基于實(shí)數(shù)理論的線性空間拓?fù)湫再|(zhì)的比較

吳亞敏

【摘要】本文通過總結(jié)比較R，Rn和R∞三個(gè)實(shí)線性空間的基本性質(zhì)、連續(xù)映射性質(zhì)和線性系統(tǒng)可解性質(zhì)，簡(jiǎn)述線性空間的拓?fù)湫再|(zhì)與其維數(shù)緊密相關(guān)，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)無(wú)限維線性空間拓?fù)湫再|(zhì)的認(rèn)識(shí).

【關(guān)鍵詞】完備性；可分性；致密性；緊性；閉集套性質(zhì)；連續(xù)映射性質(zhì)

一、實(shí)數(shù)空間R

1基本性質(zhì)

（1）完備性：R的每個(gè)Cauchy列都有極限.

（2）可分性：R以可數(shù)的有理數(shù)集為稠密子集.

（3）致密性或列緊性：任何有界序列必有收斂子列.

（4）緊性：有界閉集的任何開覆蓋都有有限的子覆蓋.

（5）閉區(qū)間套性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)減少閉區(qū)間簇＼[an，bn＼]的交集非空.

2連續(xù)映射性質(zhì)

（1）線性函數(shù)表示：函數(shù)f（x）為線性的充要條件是存在常數(shù)a使f（x）=ax.

（2）最值定理：連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)間（閉集）上必取得最大值最小值.

（3）一致連續(xù)性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)間（閉集）上是一致連續(xù)函數(shù).

（4）連續(xù)函數(shù)性質(zhì)：開區(qū)間、閉區(qū)間（開集、閉集）上連續(xù)函數(shù)的原象分別是開區(qū)間、閉區(qū)間（開集、閉集）.

（5）凸函數(shù)定理：區(qū)間上的凸函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù).

（6）凸函數(shù)性質(zhì)定理：可微函數(shù)是凸函數(shù)的充要條件是它的導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)函數(shù).

3線性系統(tǒng)可解性質(zhì)

（1）線性系統(tǒng)x′（t）=ax（t）+bu（t），t≥0的解為x（t）=eat+∫t0ea（t-r）bu（r）dr，t≥0.

（2）線性系統(tǒng)x′（t）=ax（t），t≥0零解穩(wěn)定的必要條件是a≤0.

（3）線性系統(tǒng)x′（t）=ax（t），t≥0零解漸近穩(wěn)定（指數(shù)穩(wěn)定）的充分必要條件是a<0.

（4）函數(shù)T（t），t≥0是指數(shù)函數(shù)的充分必要條件是：

a）T（0）=1，T（T+S）=T（t）T（s）；

b）T（t）在[0，+∞）上連續(xù).

二、n維歐氏空間Rn

1基本性質(zhì)

（1）完備性：分量的每個(gè)Cauchy列都有極限.

（2）可分性：分量以可數(shù)的有理數(shù)點(diǎn)集為稠密子集.

（3）致密性或列緊性：分量的每個(gè)任何有界序列必有收斂子列.

（4）緊性：分量的每個(gè)有界閉集的任何開覆蓋都有有限的子覆蓋.

（5）閉集套性質(zhì)：分量的每個(gè)單調(diào)減少閉集簇＼[an，bn＼]的交集非空.

2連續(xù)映射性質(zhì)

（1）線性函數(shù)表示：映射F：Rn到R為線性的充要條件是存在常數(shù)a使f（x）=（a，x），其中（a，x）為內(nèi)積；映射F：Rn到Rm為線性的充要條件是存在m×n階矩陣A使F（x）=Ax.

（2）最值定理：連續(xù)函數(shù)在有界閉集上必取得最大值最小值.

（3）一致連續(xù)性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)在有界閉集上是一致連續(xù)函數(shù).

（4）連續(xù)函數(shù)性質(zhì)：開集（閉集）上連續(xù)函數(shù)的原象是開集（閉集）.

（5）凸函數(shù)定理：開集上的凸函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù).

（6）凸函數(shù)性質(zhì)定理：可微函數(shù)是凸函數(shù)的充要條件是它的導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)函數(shù).