)呈現(xiàn)了教材中極值的概念，對(duì)照概念分析這種想法的錯(cuò)誤之處，充分體現(xiàn)了高三復(fù)習(xí)要回歸教材和回歸概念的要求. 學(xué)生找到[f0=0]作為反例后，執(zhí)教教師給予了充分的肯定，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其他特殊的具體函數(shù). 當(dāng)學(xué)生在尋找特殊的具體函數(shù)遇到困難時(shí)，執(zhí)教教師沒(méi)有急于教授學(xué)生轉(zhuǎn)化的技巧，而是引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想：[fx+y=fx+fy]，[fx+y=fxfy，fxy=][fx+fy，fxy=fxfy]，它們到底是怎樣的具體函數(shù)？執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合“[fxy=y2fx+x2fy]”的形式聯(lián)想到了對(duì)數(shù)函數(shù)，但是學(xué)生發(fā)現(xiàn)其不符合對(duì)數(shù)函數(shù)的形式，執(zhí)教教師再引導(dǎo)學(xué)生試錯(cuò)和對(duì)等式進(jìn)行變形，層層啟發(fā)構(gòu)造了“[fxyx2y2=fxx2+fyy2]”的形式，進(jìn)而構(gòu)造了具體函數(shù)[fx=x2lnx]，實(shí)現(xiàn)了由性質(zhì)反推具體函數(shù)的過(guò)程. 最后，執(zhí)教教師總結(jié)了在解決抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)通常會(huì)用到特殊值法、賦值法、圖象性質(zhì)法、代數(shù)運(yùn)算和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算等方法. 由于方法之間是零散孤立的，所以執(zhí)教教師最后歸納并總結(jié)了如圖2所示的解題思維路徑.

在新高考變革的形勢(shì)下，高考注重對(duì)能夠普適性解決學(xué)科問(wèn)題的本原性方法的考查，要讓學(xué)生掌握原理、內(nèi)化方法，而不是將考查的重點(diǎn)放在解題的技巧上. 該高三復(fù)習(xí)課的解題教學(xué)不僅講解法，更講想法，回歸本原性方法，通過(guò)思維路徑引導(dǎo)教學(xué)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生有規(guī)律地思考. 該課的教學(xué)以能力素養(yǎng)立意，將思想和方法構(gòu)建成了具體的思維路徑，以思維路徑引導(dǎo)教學(xué)，構(gòu)建了解決問(wèn)題的一般化思維方式和策略，為高三復(fù)習(xí)的解題教學(xué)提供了非常好的范式.

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍. 培養(yǎng)思維是發(fā)展核心素養(yǎng)的關(guān)鍵［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2023（1 / 2）：3-4.

［2］趙軒，翟嘉祺，郭淑媛. 強(qiáng)調(diào)靈活考查思維" 聚焦創(chuàng)新人才選拔：2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷評(píng)析［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2024，63（6）：44-47.

作者簡(jiǎn)介：龍艷文（1975— ），男，高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、考試命題和教師指導(dǎo)等研究.