從Zygmund空間到Bloch型空間二階加權(quán)微分復(fù)合算子的性質(zhì)

彭明用，楊叢麗

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)　550001)

從Zygmund空間到Bloch型空間二階加權(quán)微分復(fù)合算子的性質(zhì)

彭明用，楊叢麗*

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)550001)

摘要：主要討論了從Zygmund空間到Bloch型空間二階加權(quán)微分復(fù)合算子的有界性與緊性，得到了相應(yīng)的等價(jià)條件。

關(guān)鍵詞：Zygmund空間；Bloch型空間；二階加權(quán)微分復(fù)合算子；有界性；緊性

0引言

我們記Δ為復(fù)平面上的單位開(kāi)圓盤(pán)，H(Δ)為Δ上解析函數(shù)的全體，對(duì)φ，φ∈H(Δ)且φ(Δ)?Δ，定義以φ，φ為符號(hào)的二階加權(quán)微分復(fù)合算子為：φCφD2f=φf(shuō)″(φ)， 其中f∈H(Δ)。

對(duì)f∈H(Δ)，Δ上Bloch空間和α-Bloch空間的定義分別為：

文獻(xiàn)[2]在泛數(shù)

(1)

與文獻(xiàn)[3]在范數(shù)

下它們都是Banach 空間。

小Bloch空間與小α-Bloch空間的定義如下：

對(duì)f∈H(Δ)，Δ上μ-Bloch空間是指：

對(duì)f∈H(Δ)，Δ上的Zygmund空間是指：

由文獻(xiàn)[6]中的定理5.3可知：

(2)

在文獻(xiàn)[7]中對(duì)任意的f∈Z有

(3)

對(duì)任意f∈B在文獻(xiàn)[8]有

(4)

1主要結(jié)果及證明

引理1設(shè)φ，φ∈H(Δ)且φ(Δ)?Δ，μ是正規(guī)函數(shù)，那么φCφD2：Z(或Z0)→Bμ是緊的充分必要條件是φCφD2:Z(或Z0)→Bμ有界，對(duì)Z(或Z0)中的任意有界序列{fk}k∈N在Δ上內(nèi)閉一致收斂于0(k→∞)，且‖φCφD2fk‖Bμ→0(k→∞)。

引理1的證明方法和文獻(xiàn)[1]中的命題3.11的一樣，故略去不證。

定理1設(shè)φ，φ∈H(Δ)且φ(Δ)?Δ，μ是正規(guī)函數(shù)，那么以下3個(gè)條件等價(jià) :

①φCφD2:Z→Bμ有界；②φCφD2:Z0→Bμ有界；

證明：①?②，顯然。

(5)

(6)

(7)

那么

(8)

當(dāng)a∈Δ〗{0}時(shí)，設(shè)

那么fa(z)∈Z0，從而

(9)

由(8)與(9)可知：

≤C‖φCφD2‖Z0→Bμ<∞

由(5)可知：

C‖φCφD2‖Z0→Bμ<∞

由(7)可知：

故③成立。

③?① 對(duì)任意的f∈Z，結(jié)合③可知：

證畢。

定理2設(shè)φ，φ∈H(Δ)且φ(Δ)?Δ，μ是正規(guī)函數(shù)，那么以下3個(gè)條件等價(jià) ： ①φCφD2:Z→Bμ緊 ；②φCφD2:Z0→Bμ緊；

證明①?②，顯然。

結(jié)合定理1的證明過(guò)程有：

‖φCφD2ln‖Bμ≥|μ(|zn|)|φ′(zn)l″(φ(zn))|-μ(|zn|)|φ(zn)φ′(zn)l?n(φ(zn))||

則

即我們所求的兩個(gè)極限存在。

因?yàn)棣誄φD2:Z0→Bμ是緊的，由引理1可知：

③?①，因?yàn)棣誄φD2:Z→Bμ有界，由定理1可知：

由引理1可知φCφD2:Z→Bμ緊。

證畢。

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The character of 2-th weighted composition followed and proceeded by differentiation operator from Zygmund spaces to Bloch-type spaces

PENG Mingyong,YANG Congli*

(School of Mathematical and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001,china)

Abstract:This paper mainly discussed the compactness and boundedness of 2-th weighted composition followed and proceeded by differentiation operator from zygmund spaces to Bloch-type spaces ,we obtain corresponding equivalent conditions.

Key words:Zygmund spaces;Bloch-type spaces;2-th weighted composition followed and proceeded by differentiation operator;boundedness; compactness

文章編號(hào)：1004—5570(2016)02-0056-04

收稿日期：2015-07-25

作者簡(jiǎn)介：彭明用(1989-)，男，碩士研究生，研究方向：函數(shù)論，E-mail:pmyonng18@163.com. *通訊作者：楊叢麗(1981-)，女，博士，副教授，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向：函數(shù)論，E-mail:yangcongli@gznu.edu.cn.

中圖分類號(hào)：O174

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A