在一般加權(quán)Bergman空間上的廣義Volterra型算子①

羅慶仙

(廣東茂名幼兒師范?？茖W(xué)校 理學(xué)院, 廣東 茂名 525200)

1 相關(guān)研究

令Δ是復(fù)平面上的單位開圓盤，在Δ上的所有全純函數(shù)組成的集合記為H(Δ).

當(dāng)φ∈H(Δ)且φ(Δ)?Δ時，復(fù)合算子Cφ的定義為

(Cφf)(z)=f(φ(z))，z∈Δ，f∈H(Δ)，

而加權(quán)復(fù)合算子Wφ，φ的定義為

(Wφ，φf)(z)=φ(z)f(φ(z))，z∈Δ，f∈H(Δ).

對于任意g∈H(Δ)，定義Volterra型算子Tg如下：

與Tg密切相關(guān)的另一個算子，其定義為

很多學(xué)者對Volterra型算子的研究充滿了興趣。近幾年來，林慶澤研究了加權(quán)shift算子加上Volterra型算子在Bergman空間上的不變子空間及約化子空間[2]，并且給出了Volterra型算子在對數(shù)加權(quán)Banach空間之間的有界性和緊性的充要條件[3]。在參考文獻(xiàn)[4]、[5]中，Lin等人分別刻畫幾個具體空間上Volterra型算子的有界性和緊性等。

廣義Volterra型算子定義為下列四種形式：

廣義Volterra型算子由Li等人首次提出，并且他們完善了該算子在一些具體空間上的性質(zhì)[6-9]。自從該算子被提出來以后，很多學(xué)者不斷去完善其性質(zhì)，其中Ueki在參考文獻(xiàn)[10]中研究了從加權(quán)Bergman空間到β-Zygmund空間的廣義Volterra型算子的有界性和緊性，并且還給出其本性范數(shù)。而Mahyar和Rezaei則刻畫了在QK空間上的廣義Volterra型算子的有界性和緊性[11]，更多的，Li和Ma[12]給出了廣義Volterra型算子在Zygmund型空間到QK空間上的有界性和緊性的刻畫。Sanatpour[13]中討論了在Zygmund型空間上的廣義Volterra型算子的本性范數(shù)，并且還推廣到Bloch型空間等等。

不過到目前為止，作用在一般加權(quán)Bergman空間上的廣義Volterra算子的有界性和緊性尚未刻畫，從而，本文將給出其有界性和緊性的刻畫。

2 定理的引入及其證明

接下來下文中的引理1和引理2分別給出了加權(quán)復(fù)合算子在一般的Bergman空間之間的有界性和緊性的刻畫。

當(dāng)ω是任意給定的正則權(quán)，p，γ>0是任意給定的實(shí)數(shù)時，對于z∈Δ，令

引理2設(shè)ω，μ是正則權(quán)，并且1

(3)對于足夠大的γ′>0，有

為了刻畫廣義Volterra型算子在廣義加權(quán)Bergman空間上的有界性和緊性，通過等價范數(shù)可以得到其有界性和緊性的充要條件。

定理1設(shè)ω，μ是正則權(quán)，g，φ∈H(Δ)，φ(Δ)?Δ，(goφ)′?Δ，則：

(2)當(dāng)1

③對于足夠大的γ>0，則有

下面這個定理是刻畫算子Tg，φ在Bergman空間之間的有界性和緊性，其證明和定理1是類似的。

定理2 設(shè)ω，μ是正則權(quán)，g，φ∈H(Δ)，φ(Δ)?Δ，則：

(2)當(dāng)1

③對于足夠大的γ>0，有

定理3 設(shè)ω，μ是正則權(quán)，g，φ∈H(Δ)，φ(Δ)?Δ，則：

(2)當(dāng)1

③對于足夠大的γ>0，有

定理4設(shè)ω，μ是正則權(quán)，g，φ∈H(Δ)，φ(Δ)?Δ則：

(2)當(dāng)1

③對于足夠大的γ>0，有

3 結(jié)語

本文利用一般加權(quán)Bergman空間上的加權(quán)復(fù)合算子的有界性、緊性和等價范數(shù)得到了一般加權(quán)Bergman空間之間廣義Volterra型算子的有界性和緊性。這種證明方法簡捷高效，為研究其它函數(shù)空間上的算子理論提供了一種新的思路。