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    關(guān)于可逼近性和弱緊性的一個注記

    2014-08-06 11:50:34羅正華陳麗珍
    關(guān)鍵詞:緊性充分性有界

    羅正華,周 巍,陳麗珍

    (華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362021)

    1 主要結(jié)果

    設(shè)(X,‖·‖)是Banach空間.對于x∈X,C?X,d(x,C)=inf{‖x-y‖:y∈C}表示x到C的距離;PC(x)={z∈C:‖x-z‖=d(x,C)}表示C在x處的度量投影.如果對每個x∈X,PC(x)≠?,就稱C是可逼近的(proximinal).顯然可逼近集是閉的.

    定理1 設(shè)X是Banach空間,C?X是有界閉凸集,則C是弱緊的當(dāng)且僅當(dāng)對于X上的每個等價范數(shù)|·|,C在(X,|·|)中均是可逼近的.

    2 定理的證明

    下述引理1可見文獻[8],為了完整起見,我們給出證明.

    引理1 設(shè)(X,‖·‖)是賦范線性空間,C為X的非空子集,則C是可逼近的當(dāng)且僅當(dāng)對每個r≥0,C+rBX均是閉的.

    證明必要性.設(shè)C是可逼近的,當(dāng)r=0時,C+0·BX=C是閉的.

    當(dāng)r>0時,設(shè)cn+bn→x,其中{cn}?C,{bn}?rBX,則d(cn+bn,C)→d(x,C),并且

    d(cn+bn,C)≤‖cn+bn-cn‖=

    ‖bn‖≤r,?n∈N.

    因此d(x,C)≤r.取y∈PC(x),則‖x-y‖=d(x,C)≤r,即x-y∈rBX,因而x=y+(x-y)∈C+rBX,所以C+rBX是閉的.

    充分性.設(shè)每個r≥0,C+rBX均是閉的.特別地,取r=0時可知,C是閉的.

    令x∈XC,記r=d(x,C)>0.取{xn}?C,使得

    對每個n,令

    則{yn}?rBX,并且

    因此存在y∈C,z∈rBX,使得x=y+z.注意到

    r=d(x,C)≤‖x-y‖=‖z‖≤r,

    即‖x-y‖=d(x,C),因而y∈PC(x),所以C是可逼近的.引理證畢.

    我們還需下述引理.

    引理2 設(shè)X是Banach空間,C?X為有界閉凸集,則C是弱緊的當(dāng)且僅當(dāng)對每個內(nèi)點非空的有界閉凸均衡集D?X,都有C+D是閉集.

    證明必要性.設(shè)C是弱緊的,D是X的有界閉凸均衡子集,滿足int(D)≠?,則C+D是弱閉的.再由C+D的凸性可知,C+D是閉的.

    H-1={x∈X:f(x)=-1},H[-1,1]=

    {x∈X:-1≤f(x)≤1}.

    容易看到,C∩H[-1,1]=?.取{xn}?C,滿足:f(xn)→-1.令

    {yn}?H-1?H[-1,1],

    并且

    接下來,我們?nèi)∫粋€開球U?H[-1,1],同時令

    則D是有界閉凸均衡集,并且int(D)≠?.由

    {xn}?C,{yn}?D,‖xn-yn‖→0,

    可知

    注意到

    D?H[-1,1],C∩D=?,

    則0?C-D=C+D.這意味著,C+D不是閉的.產(chǎn)生矛盾.引理證畢.

    利用引理1,2,下面我們完成定理1的證明.

    定理1的證明必要性.設(shè)C是弱緊的,|·|是X上的等價范數(shù),則C在(X,|·|)中也是弱緊的,因而在(X,|·|)中是可逼近的.

    充分性.設(shè)D是X的有界閉凸均衡子集,滿足int(D)≠?.設(shè)|·|為D所生成的Minkowski泛函,則|·|是X上的等價范數(shù),并且D是(X,|·|) 的閉單位球.由充分性假設(shè),C在(X,|·|)中是可逼近的.因此由引理1可知,C+D是閉的.進而由引理2,我們有:C是弱緊的.定理證畢.

    最后,我們再來看一個例子.

    例1 考慮有界序列空間(l∞,‖·‖∞),設(shè)C是(c0,‖·‖∞)的閉單位球.定義

    xn))2)1/2>1,

    所以d|·|(e,C)≥1.這里,d|·|(e,C)表示在|·|意義下,e到C的距離.

    |e-(e1+e2+…+ei)|=1+

    因此d|·|(e,C)=1.所以在|·|的意義下,l∞在e處的度量投影為空,即C在(l∞,|·|)中不是可逼近的.

    定理1中,當(dāng)C是無界閉凸集時,我們可相應(yīng)地考察C的局部弱緊性.閉凸集C稱為是局部弱緊的,如果對于?x∈C,都存在r>0,使得

    C∩B(x,r)={y∈C:‖x-y‖≤r}

    是弱緊的.顯然,對于有界閉凸集,弱緊性與局部弱緊性是等價的;而對于整個空間X而言,X的局部弱緊性等價于X的自反性.容易驗證,局部弱緊性意味著可逼近性,并且局部弱緊性在等價范數(shù)下是不變的.因此,如果C是X中的局部弱緊集,則對于X上的每個等價范數(shù)|·|,C在(X,|·|)中均是可逼近的.自然地,我們要問,反之是否成立?特別地,當(dāng)C=X時,答案是否定的,因為在每個等價范數(shù)下,X在其自身中都是可逼近的,但X不一定是局部弱緊的(即自反的).而當(dāng)C≠X時,上述逆命題是否成立尚不可知.

    [1] 周巍,羅正華.弱緊集的一個新特征[J].廈門大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,52(3):309-311.

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    [3] Diestel J.Sequences and series in Banach spaces[M].New York:Springer-Verlag,1984.

    [4] Davis W J,Figiel T,Johnson W B,et al.Factoring weakly compact operators[J].J Funct Anal,1974,17:311-327.

    [5] Cheng L X,Cheng Q J,Luo Z H.On some new characterizations of weakly compact sets in Banach spaces[J].Studia Math,2010,201(2):155-166.

    [6] Cheng L X,Cheng Q J,Luo Z H,et al.Every weakly compact set can be uniformly embedded into a reflexive Banach space[J].Acta Math Sin(Engl Ser),2009,25(7):1109-1112.

    [7] Singer I.The theory of best approximation and functional analysis[M].Philadelphia:SIAM,1974.

    [8] Barbu V,Precupanu T.Convexity and optimization in Banach spaces[M].4th ed.Berlin,Germany:Springer-Verlag,2012.

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