突出解析幾何學(xué)科特點(diǎn) 強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維能力考查

摘" 要：2024年高考平面解析幾何試題的考查特點(diǎn)為：題型結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，難度控制合理；試題情境豐富，方法選擇靈活；注重回歸基礎(chǔ)，落實(shí)“四層”“四翼”. 命題特點(diǎn)是：回歸基本概念，考查基礎(chǔ)性；重視知識關(guān)聯(lián)，考查綜合性；探究問題本質(zhì)，考查創(chuàng)新性. 命題導(dǎo)向總結(jié)為：基礎(chǔ)知識與綜合能力的并重、直觀想象與邏輯推理的考查、開放情境與數(shù)學(xué)探究的倡導(dǎo). 基于以上分析，對解析幾何教學(xué)提出建議：重視課標(biāo)，挖掘教材，強(qiáng)化過程累積基本經(jīng)驗(yàn)；重視直觀，結(jié)合模型，代數(shù)推理夯實(shí)基礎(chǔ)知識；重視運(yùn)算，選擇策略，合理訓(xùn)練提升基本技能；重視觀念，強(qiáng)化方法，提出問題深化基本思想.

關(guān)鍵詞：平面解析幾何；命題分析；數(shù)學(xué)運(yùn)算；坐標(biāo)思想

中圖分類號：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）10-0040-13

引用格式：吳鍔，錢月鳳，劉煒. 突出解析幾何學(xué)科特點(diǎn)" 強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維能力考查：2024年高考“平面解析幾何”專題命題分析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（10）：40-52.

解析幾何的誕生，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)史上代數(shù)從幾何中獨(dú)立出來而又和幾何融合的過程. 平面解析幾何的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中認(rèn)識圖形的幾何特征并建立方程，運(yùn)用代數(shù)方法研究它們的性質(zhì)及其位置關(guān)系，運(yùn)用解析幾何方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題. 在平面解析幾何的教學(xué)中，教師不能只將解析幾何視作數(shù)學(xué)知識的集合. 正如章建躍博士所說，解析幾何是一種方法論. 應(yīng)在數(shù)學(xué)課堂中滲透利用代數(shù)方法研究幾何圖形的思想方法，提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng). 新高考改革以來，高考重視考查學(xué)生的圖形探究和代數(shù)推理，以及通過幾何直觀、代數(shù)結(jié)構(gòu)等優(yōu)化并解決問題的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，幾何問題解析化是高考平面解析幾何試題考查的重心. 2024年高考全國卷和地方卷中的平面解析幾何試題突出考查了解析幾何的數(shù)學(xué)本質(zhì)，符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）命題建議中提出的“考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性”，與《中國高考評價(jià)體系》（以下簡稱《體系》）的要求是一致的. 下面具體分析了2024年高考全國卷和地方卷中平面解析幾何試題的考查內(nèi)容和命題特點(diǎn)，并結(jié)合命題規(guī)律和考查意圖提出了相應(yīng)的復(fù)習(xí)教學(xué)建議.

一、考查內(nèi)容分析

1. 題型結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，難度控制合理

2024年各份高考數(shù)學(xué)試卷均采用客觀題和主觀題的形式來考查平面解析幾何內(nèi)容，題量控制在2 ～ 3道，其中題量較多的是新課標(biāo)Ⅰ卷、新課標(biāo)Ⅱ卷、全國甲卷（理科）、北京卷和天津卷. 題型結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定主要體現(xiàn)在考查知識點(diǎn)和難度的穩(wěn)定上. 數(shù)學(xué)高考中平面解析幾何考查的知識內(nèi)容主要是圓錐曲線，包括圓錐曲線的定義、方程及其幾何性質(zhì). 此外，試題的難度也保持相對穩(wěn)定，除了新課標(biāo)Ⅰ卷第11題和新課標(biāo)Ⅱ卷第19題屬于創(chuàng)新性問題外，其他平面解析幾何問題考查的更多是基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法，思維難度不大. 另外，題型結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定還體現(xiàn)在題目設(shè)計(jì)和表述的穩(wěn)定上. 試題的表述清晰、準(zhǔn)確，沒有歧義，讓學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解題目的要求.

2. 試題情境豐富，方法選擇靈活

2024年高考數(shù)學(xué)試卷中平面解析幾何試題涉及的問題情境比較豐富，包括曲線與方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（相交的情況較多）、兩個二次曲線的交點(diǎn)問題、圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形、圓錐曲線內(nèi)接三角形的面積、求動點(diǎn)軌跡方程、定點(diǎn)定值、圓錐曲線與數(shù)列的綜合等. 面對不同的試題情境，學(xué)生解題方法的選擇要十分靈活. 例如，針對直線與圓錐曲線的相交和兩個二次曲線的相交問題，學(xué)生往往采取將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立或?qū)蓚€二次曲線方程聯(lián)立的方式來解決問題，解答題中一般需要借助根與系數(shù)的關(guān)系來進(jìn)行下一步計(jì)算；針對動點(diǎn)軌跡問題，學(xué)生一般采取“設(shè)動點(diǎn)—找等量關(guān)系—列方程”的方式來求解，也可以通過觀察幾何圖形的特征判斷動點(diǎn)的軌跡形狀來解決；針對圓錐曲線內(nèi)接三角形的面積計(jì)算問題，學(xué)生往往要基于已有經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)幾何直觀分析所給數(shù)據(jù)的特征，選擇合適的三角形面積計(jì)算公式，進(jìn)而降低計(jì)算難度.

3. 注重回歸基礎(chǔ)，落實(shí)“四層”“四翼”

落實(shí)“四層”“四翼”的評價(jià)體系，意味著要確保試題能夠全面考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法和基本活動經(jīng)驗(yàn)，同時體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性. 2024年高考平面解析幾何試題側(cè)重于基礎(chǔ)性和綜合性，大多數(shù)是典型的、能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維價(jià)值的試題. 有些試題看似很簡單，如圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形問題和離心率問題等，但其實(shí)蘊(yùn)含著解析幾何與平面幾何融合的基礎(chǔ)知識，學(xué)生解題時要特別重視借助平面幾何的方法來研究圓錐曲線的幾何性質(zhì). 有些試題看似比較復(fù)雜，如動點(diǎn)的最值范圍問題和定點(diǎn)定值問題，卻是學(xué)生比較熟悉的經(jīng)典問題，學(xué)生在整理?xiàng)l件信息后自主探究問題的本質(zhì)，看透問題中的變與不變，選擇合適的計(jì)算方案進(jìn)行解題.

總之，2024年高考平面解析幾何試題突出了解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)，題型結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，難度控制得當(dāng). 試題情境豐富多樣，既有經(jīng)典問題的延伸，又有新數(shù)學(xué)情境的引入，鼓勵學(xué)生從不同角度思考問題，解題方法可以靈活選擇. 同時，試題注重回歸基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)對基礎(chǔ)知識的理解和應(yīng)用，落實(shí)了《體系》中“四層”“四翼”的考查要求.

二、命題特點(diǎn)分析

1. 命題意圖分析

2024年高考平面解析幾何試題的命題特點(diǎn)鮮明地體現(xiàn)了課程改革的理念和方向. 命題特點(diǎn)總結(jié)如下：一是命題重視回歸基本概念，考查基礎(chǔ)性. 這意味著在考查內(nèi)容上，命題者更加注重學(xué)生對平面解析幾何基本概念和基本原理的掌握，學(xué)生必須清晰理解并熟練運(yùn)用直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線的定義、方程及其幾何性質(zhì). 這一特點(diǎn)旨在確保學(xué)生能扎實(shí)地建立數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為未來學(xué)習(xí)提供保障. 二是命題注重知識關(guān)聯(lián)，考查綜合性. 在試題設(shè)計(jì)上，命題者傾向于將多個知識點(diǎn)融合在一起，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力. 這要求學(xué)生不僅要掌握單個知識點(diǎn)，還要理解這些知識點(diǎn)之間的聯(lián)系和區(qū)別，形成完整的知識體系. 這種綜合性考查方式能夠更全面地評估學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 三是命題重視探究問題本質(zhì)，考查創(chuàng)新性. 在問題設(shè)計(jì)上，命題者不再滿足于簡單的計(jì)算和證明，而是更加注重學(xué)生對問題本質(zhì)的理解和探究. 通過設(shè)計(jì)探究性問題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解題能力. 這種考查方式能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的數(shù)學(xué)能力. 下面將從三個方面展開具體論述.

（1）回歸基本概念，考查基礎(chǔ)性.

命題在考查基礎(chǔ)性方面，展現(xiàn)出了以下顯著特點(diǎn).

① 借助幾何直觀，生成有用信息. 在解答過程中，鼓勵學(xué)生利用圖形的直觀性，調(diào)動平面幾何知識來觀察和分析研究對象的形狀、大小、位置關(guān)系等，提取出對解題有用的信息. 這種方式不僅有助于學(xué)生更好地理解題意，還能考查學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

② 回歸教材基礎(chǔ)，重視通性通法. 命題者注重考查學(xué)生對教材基礎(chǔ)知識的掌握程度，以及運(yùn)用通性通法解決問題的能力. 有些高考試題是由教材中的例題、習(xí)題改編而來的，因此學(xué)生需要熟練掌握教材中的基本概念、定理和公式，重視教材中的例題和習(xí)題.

③ 重視圖形特征，代數(shù)運(yùn)算嚴(yán)謹(jǐn). 在解答過程中，學(xué)生需要注意圖形中的特征條件，如直線斜率、中點(diǎn)等，并據(jù)此進(jìn)行代數(shù)推理，確保每一步運(yùn)算都是準(zhǔn)確無誤的，考查了數(shù)形結(jié)合的基本思想. 這種考查方式能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.

④ 選項(xiàng)條件互異，注重基礎(chǔ)細(xì)節(jié). 在多項(xiàng)選擇題中，各個選項(xiàng)的條件可能會不同，學(xué)生需要仔細(xì)分析每個選項(xiàng)的條件，找出基本圖形之間的差異和聯(lián)系. 同時注重基礎(chǔ)細(xì)節(jié)，四個選項(xiàng)大多數(shù)圍繞著基礎(chǔ)知識點(diǎn)展開，考查全面細(xì)致. 這種考查方式能幫助學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心的習(xí)慣，提高他們解題的準(zhǔn)確性.

例1 （2024年新課標(biāo)Ⅰ卷·12）設(shè)雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1][agt;0，bgt;0]的左、右焦點(diǎn)分別為[F1，F(xiàn)2]，過[F2]作平行于[y]軸的直線交[C]于[A，B]兩點(diǎn)，若[F1A=13]，[AB=10]，則[C]的離心率為" " " " ".

答案：[32].

考查目標(biāo)：主要考查雙曲線的定義、方程和離心率的計(jì)算；考查學(xué)生的作圖能力、信息提取與轉(zhuǎn)化能力；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和數(shù)形結(jié)合思想.

命題意圖：該題是由雙曲線的焦點(diǎn)直角三角形這一幾何模型創(chuàng)設(shè)的圓錐曲線基礎(chǔ)題，要求學(xué)生能利用雙曲線的基本概念并結(jié)合平面幾何知識來求解雙曲線的離心率，考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度. 該題將雙曲線與直角三角形相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生通過幾何直觀尋找問題的突破口，通過代數(shù)運(yùn)算解決問題，考查數(shù)形結(jié)合思想. 在求解離心率的過程中，學(xué)生先根據(jù)勾股定理求得[F1F2]，然后借助雙曲線的定義，利用圖形中的等量關(guān)系（如雙曲線的通徑長是10）直接建立方程，最后通過解方程求解[a]，體現(xiàn)了方程思想和轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維的靈活性.

試題亮點(diǎn)：借助幾何直觀，生成有用信息. 該題巧妙地融合了知識、技能與思維訓(xùn)練的多元目標(biāo)，不僅考查了學(xué)生對雙曲線定義、焦點(diǎn)、通徑公式、離心率等基礎(chǔ)知識的掌握程度，更重要的是，它還引導(dǎo)學(xué)生通過幾何直觀來生成有用信息，借助焦點(diǎn)直角三角形蘊(yùn)含的相關(guān)信息來解決問題. 試題鼓勵學(xué)生從圖形中挖掘特征，通過觀察和推理引發(fā)數(shù)學(xué)直覺，要求學(xué)生將幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算相結(jié)合. 該題有多個不同的解題路徑，鼓勵學(xué)生多角度思考問題，考查學(xué)生的發(fā)散思維，要求學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識，找到解決問題的關(guān)鍵.

拓展練習(xí)：（2021年全國甲卷·理5）已知[F1，F(xiàn)2]是雙曲線[C]的兩個焦點(diǎn)，[P]為C上一點(diǎn)，且[∠F1PF2=][60°]，[PF1=3PF2]，則[C]的離心率為（" " ）.

（A）[72] （B）[132]

（C）[7] （D）[13]

答案：A.

例2 （2024年新課標(biāo)Ⅱ卷·5）已知曲線[C]：[x2+y2=16][ygt;0]，從[C]上任意一點(diǎn)[P]向[x]軸作垂線段[PP，P]為垂足，則線段[PP]的中點(diǎn)[M]的軌跡方程為（" " ）.

（A）[x216+y24=1][ygt;0]

（B）[x216+y28=1][ygt;0]

（C）[y216+x24=1][ygt;0]

（D）[y216+x28=1][ygt;0]

答案：A.

考查目標(biāo)：考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式和動點(diǎn)軌跡方程的求解；考查數(shù)形結(jié)合思想和方程思想；考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

命題意圖：該題是一個動點(diǎn)軌跡問題，通過設(shè)定一個具體的幾何情境，即半圓上任意一點(diǎn)向直徑作垂線段，求垂線段中點(diǎn)的軌跡方程，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理和計(jì)算，考查學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 要求學(xué)生通過觀察分析圖形，理解并應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，將中點(diǎn)M的坐標(biāo)與點(diǎn)P的坐標(biāo)建立聯(lián)系，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入給定的半圓方程，通過代數(shù)運(yùn)算得到中點(diǎn)M的軌跡方程，考查方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力.

試題亮點(diǎn)：回歸教材基礎(chǔ)，講究通性通法. 該題由人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）選擇性必修第一冊第115頁綜合運(yùn)用第9題改編而成，類同題還有人教A版教材選擇性必修第一冊第127頁復(fù)習(xí)鞏固第5題和第139頁綜合運(yùn)用第9題，涉及的均是動點(diǎn)軌跡問題. 解決這類試題具有通性通法，學(xué)生要帶著目標(biāo)看透動態(tài)問題中不變的等量關(guān)系，列出方程，從而求得動點(diǎn)的軌跡方程. 此過程體現(xiàn)了方程思想，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的目的性.

拓展練習(xí)：（2017年全國甲卷·文20）設(shè)[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：[x22+y2=1]上，過M做x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足[NP=2NM].

（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)Q在直線[x=-3]上，且[OP · PQ=1]. 證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.

答案：（1）[x2+y2=2]；（2）略.

例3 （2024年天津卷·8）雙曲線[x2a2-y2b2=1][agt;0，bgt;0]的左、右焦點(diǎn)分別為[F1，F(xiàn)2]，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線[PF2]的斜率為2. △PF1F2是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（" " ）.

（A）[x28-y22=1] （B）[x28-y24=1]

（C）[x22-y28=1] （D）[x24-y28=1]

答案：C.

考查目標(biāo)：考查雙曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)和焦點(diǎn)三角形的面積；考查學(xué)生的作圖能力、推理能力，以及數(shù)形結(jié)合思想；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng).

命題意圖：該題通過設(shè)定一個具體的幾何情境，結(jié)合焦點(diǎn)三角形的面積和直角三角形的性質(zhì)，要求學(xué)生通過作圖、推理和運(yùn)算來求解雙曲線的方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 在解題過程中學(xué)生首先需要通過試題條件信息繪制出雙曲線及其焦點(diǎn)三角形的圖形，再根據(jù)題意推理得到點(diǎn)P的位置是在第四象限，考查直觀想象素養(yǎng)，要求學(xué)生能將文字描述轉(zhuǎn)化為直觀圖形. 作出正確的圖形后，借助方程思想，設(shè)[PF2=t]，尋找等量關(guān)系能夠得到[2c=5t]，結(jié)合[△PF1F2]的面積求未知數(shù)據(jù)，最終求得雙曲線的方程，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

試題亮點(diǎn)：重視圖形特征，代數(shù)運(yùn)算嚴(yán)謹(jǐn). 該題中的某項(xiàng)條件可能會使學(xué)生陷入慣性思維，如點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，學(xué)生可能會將點(diǎn)P本能地畫在第一象限，然而這與試題中的其他條件矛盾，因此學(xué)生需要打破常規(guī)，重新審視問題，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在第四象限，從而找到新的解決方案. 這一過程不僅考查了學(xué)生思維的靈活性和嚴(yán)謹(jǐn)性，也鍛煉了學(xué)生解決問題的能力. 在解題過程中，學(xué)生需要進(jìn)行一系列嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卮鷶?shù)運(yùn)算，這些運(yùn)算不僅要求學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還要求他們的運(yùn)算保持高度的準(zhǔn)確性和邏輯性.

拓展練習(xí)：（2023年全國甲卷·理12）設(shè)[O]為原點(diǎn)，[F1，F(xiàn)2]為橢圓[C： x29+y26=1]的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在[C]上，[cos∠F1PF2=35]，則[OP]等于（" " ）.

（A）[135] （B）[302]

（C）[145] （D）[352]

答案：B.

例4 （2024年新課標(biāo)Ⅱ卷·10）拋物線C：[y2=4x]的準(zhǔn)線為l，P為C上動點(diǎn)，過P作⊙[A：x2+][y-42=1]的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（" " ）.

（A）l與⊙A相切

（B）當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時，[PQ=15]

（C）當(dāng)[PB=2]時，[PA⊥AB]

（D）滿足[PA=PB]的點(diǎn)P有且僅有2個

答案：ABD.

考查目標(biāo)：考查基礎(chǔ)知識，包括拋物線的定義和方程、圓與直線的位置關(guān)系、切線長公式、動點(diǎn)軌跡求法等；考查學(xué)生的作圖能力和知識應(yīng)用能力；考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

命題意圖：該題是多項(xiàng)選擇題，其創(chuàng)設(shè)的幾何情境是由拋物線與圓結(jié)合而成的. 題中點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)P既作圓的切線，又向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，這一設(shè)定不僅考查了學(xué)生對拋物線和圓的基礎(chǔ)知識的掌握程度，還考查了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)和作圖能力. 該題涉及圖形（拋物線、圓、直線）的位置關(guān)系和性質(zhì)，學(xué)生需通過直觀想象來理解這些關(guān)系，通過作圖來理解每個選項(xiàng)中蘊(yùn)含的有用信息，結(jié)合代數(shù)推理來證明結(jié)論或排除錯誤選項(xiàng)，考查了思維的靈活性和嚴(yán)謹(jǐn)性. 試題中的各個選項(xiàng)，都需要學(xué)生獨(dú)立分析、計(jì)算和推理來得出答案，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

試題亮點(diǎn)：選項(xiàng)條件互異，注重基礎(chǔ)細(xì)節(jié). 該題將拋物線與圓兩種基礎(chǔ)又重要的幾何圖形結(jié)合在一起，要求學(xué)生能靈活整合并運(yùn)用這兩種基本圖形的相關(guān)知識. 四個選項(xiàng)相互獨(dú)立，條件各異，既增加了試題的豐富性，又為學(xué)生提供了多角度、多層次的思考空間. 每個選項(xiàng)都圍繞著基礎(chǔ)知識點(diǎn)展開，既沒有偏離核心內(nèi)容，又各有側(cè)重，全面而細(xì)致地考查了學(xué)生的知識掌握情況. 試題難度適中，既不會過于簡單，讓學(xué)生覺得無趣，又不會過于復(fù)雜，導(dǎo)致學(xué)生無從下手. 這種適中的難度設(shè)置有助于激發(fā)學(xué)生的思維活力，促使他們積極思考和解決問題.

拓展練習(xí)：（2021年全國甲卷·理20）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線[l：x=1]交C于P，Q兩點(diǎn)，且[OP⊥OQ]. 已知點(diǎn)[M2，0]，且⊙M與l相切.

（1）求C，⊙M的方程；

（2）設(shè)[A1，A2，A3]是C上的三個點(diǎn)，直線[A1A2]，[A1A3]均與⊙M相切. 判斷直線[A2A3]與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由.

答案：（1）拋物線C的方程為[y2=x]，⊙M的方程為[x-22+y2=1]；（2）直線[A2A3]與⊙M相切，理由略.

（2）重視知識關(guān)聯(lián)，考查綜合性.

命題強(qiáng)調(diào)對綜合性的考查，體現(xiàn)了對知識關(guān)聯(lián)的高度重視，這一特點(diǎn)在以下多個方面有所體現(xiàn).

① 挖掘內(nèi)部關(guān)聯(lián)，簡化運(yùn)算路徑. 這要求學(xué)生不僅要掌握單一的知識點(diǎn)，還要能將這些知識點(diǎn)串聯(lián)起來，形成完整的知識網(wǎng)絡(luò). 通過尋找數(shù)學(xué)知識內(nèi)部聯(lián)系，學(xué)生可以更高效地解決問題，避免不必要的計(jì)算和推理.

② 作圖梳理信息，把握動中有靜. 作圖是解析幾何中不可或缺的一部分，學(xué)生通過作圖來梳理全部信息，體會各個知識點(diǎn)之間的聯(lián)系和區(qū)別，把握動態(tài)問題中的靜態(tài)規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)圖形中的代數(shù)結(jié)論.

③ 觀察變與不變，邏輯推理清晰. 命題鼓勵學(xué)生觀察解析幾何問題中的變量和不變量，通過邏輯推理來明確它們的關(guān)系，掌握所有信息的聯(lián)系. 這種觀察不僅有助于簡化問題，還能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì). 通過邏輯推理，學(xué)生可以更準(zhǔn)確地找到解決問題的有效方法.

④ 發(fā)現(xiàn)隱蔽條件，綜合應(yīng)用求解. 這要求學(xué)生具備敏銳的觀察力和深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ). 學(xué)生需要認(rèn)真分析試題中的條件，發(fā)現(xiàn)其中的隱蔽信息和其他信息之間的關(guān)聯(lián)，并運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行推導(dǎo)和計(jì)算，綜合應(yīng)用所學(xué)知識來解決問題.

例5 （2024年新課標(biāo)Ⅰ卷·16）已知[A0，3]和[P3， 32]分別為橢圓C：[x2a2+y2b2=1][agt;bgt;0]上兩點(diǎn).

（1）求C的離心率；

（2）若過點(diǎn)P的直線l交C于另一點(diǎn)B，且△ABP的面積為9，求l的方程.

答案：（1）[12]；（2）[y=32x-3]或[y=12x].

考查目標(biāo)：該題第（1）小題考查的是橢圓的方程和離心率，第（2）小題考查的是直線與橢圓相交、三角形面積、直線的方程和點(diǎn)到直線的距離公式等；考查學(xué)生的作圖探究能力、轉(zhuǎn)化與簡化的數(shù)學(xué)思想；考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

命題意圖：該題的幾何情境由點(diǎn)、直線與橢圓這些基本圖形創(chuàng)設(shè)而成，要求學(xué)生作出圖形后仔細(xì)觀察，選擇合適的計(jì)算路徑，考查學(xué)生的作圖探究能力和直觀想象素養(yǎng). 第（1）小題根據(jù)橢圓上兩個點(diǎn)的坐標(biāo)來確定橢圓的離心率，是對基礎(chǔ)知識的直接考查. 第（2）小題要求學(xué)生通過橢圓內(nèi)接三角形的面積來求解直線方程，學(xué)生需要靈活選擇和應(yīng)用三角形面積的計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)化思想簡化問題，即將三角形面積轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到直線AP的距離，根據(jù)距離確定點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線l的方程. 這要求學(xué)生具備較高的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)，要求學(xué)生能夠熟練掌握解析幾何的基本技能和基本思想方法，并能將這些技能和方法應(yīng)用于解決綜合問題中，體現(xiàn)了考查的綜合性.

試題亮點(diǎn)：挖掘內(nèi)部關(guān)聯(lián)，簡化運(yùn)算路徑. 該題第（2）小題結(jié)合了橢圓的基本性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，以及三角形的面積計(jì)算，形成了一個綜合性的幾何問題. 通過深入挖掘這些元素之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生可以選擇不同的解題路徑，從而簡化運(yùn)算過程. 第（2）小題解題方法多樣，無論學(xué)生選擇設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)，還是選擇設(shè)直線AB的方程或是設(shè)直線l的方程，每一步推理和計(jì)算考查的都是解析幾何的基本技能和基本思想方法. 第（2）小題的設(shè)計(jì)要求學(xué)生具備廣闊的數(shù)學(xué)視野，能夠從不同的角度審視問題，考慮并比較三角形面積的不同計(jì)算方法. 事實(shí)上，選擇將面積轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離會降低計(jì)算難度，這要求學(xué)生能明確目標(biāo)并根據(jù)題意簡化問題，然后選擇合理的計(jì)算程序. 在解題過程中，還要根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整解題思路和運(yùn)算途徑，考查了學(xué)生思維的發(fā)散性、目的性和靈活性.

拓展練習(xí)：（2020年新高考Ⅱ卷·21）已知橢圓C：[x2a2+y2b2=1][agt;bgt;0]過點(diǎn)[M2，3]，點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為[12].

（1）求C的方程；

（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.

答案：（1）[x216+y212=1]；（2）18.

例6 （2024年全國甲卷·理20）設(shè)橢圓C：[x2a2+y2b2=1][agt;bgt;0]的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)[M1， 32]在C上，且[MF⊥]x軸.

（1）求C的方程；

（2）過點(diǎn)[P4，0]的直線交C于A，B兩點(diǎn)，N為線段FP的中點(diǎn)，直線NB交直線MF于點(diǎn)Q. 證明：[AQ⊥][y]軸.

答案：（1）[x24+y23=1]；（2）略.

考查目標(biāo)：該題第（1）小題考查的是橢圓的方程、通徑公式，第（2）小題考查的是直線與直線相交、直線與橢圓相交和分析法；考查學(xué)生的作圖探究能力和提取信息能力；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

命題意圖：該題由人教A版教材選擇性必修第一冊第136頁的例5改編而成，其幾何情境由直線和橢圓共同創(chuàng)設(shè)；人教A版教材上例5的背景是拋物線，而該題背景是橢圓，兩者幾何情境的生成過程雖然看似不同，但是本質(zhì)原理相同. 該題第（1）小題考查學(xué)生對橢圓方程及其幾何性質(zhì)的理解，需要學(xué)生根據(jù)給定的條件計(jì)算[a，b，c]并確定橢圓的方程，考查學(xué)生對橢圓基礎(chǔ)知識的掌握情況. 第（2）小題是一個更為復(fù)雜的綜合問題，要求學(xué)生能夠在橢圓和直線的幾何關(guān)系中提取關(guān)鍵信息，發(fā)現(xiàn)并證明一些特定的結(jié)論，體現(xiàn)了分析法的應(yīng)用. 在解題過程中，學(xué)生需要通過作圖來探究基本圖形之間的聯(lián)系，并運(yùn)用邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算來證明結(jié)論，這不僅考查了學(xué)生的作圖探究能力，還考查了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

試題亮點(diǎn)：作圖梳理信息，把握動中有靜. 第（2）小題是一個動態(tài)問題，作圖觀察直線AB繞著定點(diǎn)[P4，0]轉(zhuǎn)動，同時直線NB與定直線MF交于點(diǎn)Q. 在這一動態(tài)過程中，雖然點(diǎn)A，B，Q的位置在不斷變化，但是可以證明點(diǎn)A和點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)一直相等. 這種把握動中有靜的能力要求學(xué)生能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)題中的隱藏規(guī)律. 第（2）小題是一道證明題，學(xué)生需要利用分析法從結(jié)論出發(fā)尋找求解思路，通過逆向推理，發(fā)現(xiàn)真正需要證明的結(jié)論是[2my1y2+3y1+y2=0，]借助根與系數(shù)的關(guān)系即可證明. 這種從結(jié)論出發(fā)的思維方式，降低了計(jì)算難度，提高了解題效率，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性和目的性.

拓展練習(xí)：（2022年全國乙卷·文21）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過[A0，-2，B32，-1]兩點(diǎn).

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)[P1，-2]的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足[MT=TH]. 證明：直線HN過定點(diǎn).

答案：（1）[y24+x23=1]；（2）直線HN過定點(diǎn)[0，-2]，證明過程略.

例7 （2024年北京卷·19）已知橢圓[E： x2a2+][y2b2=1][agt;bgt;0]，以橢圓E的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長為2的正方形，過點(diǎn)[0，t][tgt;2]且斜率存在的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，過點(diǎn)A和[C0，1]的直線AC與橢圓E的另一個交點(diǎn)為D.

（1）求橢圓E的方程及離心率；

（2）若直線BD的斜率為0，求t的值.

答案：（1）[x24+y22=1]，[22]；（2）2.

考查目標(biāo)：該題第（1）小題考查橢圓的方程和離心率，第（2）小題考查直線的方程、直線與橢圓相交、動直線過定點(diǎn)和根與系數(shù)的關(guān)系等；考查方程思想和數(shù)形結(jié)合思想；考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

命題意圖：該題是由直線與橢圓共同創(chuàng)設(shè)的圓錐曲線綜合問題，考查學(xué)生的圖形觀察、代數(shù)運(yùn)算、方程求解等綜合能力. 該題第（1）小題，學(xué)生需要理解橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)構(gòu)成的正方形這一幾何模型的關(guān)鍵特征，根據(jù)等量關(guān)系求出橢圓的半軸長，從而求解橢圓方程和離心率，考查學(xué)生對橢圓基礎(chǔ)性質(zhì)和正方形基本概念的理解和應(yīng)用. 第（2）小題設(shè)計(jì)了一個更具挑戰(zhàn)性的定值定點(diǎn)問題，學(xué)生需要根據(jù)題意作出圖形，理解題目中的幾何條件，結(jié)合解析幾何的基本方法和技能（如可以設(shè)直線AD的解析式并將其與橢圓方程聯(lián)立），通過基本的運(yùn)算操作（如根與系數(shù)的關(guān)系、直線方程的表示等），根據(jù)等量關(guān)系（如BD的斜率是定值、直線AD過定點(diǎn)等）轉(zhuǎn)化并簡化問題，從而求出t的值. 這一過程考查了學(xué)生的方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及數(shù)形結(jié)合思想，考查了學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

試題亮點(diǎn)：觀察變與不變，邏輯推理清晰. 該題設(shè)定了一個動態(tài)情境，即點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動，導(dǎo)致兩點(diǎn)B，D的位置也隨之變化. 在這種動態(tài)變化中，直線AB和直線AD始終經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“變與不變”的思想. 第（2）小題蘊(yùn)含著[kBD=0]與[t=2]之間的充要關(guān)系，看透這種清晰的邏輯關(guān)系，將簡化問題的求解過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和精確性. 第（2）小題運(yùn)算路徑的選擇多種多樣，除了選擇設(shè)直線AD，還可以選擇設(shè)直線AB，將其與橢圓方程聯(lián)立，借助根與系數(shù)的關(guān)系和AD過定點(diǎn)[0，1]可求得t的值. 當(dāng)然，無論選擇何種計(jì)算路徑，都需要清醒地認(rèn)識到解題的目標(biāo)，系統(tǒng)地運(yùn)用所有可用信息，抓住變化中不變的本質(zhì)，嚴(yán)格推理證明結(jié)論，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性、目的性和系統(tǒng)性.

拓展練習(xí)：（2020年新高考Ⅰ卷·22）已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1][agt;bgt;0]的離心率為[22]，且過點(diǎn)[A2，1].

（1）求C的方程；

（2）點(diǎn)M，N在C上，且[AM⊥AN]，[AD⊥MN]，點(diǎn)D為垂足. 證明：存在定點(diǎn)Q，使得[DQ]為定值.

答案：（1）[x26+y23=1]；（2）存在定點(diǎn)[Q43， 13]，證明過程略.

例8 （2024年上海卷·20）已知雙曲線[Γ]：[x2-][y2b2=1bgt;0，A1，A2]分別為左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)[M-2，0]的直線l交雙曲線[Γ]于[P，Q]兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一象限.

（1）當(dāng)雙曲線[Γ]的離心率[e=2]時，求b；

（2）當(dāng)[b=263]，且[△MA2P]為等腰三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）連接QO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）并延長交[Γ]于點(diǎn)R，若[A1R · A2R=1]，求b的取值范圍.

答案：（1）[b=3;]（2）[P2，22;]（3）[0， 3].

考查目標(biāo)：該題第（1）小題考查雙曲線的方程和離心率，第（2）小題考查等腰三角形、圓與雙曲線有公共點(diǎn)，第（3）小題考查直線與雙曲線相交、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱和向量的數(shù)量積；考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和圖形探究的能力；考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

命題意圖：命題設(shè)計(jì)從基礎(chǔ)到綜合，層層遞進(jìn). 該題第（1）小題根據(jù)雙曲線的離心率便可求出雙曲線的方程，是對學(xué)生基礎(chǔ)知識的考查. 第（2）小題根據(jù)雙曲線有公共點(diǎn)的等腰三角形這一幾何模型來創(chuàng)設(shè)情境，要求學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中觀察并計(jì)算出點(diǎn)P的位置，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和直觀想象素養(yǎng). 第（3）小題是一個更為綜合的問題，要求學(xué)生找出滿足特定條件的直線與雙曲線的交點(diǎn)，通過設(shè)直線PQ：[x=my-2]，將其與雙曲線方程聯(lián)立，借助坐標(biāo)來刻畫這些點(diǎn)之間的聯(lián)系，由根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積等建立b與m的等量關(guān)系，最后根據(jù)代數(shù)式中隱藏的不等關(guān)系求出b的取值范圍，考查了學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，以及學(xué)生運(yùn)用綜合知識解決問題的能力.

試題亮點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)隱蔽條件，綜合應(yīng)用求解. 該題第（2）小題考查了學(xué)生從隱含的幾何性質(zhì)中挖掘關(guān)鍵信息的能力，需要從等腰三角形的幾何特點(diǎn)中發(fā)現(xiàn)[PA2=3]，即點(diǎn)P是“隱圓”和雙曲線的公共點(diǎn)，將兩個曲線方程聯(lián)立即可求得結(jié)果. 第（3）小題的條件隱藏著一種對稱性，即點(diǎn)R是點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn). 這種對稱性的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，可以簡化問題的求解過程. 在求解過程中，雖得到了m與b的等量關(guān)系，但還需進(jìn)一步挖掘題中的不等關(guān)系才能確定b的取值范圍，這要求學(xué)生考慮問題全面周到，細(xì)心謹(jǐn)慎，注意到條件“P在第一象限”限制了直線PQ與雙曲線的交點(diǎn)位置，為學(xué)生提供了求解不等關(guān)系的關(guān)鍵信息，這種對細(xì)節(jié)的關(guān)注和把握，是解題過程中不可或缺的能力，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和系統(tǒng)性.

拓展練習(xí)：（2017年江蘇卷·13）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，[A-12，0]，[B0，6]，點(diǎn)P在圓O：[x2+y2=50]上. 若[PA · PB≤20]，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是" " " " " ".

答案：[-52，1].

（3）探究問題本質(zhì)，考查創(chuàng)新性.

2024年高考平面解析幾何試題的命題注重探究問題本質(zhì)，考查創(chuàng)新性. 這不僅體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)屬性的深刻認(rèn)識，也反映了對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力的高標(biāo)準(zhǔn)要求. 考查創(chuàng)新性可以推動數(shù)學(xué)教育改革，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的創(chuàng)新和發(fā)展. 在命題過程中，命題者需要不斷探索和創(chuàng)新，設(shè)計(jì)出更加符合時代要求和學(xué)生特點(diǎn)的題目，努力提高命題的質(zhì)量和水平，為數(shù)學(xué)教育的改革提供有力的支持. 新課標(biāo)Ⅰ卷第11題和新課標(biāo)Ⅱ卷第19題通過引入新的元素或情境，打破了傳統(tǒng)的平面解析幾何命題模式，引導(dǎo)學(xué)生從新的角度思考問題，不僅考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法的掌握情況，還鼓勵學(xué)生探索未知的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，突出考查了學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力.

例9 （2024年新課標(biāo)Ⅰ卷·11）造型lt;＼＼10.1.5.160＼g＼中數(shù)高中2024年飛翔＼中數(shù)高中2024年第10期＼Image＼image2.pnggt;可以看作圖1中的曲線C的一部分，已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于-2，到點(diǎn)[F2，0]的距離與到定直線[x=a][alt;0]的距離之積為4，則（" " ）.

（A）[a=-2]

（B）點(diǎn)[22，0]在C上

（C）C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1

（D）當(dāng)點(diǎn)[x0，y0]在C上時，[y0≤4x0+2]

答案：ABD.

考查目標(biāo)：考查曲線與方程、函數(shù)導(dǎo)數(shù)和不等式，考查學(xué)生的閱讀理解能力、圖形探究能力和代數(shù)推理能力，考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與簡化的數(shù)學(xué)思想，考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

命題意圖：該題旨在考查學(xué)生對曲線方程、函數(shù)導(dǎo)數(shù)、不等式等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力. 通過引入一個具有特定幾何特征的曲線C，要求學(xué)生根據(jù)給定的條件推導(dǎo)出曲線的方程，并通過對曲線性質(zhì)的分析判斷各個選項(xiàng)的正確性. 選項(xiàng)A考查學(xué)生的觀察能力、數(shù)形結(jié)合思想和直觀想象素養(yǎng)，學(xué)生需要觀察并理解曲線的性質(zhì)，直觀上發(fā)現(xiàn)曲線C經(jīng)過原點(diǎn)這一重要信息，從而推導(dǎo)出曲線的方程. 選項(xiàng)B考查了點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系，在推導(dǎo)出曲線方程后，學(xué)生需要運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算來驗(yàn)證點(diǎn)是否在曲線上. 處理選項(xiàng)C時，學(xué)生需要運(yùn)用函數(shù)化的思維方法，通過構(gòu)造函數(shù)并進(jìn)行求導(dǎo)，來分析函數(shù)的極值點(diǎn)和最值點(diǎn)，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和探究能力. 在選項(xiàng)D中，學(xué)生需要借助不等式放縮的技巧來進(jìn)行推理和證明，考查了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

試題亮點(diǎn)：命題新穎獨(dú)特，打破常規(guī)思路. 該題在命題設(shè)計(jì)上展現(xiàn)了顯著的新穎性和獨(dú)特性，突破了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)試題中常見的直線、圓或圓錐曲線等題型，創(chuàng)新性地引入了“絲帶”曲線這一新的曲線類型. 這種四次曲線的引入，豐富了數(shù)學(xué)試題的內(nèi)容，為學(xué)生提供了一個全新的思考平臺，促使學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)中的新知識和新思想. 該題在考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的同時，也注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 例如，考慮選項(xiàng)C時可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 選項(xiàng)D強(qiáng)調(diào)了知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，融入了不等式知識，體現(xiàn)了考查的綜合性. 該題是多項(xiàng)選擇題，要求學(xué)生在不同的解題路徑、思路或策略之間進(jìn)行比較和選擇，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)新性.

拓展練習(xí)：（2019年北京卷·理8）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：[x2+y2=1+xy]就是其中之一（如圖2）. 給出下列三個結(jié)論：

① 曲線C恰好經(jīng)過6個整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

② 曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過[2]；

③ 曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號是（" " ）.

（A）① （B）②

（C）①② （D）①②③

答案：C.

例10 （2024年新課標(biāo)Ⅱ卷·19）已知雙曲線[C：][x2-y2=m][mgt;0]，點(diǎn)[P15，4]在C上，k為常數(shù)，[0lt;klt;1]. 按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)[Pnn=2，3，…]：過[Pn-1]作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)[Qn-1]，令[Pn]為[Qn-1]關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，記[Pn]的坐標(biāo)為[xn，yn].

（1）若[k=12]，求[x2]，[y2]；

（2）證明：數(shù)列[xn-yn]是公比為[1+k1-k]的等比數(shù)列；

（3）設(shè)[Sn]為[△PnPn+1Pn+2]的面積. 證明：對任意的正整數(shù)n，[Sn=Sn+1].

答案：（1）[x2=3]，[y2=0] ；（2）略；（3）略.

考查目標(biāo)：該題第（1）小題考查雙曲線的方程、直線與雙曲線相交、點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱，第（2）小題考查一般情形，涉及直線與雙曲線相交、點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱、等比數(shù)列等. 第（3）小題在第（2）小題的基礎(chǔ)上考查三角形的面積公式（用向量法推導(dǎo)）. 主要考查學(xué)生的作圖探究能力、代數(shù)推理能力，以及分析問題、解決問題的能力，考查迭代法和構(gòu)造法的應(yīng)用，考查學(xué)生的整體思想、化歸思想、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

命題意圖：該題通過直線與雙曲線相交的幾何背景，將傳統(tǒng)的圓錐曲線問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，問題新穎獨(dú)特，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力. 題目設(shè)計(jì)從簡單到復(fù)雜，層層遞進(jìn)，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過深入分析和探究來解決問題. 第（1）小題從最簡單的情形入手，通過作圖觀察來分析特殊情形，為后續(xù)問題的解答奠定基礎(chǔ). 第（2）小題進(jìn)一步提升難度，要求學(xué)生考慮一般情況，通過作圖了解直線與雙曲線相交的普遍規(guī)律，結(jié)合聯(lián)立方程和根與系數(shù)的關(guān)系，證明數(shù)列[xn-yn]是等比數(shù)列，考查了學(xué)生對迭代法和構(gòu)造法的應(yīng)用，以及從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 第（3）小題進(jìn)一步提高挑戰(zhàn)性，要求學(xué)生求解三角形的面積并證明面積數(shù)列是常數(shù)列，要求學(xué)生對三角形面積公式有深入的理解，能夠創(chuàng)造性地運(yùn)用向量法推導(dǎo)三角形面積公式，或是利用平面幾何知識證明面積相等，考查了學(xué)生的創(chuàng)新意識和探究問題本質(zhì)的能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

試題亮點(diǎn)：強(qiáng)調(diào)多想少算、環(huán)環(huán)相扣求解. 該題是一道融合了雙曲線和數(shù)列知識的綜合性數(shù)學(xué)問題，通過設(shè)定具體的斜率值，讓學(xué)生借助圖形來熟悉雙曲線與直線相交產(chǎn)生的點(diǎn)列特征，了解問題的本質(zhì)是迭代，旨在考查學(xué)生的邏輯思維和探究能力. 首先，試題鼓勵學(xué)生從最簡單、最特殊的情形入手，通過直觀分析和計(jì)算，初步理解問題的結(jié)構(gòu). 接著將特殊情形推廣到一般情況，讓學(xué)生通過觀察、總結(jié)、計(jì)算，證明數(shù)列[xn-yn]是等比數(shù)列，隨后發(fā)現(xiàn)數(shù)列[xn+yn]也是等比數(shù)列. 在解題過程中學(xué)生需要反復(fù)思考、不斷嘗試，通過環(huán)環(huán)相扣的求解步驟逐步逼近問題的核心. 最終，學(xué)生需要運(yùn)用歸納和推理的能力，探究無數(shù)次操作后問題蘊(yùn)含的不變特征和代數(shù)規(guī)律，完成整個問題的全面理解和解答，考查了數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新性和深刻性.

拓展練習(xí)：（2009年廣東卷·理21）已知曲線[Cn：][x2-2nx+y2=0][n=1，2，…]. 從點(diǎn)[P-1，0]向曲線[Cn]引斜率為[kn][kngt;0]的切線[ln]，切點(diǎn)為[Pnxn，yn].

（1）求數(shù)列[xn]與[yn]的通項(xiàng)公式；

（2）證明：[x1x3…x2n-1lt;1-xn1+xnlt;2sinxnyn].

答案：（1）[xn=nn+1]，[yn=n2n+1n+1]；（2）略.

2. 命題導(dǎo)向分析

高考命題堅(jiān)持“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”的原則，助力素質(zhì)教育的發(fā)展. 高考命題將繼續(xù)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)教材的要求，設(shè)計(jì)符合教學(xué)改革理念的試題，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)遵循教育規(guī)律，突出數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì). 上文提到，新課標(biāo)Ⅱ卷第5題是由人教A版教材選擇性必修第一冊第115頁綜合運(yùn)用的第9題、第127頁復(fù)習(xí)鞏固的第5題和第139頁綜合運(yùn)用的第9題直接改編而成，全國甲卷理科第20題由人教A版教材選擇性必修第一冊第136頁例5拓展而來，其他試題的考查內(nèi)容也并未脫離教材的核心內(nèi)容，且與《標(biāo)準(zhǔn)》的考查要求一致，這足以體現(xiàn)高考命題與教材內(nèi)容和《標(biāo)準(zhǔn)》的緊密聯(lián)系. 基于2024年高考平面解析幾何試題的命題特點(diǎn)分析，可以總結(jié)平面解析幾何專題的命題趨勢.

（1）基礎(chǔ)知識與綜合能力并重.

① 考查基礎(chǔ)知識的深度理解. 命題趨勢將更加注重?cái)?shù)學(xué)知識體系的系統(tǒng)性和連貫性. 這意味著命題會涵蓋各個基礎(chǔ)知識點(diǎn)，并注重它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和邏輯順序，幫助學(xué)生形成清晰的知識脈絡(luò). 在考查基礎(chǔ)知識時，命題將不僅僅停留在表面記憶層面，還更加注重學(xué)生對知識的深度理解和靈活運(yùn)用.

② 命題向考查綜合能力轉(zhuǎn)化. 命題趨勢顯著地向著考查學(xué)生將基礎(chǔ)知識轉(zhuǎn)化為綜合問題的解決能力傾斜. 這要求學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，能夠?qū)⑵鋺?yīng)用于復(fù)雜多變的問題情境中，并整合多個知識點(diǎn)，形成綜合的解題策略，從而有效地解決問題. 這種轉(zhuǎn)變旨在培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力、創(chuàng)新思維和問題解決能力，以便更好地適應(yīng)未來社會的發(fā)展.

③ 知識與能力考查比例平衡. 命題者努力平衡基礎(chǔ)知識與綜合能力的考查比例，確保兩者在試卷中占據(jù)合理的位置. 這既能夠全面評估學(xué)生平面解析幾何的學(xué)習(xí)情況，又能避免過度偏向某一方而導(dǎo)致評價(jià)失真. 為了照顧不同水平的學(xué)生，命題者在試卷中設(shè)置不同難度的平面解析幾何試題，基礎(chǔ)題用于檢驗(yàn)學(xué)生的基本掌握情況，綜合題則用于考查學(xué)生的高階思維能力.

（2）直觀想象與邏輯推理的考查.

① 考查幾何直觀與空間想象. 平面解析幾何命題將設(shè)計(jì)更多需要學(xué)生通過觀察、分析和想象圖形來解決問題的試題，旨在培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和空間想象能力. 該類試題不僅要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解并繪制幾何圖形，更要求他們能夠利用圖形的直觀性來洞察問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，從而找到解決問題的關(guān)鍵路徑. 這種趨勢將促進(jìn)學(xué)生從多個維度理解數(shù)學(xué)問題，提高他們的數(shù)學(xué)思維能力.

② 考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理. 數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，也是命題者關(guān)注的重點(diǎn)之一. 平面解析幾何命題將設(shè)計(jì)更具邏輯嚴(yán)密性和啟發(fā)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生通過細(xì)致觀察、深入分析來發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，進(jìn)而運(yùn)用邏輯推理的方法逐步推導(dǎo)出問題的解決方案，在推理的過程中需要學(xué)生專心致志地進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算. 這種考查方式能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和運(yùn)算能力，使學(xué)生形成更加嚴(yán)謹(jǐn)、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方式.

③ 考查數(shù)形結(jié)合思想. 平面解析幾何命題鼓勵學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解析問題. 這些問題往往涉及代數(shù)與幾何的交叉融合，要求學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式與直觀的圖形進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，從而揭示問題的本質(zhì)和規(guī)律. 此外，命題還將鼓勵學(xué)生在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的過程中進(jìn)行創(chuàng)新思維，探索新的解題思路，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力.

（3）開放情境與數(shù)學(xué)探究的倡導(dǎo).

① 創(chuàng)設(shè)開放性情境. 平面解析幾何的命題趨勢之一是創(chuàng)設(shè)多樣化的開放性情境. 這意味著命題者將設(shè)計(jì)一系列富有啟發(fā)性和趣味性的數(shù)學(xué)情境，鼓勵學(xué)生從多個角度、多個層面探究并解決問題. 這些情境可能來源于現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題，也可能來源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的深層次問題，如幾何定理的推廣、圖形變換的性質(zhì)探索等. 通過多樣化的開放性情境，學(xué)生可以更加深入地理解平面解析幾何的概念、原理和方法，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)興趣和探究精神.

② 強(qiáng)調(diào)探究性過程. 在開放情境下，平面解析幾何的命題將更加注重探究過程和思維能力的培養(yǎng). 命題者將設(shè)計(jì)一系列具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)和問題，要求學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、推理、歸納等探究方式，逐步深入問題的核心，形成自己的理解和解決方案. 在這個過程中，學(xué)生需要不斷運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和技能，發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力，提出新的假設(shè)和猜想. 通過這樣的探究過程，學(xué)生可以逐步構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)知識體系，養(yǎng)成獨(dú)立思考、勇于質(zhì)疑、善于創(chuàng)新等良好的思維品質(zhì).

③ 重視多元化發(fā)展. 在平面解析幾何的命題中，不再追求唯一的標(biāo)準(zhǔn)答案或解題方法，而是鼓勵學(xué)生根據(jù)自己的理解和思考，提出多種可能的解決方案. 這些方案可能涉及不同的數(shù)學(xué)工具、方法或思路，但是都能有效地解決問題. 通過這樣的命題設(shè)計(jì)，學(xué)生可以更加自由地表達(dá)自己的數(shù)學(xué)見解，運(yùn)用自己的創(chuàng)新思維. 此外，命題將設(shè)計(jì)多樣化的平面解析幾何題目和評價(jià)體系，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和發(fā)展方向，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展和個性化成長.

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

教學(xué)策略是指在教學(xué)中理解問題、選擇方法、采取步驟的指導(dǎo)方針，策略通常具有抽象性、概括性等特點(diǎn). 2024年高考平面解析幾何試題重視回歸基礎(chǔ)、知識聯(lián)系、探究問題本質(zhì). 針對平面解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)提出以下教學(xué)策略：一是夯實(shí)“四基”“四能”，提高關(guān)鍵能力. 通過明確基本概念、梳理知識體系、強(qiáng)化基礎(chǔ)訓(xùn)練來夯實(shí)基礎(chǔ)，通過培養(yǎng)思維能力、掌握基本解題方法、加強(qiáng)練習(xí)鞏固來提高關(guān)鍵能力. 二是系統(tǒng)思維訓(xùn)練，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng). 教師平時應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，在復(fù)習(xí)教學(xué)中幫助學(xué)生構(gòu)建思維導(dǎo)圖或知識網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生更加清晰地掌握平面解析幾何的知識結(jié)構(gòu)，鼓勵學(xué)生將復(fù)雜的平面解析幾何問題分解為若干個簡單的子問題并逐一解決，鼓勵學(xué)生嘗試多種解題方法，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維的靈活性和創(chuàng)新性. 三是培養(yǎng)理性精神，引導(dǎo)核心價(jià)值. 強(qiáng)調(diào)對平面解析幾何基本概念、原理和公式的深入理解，確保學(xué)生不僅知其然，還知其所以然；教授學(xué)生如何根據(jù)試題條件運(yùn)用邏輯方法進(jìn)行分析和推理，同時要求學(xué)生按照規(guī)范的步驟進(jìn)行解題；通過講解平面解析幾何數(shù)學(xué)問題中的對稱美、和諧美，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美學(xué)和藝術(shù)價(jià)值等.

教學(xué)建議是教學(xué)策略在具體教學(xué)實(shí)踐中的具體化和應(yīng)用，以上教學(xué)策略為平面解析幾何教學(xué)建議的提出提供了基礎(chǔ)和方向. 針對平面解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)，提出以下教學(xué)建議.

1. 重視《標(biāo)準(zhǔn)》，挖掘教材，強(qiáng)化過程積累基本經(jīng)驗(yàn)

《體系》中的“一核”表述為“立德樹人，服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)”，近幾年的高考命題越發(fā)體現(xiàn)了“引導(dǎo)教學(xué)”的考查目標(biāo). 2024年高考數(shù)學(xué)試卷立足《標(biāo)準(zhǔn)》，考查的內(nèi)容依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容，注重考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的熟練掌握和靈活應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)知識的整體性和連貫性，引導(dǎo)教學(xué)以課程目標(biāo)和核心素養(yǎng)為指引，避免超綱教學(xué)，注重內(nèi)容的基礎(chǔ)性和方法的普適性，避免盲目鉆研套路和機(jī)械訓(xùn)練.

如何在教學(xué)中進(jìn)行調(diào)整，真正讓學(xué)生掌握主干知識，提升基本能力，培養(yǎng)核心素養(yǎng)呢？那就是應(yīng)該緊扣《標(biāo)準(zhǔn)》，緊抓教材，在日常教學(xué)過程中讓學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗(yàn)，形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng).《標(biāo)準(zhǔn)》將解析幾何放在“代數(shù)與幾何”的主題下，意在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“數(shù)與形”的結(jié)合，反映在教材中也特別重視“方程與曲線”的聯(lián)系. 在教材橢圓的練習(xí)中就出現(xiàn)了通徑的形式，與新課標(biāo)Ⅰ卷第12題的圖形完全相同. 不難發(fā)現(xiàn)，很多問題都可以在教材的例題和習(xí)題中找到根源，這是一種顯性的關(guān)聯(lián). 更多地，應(yīng)該通過研究教材，領(lǐng)會教材的系統(tǒng)性，讓學(xué)生頭腦中有清晰、穩(wěn)定、可辨別、遷移能力強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)圖，不但要理解知識及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，而且要懂得知識間的邏輯關(guān)系和關(guān)聯(lián)方式，從而真正理解數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)能力的提升.

2. 重視直觀，結(jié)合模型，代數(shù)推理夯實(shí)基礎(chǔ)知識

解析幾何首先指向的是幾何問題，因此直觀想象就給解析幾何研究提供了清晰的思路. 例如，教材在處理圓錐曲線時貫徹了“先用幾何眼光觀察與思考，再用坐標(biāo)解決”的策略，因此對于三種曲線都在概念之后強(qiáng)調(diào)幾何特征，選擇坐標(biāo)系建立方程，再用代數(shù)方法認(rèn)識曲線性質(zhì)與位置關(guān)系. 這樣的理念也反映在高考試題的命制中. 例如，新課標(biāo)Ⅱ卷第10題是以拋物線和圓作為情境的問題，其中選項(xiàng)D判斷滿足[PA=PB]的點(diǎn)P的個數(shù)，就應(yīng)該從點(diǎn)P的軌跡是直線入手，先獲取幾何對象形成直觀，再利用代數(shù)方法確定數(shù)量. 因此，在教學(xué)過程中，要多讓學(xué)生思考符合條件的點(diǎn)的軌跡，并動手畫圖，形成解決問題的策略，提高運(yùn)算求解的效率，真正將直觀想象落到實(shí)處.

解析幾何所研究的對象是有限的，常見的是直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線這五種，且多以直線與其他四種曲線的位置關(guān)系為情境，因此可以總結(jié)出一些常用的“模型”. 例如，教材中利用例題和習(xí)題讓學(xué)生認(rèn)識橢圓和雙曲線都滿足斜率之積為定值的性質(zhì)，并且該定值可以用離心率表示. 一旦學(xué)生識別并掌握了這一模型，他們便能在新課標(biāo)Ⅰ卷第18題中輕松求解離心率，在2024年九省考試解析幾何問題的解決中熟練轉(zhuǎn)化、確定定值、求得定點(diǎn). 這些模型不是要讓學(xué)生死記硬背，而是要讓學(xué)生理解其中的圖形關(guān)系，形成有益的基本活動經(jīng)驗(yàn)，從而有助于學(xué)生捋順問題解決的路徑，厘清數(shù)學(xué)運(yùn)算的程序，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)知識，形成關(guān)鍵能力.

基于以上分析，一方面，鼓勵學(xué)生多畫圖、多觀察，通過圖形的直觀性來理解題目中的條件和要求，讓學(xué)生逐漸習(xí)慣從圖形中提取有用信息；另一方面，在解析幾何中，代數(shù)運(yùn)算和圖形特征往往是相互關(guān)聯(lián)的，鼓勵學(xué)生將圖形特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)式，通過代數(shù)運(yùn)算來解決問題，形成相應(yīng)的模型. 通過從代數(shù)到幾何，從幾何到代數(shù)，如此多次交替轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生真正理解解析幾何的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)溝通代數(shù)與幾何的目標(biāo).

3. 重視運(yùn)算，選擇策略，合理訓(xùn)練提升基本技能

作為六大核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)運(yùn)算，《標(biāo)準(zhǔn)》給出了明確的刻畫. 數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 主要包括：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等. 作為解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，數(shù)學(xué)運(yùn)算在解析幾何的學(xué)習(xí)和研究過程中體現(xiàn)得尤為明顯. 因此，解析幾何的教學(xué)要肩負(fù)起培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的責(zé)任，將解析幾何所要研究的問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題，確定運(yùn)算對象，明確運(yùn)算方向，形成程序思想.

在實(shí)際教學(xué)過程中，大多數(shù)解析幾何問題都可以通過方程或者函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算解決. 例如，聯(lián)立方程可以判斷直線與曲線的位置關(guān)系并定量計(jì)算弦長、面積等問題，因此試題命制的過程也是圍繞這些基本問題展開的. 設(shè)置從直線與曲線出發(fā)探究位置這樣的正向問題，或者從位置關(guān)系出發(fā)研究幾何對象這類逆向問題. 例如，新課標(biāo)Ⅰ卷第16題就是已知三角形的面積去確定直線的方程. 該題充分展現(xiàn)了命題中的基礎(chǔ)性，但是在閱卷過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生還是在方法的選擇上出現(xiàn)了困擾. 可見，在實(shí)際問題的解決過程中，學(xué)生會出現(xiàn)差異，從而區(qū)分不同思維層次的學(xué)生，也使不同能力水平的學(xué)生得以展現(xiàn).

推理是數(shù)學(xué)的“命根子”，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的“童子功”.“刷題”并不能提高學(xué)生的運(yùn)算能力，“大量刷題”反而可能會降低學(xué)生的思維層次. 在教學(xué)過程中，要注意引導(dǎo)學(xué)生思考條件與目標(biāo)之間的關(guān)系，從幾何特征切入，制訂合適的策略，選擇有效的方法. 例如，新課標(biāo)Ⅰ卷第16題已知三角形的兩個頂點(diǎn)和面積，從幾何角度可以發(fā)現(xiàn)第三個頂點(diǎn)就在兩條確定的直線上，求解具體直線與橢圓公共點(diǎn)問題是比較容易、快速且有效獲取正確結(jié)果的途徑. 誠然，僅僅有運(yùn)算的策略是不行的，學(xué)生要有執(zhí)行運(yùn)算策略的信心與能力. 因此，學(xué)生只有親自“下水”，才能成為運(yùn)算“高手”. 在養(yǎng)成良好解題習(xí)慣的同時，發(fā)展學(xué)生分析和解決問題的能力，不僅能讓數(shù)學(xué)運(yùn)算成為解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，還能讓學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的作風(fēng)和堅(jiān)忍不拔的品質(zhì).

4. 重視觀念，強(qiáng)化方法，提出問題深化基本思想

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，平面解析幾何通過建立坐標(biāo)系，借助直線、圓與圓錐曲線的幾何特征，導(dǎo)出相應(yīng)方程；用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)形與數(shù)的結(jié)合. 事實(shí)上，解析幾何的基本內(nèi)涵和方法是：通過坐標(biāo)系，把幾何的基本元素（點(diǎn)和代數(shù)）的基本對象（數(shù)、有序數(shù)對或數(shù)組）對應(yīng)起來，在此基礎(chǔ)上建立曲線（點(diǎn)的軌跡）的方程，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再通過代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì). 因此，在教學(xué)中不能只強(qiáng)調(diào)直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線這五種常規(guī)曲線的代數(shù)方程，還要讓學(xué)生經(jīng)歷從幾何到代數(shù)的過程，理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，要鼓勵學(xué)生去探索其他曲線的方程和性質(zhì)，體會解析幾何的一般觀念.

我們熟知，圓可以通過壓縮成為橢圓，將到兩定點(diǎn)距離之和為定值改為到兩定點(diǎn)距離之差為定值就可以從橢圓遷移到雙曲線. 同時，教材還給出基于橢圓和雙曲線，用與兩定點(diǎn)連線的直線的斜率之積為定值的等價(jià)判斷，可以發(fā)現(xiàn)在習(xí)題中提出了斜率之差和斜率之差為定值的曲線的研究. 這充分說明，教材意在引導(dǎo)教師和學(xué)生要學(xué)會發(fā)現(xiàn)和提出問題. 回看新課標(biāo)Ⅰ卷第11題，就是類比圓錐曲線的統(tǒng)一定義（到定點(diǎn)距離與到定直線距離之比為定值）提出了新的問題（到定點(diǎn)距離與到定直線距離之積為定值），可以建立曲線方程（四次曲線）來探究其幾何性質(zhì).

因此，在教學(xué)過程中，要在“如何發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問題”上對學(xué)生加以指導(dǎo)，完成“數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建模”的教學(xué)要求，從而有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力. 如何指導(dǎo)學(xué)生提出問題呢？一般來說，可以根據(jù)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，從而形成科學(xué)的思維習(xí)慣，并將其作為重要的教學(xué)內(nèi)容，提出具有內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)的系列化問題. 例如，在研究蒙日圓問題時，學(xué)生根據(jù)兩條切線相互垂直即斜率之積為[-1]類比提出了斜率之積為定值，通過特殊情況的推導(dǎo)，信息技術(shù)的加持，動態(tài)實(shí)驗(yàn)，合情推理，推廣并獲取了一般性結(jié)論. 由此，我們倡導(dǎo)在問題引導(dǎo)下放手讓學(xué)生展開自主學(xué)習(xí)，這樣學(xué)生能走得更遠(yuǎn)、學(xué)得更好，在遇到不熟悉情境的問題時，能學(xué)會用整體的、聯(lián)系的觀點(diǎn)思考問題，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決，這是學(xué)生必須具有的數(shù)學(xué)思維能力.

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作者簡介：吳鍔（1960— ），男，正高級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)以及中高考數(shù)學(xué)命題研究；

錢月鳳（1994— ），女，一級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

劉煒（1983— ），男，正高級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.