滲透數(shù)學(xué)思想 透視核心素養(yǎng)

摘要：與三角形有關(guān)的計(jì)算問題，時(shí)常在試卷或練習(xí)中遇見.雖然這樣的題目普遍比較簡(jiǎn)單，但易與其他知識(shí)點(diǎn)融合形成綜合題，從而在提高難度后給學(xué)生解題帶來困難.數(shù)學(xué)思想既是解決數(shù)學(xué)問題的方法，也是核心素養(yǎng)的體現(xiàn).教師只有在教學(xué)中不斷滲透數(shù)學(xué)思想，才能幫助學(xué)生形成核心素養(yǎng).為此，本文中以三角形的有關(guān)計(jì)算為例，談一談如何滲透數(shù)學(xué)思想和透視核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：三角形；數(shù)學(xué)思想；核心素養(yǎng)；方程思想；分類討論思想

課堂教學(xué)的目的不只是為了傳授知識(shí)，還要讓學(xué)生掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，更要不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文中以三角形的有關(guān)計(jì)算為例，談一談與之相關(guān)的數(shù)學(xué)思想的滲透.

1 核心素養(yǎng)透視

在人教版教材八年級(jí)上冊(cè)第十一章“三角形”第二節(jié)第一課時(shí)“三角形內(nèi)角和定理”中體現(xiàn)了如下幾個(gè)方面的核心素養(yǎng)：

首先，邏輯推理.“三角形內(nèi)角和定理”作為第十一章“三角形”中的內(nèi)容 ，不僅基礎(chǔ)，而且非常重要.在本章及本節(jié)中，通過具體的實(shí)例幫助學(xué)生充分理解證明的重要性和必要性，同時(shí)體會(huì)演繹推理的嚴(yán)謹(jǐn)性.另外，借助平行線的性質(zhì)和判定定理、三角形內(nèi)角和定理等的證明過程，不斷提高學(xué)生的推理能力和邏輯思維能力[J].

其次，數(shù)學(xué)抽象.在本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，需要學(xué)生從具體的實(shí)例中抽象出定義、定理、推論、命題等，不斷積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[J]，并且要求學(xué)生通過抽象不斷把握事物或事物間的數(shù)學(xué)本質(zhì)，最終逐漸形成一般性思考問題的意識(shí)或習(xí)慣.

2 數(shù)學(xué)思想及分析

在與三角形有關(guān)的計(jì)算中，三角形的內(nèi)角和定理占據(jù)著非常重要的地位.該定理通常用于計(jì)算或證明，是非?；A(chǔ)的幾何知識(shí)，主要體現(xiàn)了方程思想和分類討論思想.下面，結(jié)合例題分別分析這兩種數(shù)學(xué)思想.

2.1 方程思想

2.1.1 方程思想解讀

利用公式等已知信息（包括隱含條件）建立等量關(guān)系，并且根據(jù)方程（組）解決數(shù)學(xué)問題的思想或方法，就是方程思想.本節(jié)中的三角形內(nèi)角和定理對(duì)三角形三個(gè)內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了完整表述，從方程角度來看，如果三個(gè)內(nèi)角中已知兩個(gè)獨(dú)立條件，那么就可利用方程思想求出該三角形每個(gè)內(nèi)角的具體度數(shù).

2.1.2 例題分析

例1有一個(gè)△ABC，∠A，∠B，∠C分別是它的三個(gè)內(nèi)角，且∠A=∠B+30°，∠B=14∠C.求△ABC每個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

分析：題中給出了“∠A=∠B+30°”和“∠B=14∠C”兩個(gè)獨(dú)立條件，根據(jù)方程思想，只需利用三角形內(nèi)角和定理列方程即可求解.

解：∵∠A=∠B+30°，∠B=14∠C，

∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠B+30°+∠B+4∠B=180°.

∴∠B=25°.

∴∠A=55°，∠C=100°.

評(píng)析：應(yīng)用方程思想解決三角形的有關(guān)計(jì)算問題，關(guān)鍵在于充分發(fā)揮兩個(gè)獨(dú)立條件的作用，因?yàn)檫@些數(shù)量關(guān)系有利于設(shè)未知數(shù).在解題過程中，起到關(guān)鍵作用的是三角形內(nèi)角和定理，它將“∠B，∠A=∠B+30°，∠C=4∠B”“串”起來，該知識(shí)點(diǎn)起到了“橋梁”作用.

練習(xí)1如圖1，△ABC是銳角三角形，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，AD和CE相交于點(diǎn)F，且∠AFE=58°，則∠ACB+∠BAC=_______°.

2.2 分類討論思想

2.2.1 分類討論思想解讀

分類討論思想作為初中數(shù)學(xué)中非常重要的一種數(shù)學(xué)思想，在代數(shù)、幾何部分都經(jīng)常出現(xiàn).這種數(shù)學(xué)思想，在三角形的有關(guān)計(jì)算問題中也有體現(xiàn).這樣的題通常題意復(fù)雜，而且包含著多種情況，需要先分類再討論.筆者認(rèn)為，這里需注意三個(gè)問題：首先，分類時(shí)需要遵循標(biāo)準(zhǔn)一致和不重不漏原則.分類的標(biāo)準(zhǔn)一致就保證了幾種情況與題意的契合度，不重不漏則保證了解題的準(zhǔn)確度，是邏輯思維能力的體現(xiàn).其次，討論時(shí)幾種情況相對(duì)獨(dú)立，不相互影響.也就是說，將每種情況作為一個(gè)單獨(dú)的題目對(duì)待，在解決該種情況時(shí)，無需兼顧其他幾種情況.這時(shí)候，既體現(xiàn)了邏輯思維能力，又體現(xiàn)了推理能力.最后，將分類討論的結(jié)果綜合起來.通常分類討論后會(huì)產(chǎn)生多個(gè)符合題意的結(jié)果，此時(shí)需將這些結(jié)果綜合起來，用“綜上所述……”進(jìn)行表述[J].

2.2.2 例題分析

例2在△ABC中，AB=AC，一條過三角形頂點(diǎn)的直線將三角形分成了兩個(gè)等腰三角形.試求△ABC中各個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

分析：三角形有三個(gè)頂點(diǎn)，題中并未指明是哪個(gè)頂點(diǎn)，因此這樣的直線應(yīng)該有三種情況，且每種情況中的直線可向兩側(cè)將三角形分為兩個(gè)等腰三角形.所以，本題需利用分類討論思想解決.

解：（1）直線過點(diǎn)A，有兩種情況，如圖2、圖3.

①如圖2，過點(diǎn)A的直線與BC交于點(diǎn)E，且BE=AE，AE=EC.所以，△ABE和△ACE都是等腰三角形.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∵BE=AE，AE=EC，

∴∠B=∠C=∠BAE=∠CAE.

∵∠B+∠C+∠BAC=180°，

∴∠B=∠C=45°，∠BAC=90°.

②如圖3，過點(diǎn)A的直線與BC交于點(diǎn)F，且AB=BF，AF=FC.所以，△ABF和△ACF都是等腰三角形.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∵AB=BF，AF=FC，

∴∠B=∠C=∠FAC，∠BFA=∠BAF=2∠B.

∵∠B+∠C+∠BAC=180°，

∴∠B=∠C=36°，∠BAC=108°.

（2）直線過點(diǎn)B，有兩種情況，如圖4、圖5.

①如圖4，過點(diǎn)B的直線與AC交于點(diǎn)D，且BD=AD，BD=BC.所以，△ABD和△BCD都是等腰三角形.

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C.

∵BD=AD，BD=BC，

∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠C.

∵∠BDC=2∠A，

∴∠C=2∠A，∠ABD=∠CBD.

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.

②如圖5，過點(diǎn)B的直線與AC交于點(diǎn)G，且AG=BG，CB=CG.所以，△ABG和△BCG都是等腰三角形.

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C.

∵AG=BG，CB=CG，

∴∠A=∠ABG，

∠CBG=∠CGB.

∵∠BGC=2∠A，

∴∠CBG=2∠A.

∴∠ACB=3∠A.

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴∠A=1807°，∠ABC=∠C=5407°.

（3）直線過點(diǎn)C，與（2）一樣.

綜上所述，△ABC各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是：45°，45°，90°或36°，36°，108°或36°，72°，72°或1807°，5407°，5407°.

總而言之，知識(shí)是問題與素養(yǎng)之間的“橋梁”，利用所學(xué)知識(shí)解決問題，從而依靠知識(shí)體現(xiàn)出素養(yǎng).因此，教師在教學(xué)時(shí)要不斷滲透數(shù)學(xué)思想，要透視核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]劉鴻英.核心素養(yǎng)下的初中幾何微課教學(xué)——以與三角形有關(guān)的角為例[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（8）：47-49.

[2]王弟成.結(jié)合數(shù)學(xué)思想 培養(yǎng)核心素養(yǎng)——以解三角形中方程思想運(yùn)用為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2021（5）：57-59.

[3]曹文靜.初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理念下數(shù)學(xué)思想的滲透和能力培養(yǎng)——以人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)《幾何圖形初步》為例[J].進(jìn)展，2021（17）：127-129.