L-拓撲空間中Starplus-緊性的刻畫*

李敏靜，張彬林，田國華，郭秀穎

(黑龍江工程學院)

0 引言

Gantner等人于1978年在L-拓撲空間中引入α-緊性的概念［1］．憑借 α-緊性，當 L=［0，1］時，Lowen 給出了強模糊緊性的概念［2］．在這之后，Li和 Wang又先后把強模糊緊性的概念推廣到一般的模糊集和 L-模糊集［3-5］．Starplus-緊性的概念于2001年被引入到一般的模糊集［6］．Starplus-緊性是一種概括化的強模糊緊性［2］，但是它又不同于強模糊緊性，具體討論可參考文獻［4，7］．盡管在文獻［4，7］中提到，Starplus-緊性并不如強模糊緊性那樣理想，但它仍有許多良好特性．

Starplus-緊性的定義是建立在這一事實基礎上，即假定在［0，1］拓撲中而不是一般拓撲中，文獻［8］將Starplus-緊性的定義推廣到L-拓撲空間中，并且給出了它的性質及相關理論，可是并沒有給出它的本質特征．因此，該文將給出Starplus-緊性的兩種刻畫．

1 預備知識

設X為一個非空集合，LX為在X上所有L-模糊集的集合，由定義∨、∧、≤當LX繼承了點陣L的結構，則它也是一個模糊點陣．在LX中由0和1分別表示最大和最小的元素．在L中，P(L)表示所有非單位素元的集合，M(L)表示所有非零素元的集合．在LX中M(LX)表示所有非零素元的集合．

一個L-拓撲空間也簡記為L-ts．假定e≤/P．一個封閉L-模糊集被稱作屬于e∈M的遠鄰域．如果U'是一個屬于e的R-nbd，則一個開放的L-集U被稱作屬于e∈M(LX)的半開鄰域(或簡記為 Q-nbd)．對于每一個 e∈M(LX)，所有封閉的自然數(shù)(e)的R-nbd集合表示為n'(e)．

定義1．1［4］對于一個拓撲空間(X，T)，如果WL(T)是所有從(X，T)到L的較低級的不完全連續(xù)的(W，WL(T))，那么WL(T)稱為在L上的L-拓撲．

定義1．2［9-10］設 A ∈ LX，且 α∈ L，定義:

A(α)={x∈ X|A(x)≥ α}，

A(α)={X ∈ X|A(x)≤ α}．

易知，對于每一個α∈M和每一個A∈LX，可得(A(α))'=(A')(α)．

定義1．3 設(x，δ)是一個L-ts，G∈LX，如果 G(α)在(X，δ(α))對于每一個 α ∈ P(L)，則 G被稱為Starplus-緊．如果是Starplus-緊，(X，δ)被稱為Starplus-緊．

顯然，定義1．3是一種概括化的Starplus-緊性［6］．

定義1．4 對于A∈LX，若?n∈D，s(n)≤/A'，一個網(wǎng)絡系S={S(n)|n∈D}被叫做與A半相符．

定義 1．5 設(X，δ)是一個 L-ts，α ∈M(l)，且 G∈ LX．若對于每一個模糊點 Xα，且α≤G'(x)，屬于δ的A的分支A被稱作G的Qα-開的半封閉，存在A∈A，且 Xα≤A'．若β?A，且β也是G的Qα-開的半封閉，則β被稱作A的Qα-開的半準封閉．

2 Starplus-緊性的特征

這一節(jié)中，給出了如下Starplus-緊性的刻畫．

定理2．1 設(X，δ)是一個 L-ts，且 G∈LX．那么G是Starplus-緊的，當且僅當對每一個α∈M(L)，每個G的Qα-開的半封閉具有有限的Qα-開的半準封閉．

證明 ?假定G是Starplus-緊的，且A是個G的Qa-開的半封閉，那么容易證明在(X，δ(α))內(nèi)，A(α')={A(α')|A ∈ A}是 G(α')的開封閉．根據(jù)G的Starplus-緊性，可知A具有有限的亞 β 體系，這樣 β(α')={B(α')|B ∈ B}是在(X，δ(α))內(nèi)的 G(α')的開封閉．這就意味著 β是 A 的有限的Qα-開的半準封閉．

?假定對于每一個α∈M(L)，每個G的Qα-開的半封閉具有有限的Qα-開的半準封閉，且μ是個G(α')的半封閉，那么存在一個δ的亞科A，這樣μ ={A(α')|A∈A}．顯而易見，A是 G的Qα-開的半封閉．所以，A具有有限的Qα-開的半準封閉 β．由此可知 β(α')={B(α')|B ∈ B}是個μ的有限的開準封閉．這就意味著在(X，δ(α))內(nèi)G(α')是緊的．因此，G是Starplus-緊．

定理2．2 設(X，δ)是一個 L-ts，且 G∈LX．那么G是Starplus-緊的，當且僅當對每一個α∈M(L)，每個與G連續(xù)的半符合α-網(wǎng)格具有一個簇點Xα與G半符合．

證明 ?假定對于每一個α∈M(L)，每個和G的半符合連續(xù)的α-網(wǎng)格具有一個簇點Xα與G半符合．為了證明G是Starplus-緊的，將一個網(wǎng)格系統(tǒng){S(n)}n∈D放入 G(b)，b ∈ P(L)，那么{S(n)}n∈D是與G半符合的連續(xù)的b'-網(wǎng)格系統(tǒng)，其中，{S(n)}b'表示受點和高b'支持的一個模糊點．這樣，它就具有一個與G半符合的簇點xb'，顯然，x∈G(b)．現(xiàn)在證明x是一個在(X，δ(b))，中的{S(n)}∈D的簇點:假設A是在(X，δ(b))中的x開鄰域，那么存在一個在(X，δ)內(nèi)的開L-集U，這樣A=U(b)．顯然，U是xb'的開半鄰域．既然xb'是一個{S(n)}n∈D的簇點，{S(n)}n∈D經(jīng)常與 U 半符合，這就意味著{S(n)}n∈D時常在U(b)=A中．所以，x是一個在(X，δ(b))中的{S(n)}n∈D的一個簇點，這表明G(b)是緊性，因此，G是Starplus-緊．

?假定G是Starplus-緊的，α∈M(L)，且{S(n)}n∈D是與G半符合的連續(xù)的δ-網(wǎng)格系統(tǒng)．那么，{S(n)}n∈D是在 G(α')內(nèi)的一個網(wǎng)格系統(tǒng)．由于G是 Starplus-緊，可知，G(α')是緊的．這樣，{S(n)}n∈D有一個簇點x∈G(α')．由此，xα是在(X，δ)內(nèi)的{S(n)}n∈D的一個簇點，且它與G半符合．

［1］ Gantner T E，Steinlage R C，Warren R H．Compactness in fuzzy topological spaces［J］．J Math Appl，1978，62:547-562．

［2］ Lowen R A．Comparison of different compactness notions in fuzzy topological spaces［J］．J Math Appl，1978，64:446-454．

［3］ Li Z F．Compactness in fuzzy topological spaces［J］．Bulletin in China，1984，29:321-323．

［4］ Wang G J．Theory of L-fuzzy topological spaces［M］．Xian:Shanxi Normal University Publisher，1988．

［5］ Wang G J．Generalized topological molecular lattices［J］．Science in China，1983，A，26(12):1063-1072．

［6］ Kohli J K，Prasannan A R．Starplus-compactness and Starplus-compact open fuzzy topological on function spaces［J］．J Math Anal Appl，2001，254:87-100．

［7］ Liu Y M，Luo M K．Fuzzy topology［M］．Singapore:World Scientific Publishing，1997．

［8］ Shan J．Starplus-Compactness In L-topological spaces［J］．Natural Sciences Journal of Harbin Normal University，2005，21(5):11-13．

［9］ Shi F G．Theory of-nested sets and-nested sets and applications［J］．Fuzzy Systems and Mathematics，1995，9(4):65-72．

［10］ Shi F．G．L -Fuzzy set and prime element nest［J］．J Mathematical Research and Exposition，1996，16(3):398-402．