Bers型空間上加權(quán)復(fù)合微分前置算子

摘 要：從算子的性質(zhì)出發(fā)，研究Bers型空間上的復(fù)合微分前置算子的有界性和緊性，得到了算子有界性和緊性的充分必要條件。

關(guān)鍵詞：Bers型空間；復(fù)合微分前置算子；有界性；緊性

記Δ為復(fù)平面上的單位開(kāi)圓盤(pán)，H（Δ）為Δ上解析函數(shù)的全體，對(duì)u，φ∈H（Δ）且u（Δ）?Δ，文獻(xiàn)[1]給出了u，φ為符號(hào)的復(fù)合微分前置算子的定義：uDCφ f=uφ′f ′（φ），其中f∈H（Δ），Δ上的Bers型空間和小Bers空間分別定義為：

其中0<α<∞，顯然，H

α是Banach空間，H∞

α，0是H∞

α的閉子空間。

國(guó)內(nèi)很多學(xué)者研究了復(fù)合算子、微分算子以及復(fù)合微分算子在各類空間上的性質(zhì)，取得了一系列成果。

文獻(xiàn)[1]討論了Qk（p，q）到α-Bloch 的加權(quán)復(fù)合微分前置的有界性和緊性，在Bers空間上的加權(quán)復(fù)合算子、加權(quán)復(fù)合微分算子也有比較多的研究（參看文獻(xiàn)[3][4][5]）。

本文主要研究Bers空間上的加權(quán)復(fù)合微分前置算子的性質(zhì)。

本文還將用到函數(shù)I m（z）=zm，A?B是指存在常數(shù)C，使得?B?CB。文中每次出現(xiàn)C并不同一。

主要結(jié)果及其證明

在這個(gè)部分，將給出主要結(jié)果和證明以及證明所要用到的引理。

引理1[ 2 ] 設(shè)n?1為正整數(shù)，0<α<∞，則：

引理2[ 7 ] 假設(shè)φ是Δ上的解析自映射，則T：X→Y緊的充要條件是T：X→Y是有界，對(duì)所有X的有界序列（fk）在Δ的緊子集上一致收斂于0，則||Tfk||Y=0。

引理2的證明相仿文獻(xiàn)[7]的定理3.11的證明，故此處省去。

定理1 設(shè)u∈H（Δ），u（Δ）?Δ，0<α，β<∞，φ是Δ上的解析自映射，則以下結(jié)論等價(jià)：

定理2 設(shè)u∈H（Δ），u（Δ）?Δ，0<α，β<∞，φ是Δ上的解析自映射。則以下結(jié)論等價(jià)：

另一方面，

參考文獻(xiàn)：

[1] 龍見(jiàn)仁.Qk（p，q）空間到加權(quán)α-Bloch空間的復(fù)合微分后置和復(fù)合微分前置算子（英文）[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011（02）：64-71.

[2] Zhu K.BLOCH TYPE SPACES OF ANALYTIC-FUNCTIONS[J].Rocky Mountain Journal of Mathematics，1993，23（3）：1143-1177.

[3] 吳瑩穎，張若靜，唐笑敏.Bers型空間之間的加權(quán)微分復(fù)合算子[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，（06）：610-613.

[4] 王茂發(fā)，劉云.不同Bers型空間之間的加權(quán)復(fù)合算子[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2007，（04）：665-671.

[5] Zhu X.Generalized weighted composition operators from Bloch spaces into Bers-type spaces[J].Filomat，2012，26（6）：1163-1169.

[6] 鐘巧紅.不同Bers-型空間之間的加權(quán)復(fù)合算子[J].廣州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，（03）：15-17.

[7] C.C.Cowen and B.D.MacCluer，Composition Operators on Spaces of Analytic Functions， Studies in Advanced Mathematics， CRC Press， Boca Raton，1995.

作者簡(jiǎn)介：余建（1990-），男，漢族，貴州甕安人，貴州師范大學(xué)研究生，研究方向：函數(shù)論。