返璞歸真 以簡馭繁

摘" 要：以近幾年高考全國卷中的概率題為例，分析尋找其求解思路的本質在于：第一，回歸概率問題的思維起點，即找到樣本空間；第二，厘清試題情境中的事例，即借助圖或表將其中的關系直觀化. 通過上述兩點分析給出教學建議：教學要依托教材，重視建構知識生成過程，引導學生在掌握新知和靈活整合知識的過程中形成能力；在高考復習備考中，通過探索解題的普適性方法，感悟數(shù)學的思維方式，以簡馭繁應對概率試題的變化.

關鍵詞：概率；高考試題；樣本空間；樹狀圖；直觀化

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）10-0061-04

引用格式：李師師，張永剛，薛紅霞. 返璞歸真" 以簡馭繁：應對概率題“新”考法［J］. 中國數(shù)學教育（高中版），2024（10）：61-64.

2024年高考試卷聚焦主干知識內容和重要原理、方法，著重考查數(shù)學核心素養(yǎng)，引導中學教學遵循教育規(guī)律，突出數(shù)學教學本質，回歸課程標準，重視教材，重視概念教學，夯實學生學習基礎，給學生預留思考和深度學習的空間.

為了達成避免超綱學、超量學，助力減輕學生學業(yè)負擔的目標，作為高中數(shù)學課程四條主線之一的“概率與統(tǒng)計”，在高考中的變化尤為明顯. 該類高考試題更加注重基礎性，富有創(chuàng)新性，體現(xiàn)了知識應用的綜合性與思維方法的靈活性，同時還側重對實際應用能力和問題解決能力的考查. 在高考復習備考中，只有依托教材進行拓展延伸，引導學生開展創(chuàng)造性學習，在深入理解知識本質的過程中建構知識，感悟數(shù)學的思維方式，才能以簡馭繁從容應對概率與統(tǒng)計試題的變化.

一、瞄準樣本空間，求解概率試題的第一視角

樣本空間是概率的基本概念，其他概念都是基于樣本空間建立的，對于一個隨機試驗，只要能確定樣本空間，一切問題就都迎刃而解了. 因此，在求解概率試題時，應該緊扣樣本空間進行分析.

例1 （2024年新課標Ⅰ卷·14）甲、乙兩人各有四張卡片. 每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8. 兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）. 則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為" " " .

該題是以“田忌賽馬”的博弈論問題為背景命制的，難在其“新”，“新”在其與學生平時所刷的套路題大相徑庭，使得所謂的“常規(guī)方法”完全失效. 仔細分析可知，其解題思路完全源于人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第二冊第十章“概率”中借助樣本空間認識隨機事件，因此解決古典概型問題的第一步就是確定樣本空間.

該題中，由于比賽得分結果只與兩人出卡片的相對順序有關，若把其中一個人的出卡片順序固定，樣本空間就是另一個人所出四張卡片的所有排列組成的集合. 不妨固定乙出卡片的順序為2，4，6，8，則樣本空間共有24個樣本點，即為甲出的四張卡片的全排列數(shù). 但隨機事件是比較兩人所出卡片上數(shù)字的大小，因此樣本空間為：[Ω=1，3，5，7， 1，3，7，5， 1，5，3，7，][1，5，7，3， 1，7，3，5， 1，7，5，3， 3，1，5，7，][3，1，7，5， 3，5，1，7， 3，5，7，1， 3，7，1，5，][3，7，5，1， 5，1，3，7， 5，1，7，3， 5，3，1，7，][5，3，7，1， 5，7，1，3， 5，7，3，1， 7，1，3，5，][7，1，5，3， 7，3，1，5， 7，3，5，1， 7，5，1，3，][7，5，3，1]. 然后，依次將每個樣本點與[2，4，6，8]進行比較，從而確定甲的得分. 從樣本空間中尋找得2分的樣本點有11個：[1，5，7，3， 3，1，7，5， 3，5，1，7，][3，7，1，5， 3，7，5，1， 5，1，7，3， 5，3，7，1，][5，7，1，3， 5，7，3，1， 7，5，1，3， 7，5，3，1.]再從樣本空間中尋找得3分的樣本點，只有1個，即[3，5，7，1]. 因此，甲的總得分不小于2的概率為[P=11+124=1224=12].

古典概型試驗下的隨機事件概率是通過事件所含樣本點與樣本空間中樣本點的數(shù)量比定義的，如果學生經(jīng)歷了定義形成與辨析的過程，就可以歸納出求解古典概型問題的一般思路：明確試驗的條件及要觀察的結果，借助圖表不重不漏地列出所有可能結果，用適當?shù)姆枺ㄗ帜?、?shù)字、數(shù)組等）表示試驗的可能結果；根據(jù)實際問題情境判斷樣本點的等可能性；計算樣本點總個數(shù)及事件A包含的樣本點個數(shù)，求出事件A的概率.

上述試題就是按照該思路求解的. 類似的試題還有2024年新課標Ⅱ卷第14題，該題中的計數(shù)方法與之完全一致，第二空的破解也沒有套路可循，只能通過觀察分析求解. 網(wǎng)絡上的各種解法，大多數(shù)忽略了尋找樣本空間這一破解古典概型的根本方法. 在日常教學中，過多的刷題訓練固化了學生的思維，導致學生離開排列、組合就不會計數(shù)，使得最基礎的考查題目變成了難題.

對數(shù)學概念的理解和概念體系的建立是數(shù)學學習的核心，概念學習的基本方式是概念形成與概念同化，必須經(jīng)歷“情境與問題—共性分析與歸納—抽象本質特征、下定義—關鍵詞辨析—簡單應用—聯(lián)系與綜合”的過程，教材中的內容既能引導學生經(jīng)歷完整歸納與抽象概念的過程，又為教師開展教學設計提供了具體、詳實的操作流程. 因此，建議教學要回歸教材，理解概率的本質，基于通性，形成通法. 對于概率題目而言，就是要將對樣本空間的分析作為破解概率試題的第一視角.

二、抓住直觀，破解概率試題的關鍵之舉

在概率與統(tǒng)計試題中，經(jīng)常需要分析隨機事件之間的關系，為解決問題、做出決策提供依據(jù). 為了方便分析問題，借助圖表將試題情境所涉及的事件直觀化，是解決概率問題的重要策略. 其中，最基本的圖是樹狀圖，如果試題情境復雜，就需要樹狀圖的迭代套用.

例2 （2024年新課標Ⅱ卷·18）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中1次，則該隊進入第二階段. 第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分. 該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.

某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立.

（1）若[p=0.4]，[q=0.5]，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.

（2）假設[0lt;plt;q].

① 為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？

② 為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？

該題也是以博弈論為背景，通過計算概率指導決策的問題. 主要考查了相互獨立事件、互斥事件、對立事件的概念與應用，試題命制凸顯了立足基礎的要求. 學生如果具備一定的分析問題、解決問題的能力，能厘清事件之間的關系，就能規(guī)避大量運算，快速解決問題，反之則會陷入思維泥淖，難以前行. 為此，可以采用直觀化的方法分析事件間的關系，如圖1所示.

由圖1（a）可以發(fā)現(xiàn)，兩個階段的投籃結果同時發(fā)生才能決定最終成績，因此需要計算每個階段不同結果的隨機事件概率的乘積. 由圖1（b）發(fā)現(xiàn)，每一階段隨機事件又可以劃分為四個互斥事件，根據(jù)問題需要，可以通過加法把多個互斥事件合并為對立事件來簡化運算. 例如，每個階段可以劃分為“未進球”與“至少進1球”這兩個對立事件，則該題的第（1）小題就可以通過“第一階段至少進1球”與“第二階段至少進1球”同時發(fā)生來計算成績不少于5分的概率，形成的最簡解題路徑如下.

（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率為[1-1-0.43×1-0.53=0.686].

（2）設[X]為甲參加第一階段比賽時，甲、乙所在隊的比賽成績；[Y]為乙參加第一階段比賽時，甲、乙所在隊的比賽成績. 由題意，可以得到[PX=15=][1-1-p3q3]，[PY=15=1-1-q3p3] ，兩式作差比較大小即可得到答案.

（3）設[ξ]為第二輪的進球數(shù)量，則[ξ]～[B3，p]，[ξ]～[B3，q]. 因此[EX=1-1-q3×5×3p]，[EY=][1-1-p3×5×3q].

這種求解思路會極大地降低運算量. 上述問題在高考試題中極為常見，如2023年新課標Ⅰ卷第21題、2023年新課標Ⅱ卷第12題、2020年新課標Ⅰ卷第19題等. 只要透過復雜的問題情境，分析清楚事件之間的關系，抽象出數(shù)學問題，就能發(fā)現(xiàn)其解題思路是完全一致的.

三、類題賞析

例3 （2023年新課標Ⅰ卷·21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃. 無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8. 由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量[Xi]服從兩點分布，且[PXi=1=1-PXi=0=qi，i=1，2，…，n]，則[Ei=1nXi=][i=1nqi]. 記前[n]次（即從第1次到第[n]次投籃）中甲投籃的次數(shù)為[Y]，求[EY].

可以借助樹狀圖分析事件的發(fā)生過程，具體如圖2所示.

當分析到第3次投籃時，發(fā)現(xiàn)兩組結構完全一致，與第1次是誰投籃無關，因此推測第i次由誰來投籃只與第[i-1]次投籃的人有關，一般化即可得到如圖3所示的關系結構圖.

因此，第i次甲投籃命中的概率[pi=0.6pi-1+0.21-pi-1，]之后為數(shù)列問題，故不再贅述. 該類試題的原型為教材選擇性必修第三冊第91頁第10題.

四、教學建議

隨機事件概率的探索是有基本套路的，與一般數(shù)學對象的研究過程類似，都是從定義出發(fā)研究數(shù)學對象的性質，即符合“概念—性質—結構—應用”的整體結構. 借助直觀化工具（如函數(shù)圖象、圖表）研究性質是一種普適性方法，一道具體題目就是該認知結構的某個環(huán)節(jié). 上述高考概率試題就是概率性質認知套路上的一環(huán)，利用有效工具，如樹狀圖、模型或計算機模擬實驗等將其直觀化，使抽象的概率問題轉化為具體的圖表問題，便于觀察和理解事件的重疊區(qū)域、樣本空間的關系. 因此，根植數(shù)學研究的一般套路，借助圖表直觀探索，最終獲得最優(yōu)解是一種寶貴經(jīng)驗.

通過梳理近幾年高考中的概率試題，發(fā)現(xiàn)其不但注重考查學生的應變能力和解決實際問題的能力，還注重考查學生是否形成了一定的數(shù)學學科思維. 這就需要在日常教學與備考中，打破教師無限拓展知識、學生死記硬背和機械刷題的死循環(huán)，培養(yǎng)學生全面掌握主干知識，發(fā)展學生在掌握新知和靈活整合知識過程中形成的解決問題的能力，立足落實“四基”“四能”，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

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［3］章建躍. 核心素養(yǎng)統(tǒng)領下的數(shù)學教育變革［J］. 數(shù)學通報，2017，56（4）：1-4.

［4］教育部考試中心. 中國高考評價體系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

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［6］章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021.

基金項目：2023年度山西省教育科學“十四五”規(guī)劃課題——數(shù)學抽象素養(yǎng)視域下新教材情境問題的應用研究（GH-230278）.

作者簡介：李師師（1979— ），男，高級教師，主要從事中學數(shù)學教學研究；

張永剛（1982— ），男，高級教師，主要從事中學數(shù)學教學研究；

薛紅霞（1970— ），女，中小學正高級教師，山西省特級教師，主要從事中學數(shù)學教育和課堂教學改革研究.