分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中的實(shí)踐運(yùn)用

李鈺

【摘要】數(shù)學(xué)作為高中課程體系中一門難度相對(duì)較大的科目，不僅知識(shí)學(xué)習(xí)起來比較困難，試題難度同樣有所提升，學(xué)生不僅需掌握牢固的理論知識(shí)，還需學(xué)會(huì)運(yùn)用一些特殊的解題方法，其中分類討論思想就有著廣泛運(yùn)用，教師應(yīng)給予高度重視與格外關(guān)注，指導(dǎo)他們靈活運(yùn)用分類討論思想分析與解答數(shù)學(xué)試題，使其快速找到準(zhǔn)確、完整的答案，提高解題水平.

【關(guān)鍵詞】分類討論思想；高中數(shù)學(xué)；解題訓(xùn)練

數(shù)學(xué)結(jié)論的成立均有著自身的特殊條件，不同解題方法的使用范圍存在差異，有的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論不是唯一確定的，或者難以通過統(tǒng)一的形式處理，就可用到分類討論思想.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練教學(xué)中，當(dāng)遇到一些特殊試題時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想，讓他們根據(jù)問題特征和要求進(jìn)行類別劃分，拆解成若干個(gè)小問題，使其分類討論后求得結(jié)果.

1 分類討論思想在集合類試題中的實(shí)踐運(yùn)用

集合屬于高中數(shù)學(xué)課程中的接觸知識(shí)，熱門考點(diǎn)是集合與元素的關(guān)系，多個(gè)集合之間關(guān)系，以及含有參數(shù)的集合問題等，因?yàn)樵谝坏涝囶}中往往會(huì)出現(xiàn)多種不一樣的情況，當(dāng)處理部分特殊的集合題目時(shí)，教師要求學(xué)生以認(rèn)真閱讀題目內(nèi)容、精準(zhǔn)理解題意為基礎(chǔ)，按照具體要求進(jìn)行分類討論，使其根據(jù)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)逐個(gè)處理，讓他們綜合整理求得獲得完整結(jié)果［1］.

例1 已知集合A={x|－2≤x≤a}，集合B={y|y=2x+3，x∈A}，集合C={z|z=x2，x∈A}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？

分析 通過對(duì)這三個(gè)集合的認(rèn)真觀察，當(dāng)－2≤x≤a時(shí)，z=x2的范圍同實(shí)數(shù)a的正負(fù)號(hào)均有關(guān)系，因此需對(duì)a的值進(jìn)行分類討論，由此準(zhǔn)確找到a的取值范圍.

解 由集合A={x|－2≤x≤a}能夠得到集B={y|y=2x+3，x∈A}＝{y|－1≤y≤2a+3}，接著分類討論a的值，（1）當(dāng)－2≤a≤0時(shí)，集合C={z|a2≤a≤4}，因?yàn)镃B，所以4≤2a+3，a≥12，與－2≤a≤0存在沖突；（2）當(dāng)0

2 分類討論思想在函數(shù)類試題中的實(shí)踐運(yùn)用

在解答高中數(shù)學(xué)函數(shù)試題時(shí)，分類討論思想極為常用，像二次函數(shù)、分段函數(shù)、函數(shù)導(dǎo)數(shù)與等.高中數(shù)學(xué)教師在具體的函數(shù)解題訓(xùn)練中，應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生先仔細(xì)觀察與分析題干周年辦中給出的條件，假如難以使用統(tǒng)一的方式來解答，就需對(duì)研究對(duì)象展開類別劃分，使其將整個(gè)題目科學(xué)分為多個(gè)小部分，然后一個(gè)一個(gè)的解答，讓他們通過分類討論順利解答試題.

例2 已知函數(shù)f（x）=2x2－2ax+3在區(qū)間［－1，1］內(nèi)有最小值，可記作g（a），請(qǐng)問g（a）的函數(shù)表達(dá)式是什么？

分析 解答這一函數(shù)試題時(shí)，應(yīng)考慮到二次函數(shù)對(duì)稱軸所處的位置，要根據(jù)對(duì)稱軸的不同位置進(jìn)行分類討論，只有這樣求出的結(jié)果才完整.

解 把原函數(shù)配方以后得到y(tǒng)=2（x－a2）2+3－a22，對(duì)稱軸方程為x=a2，此時(shí)需對(duì)該函數(shù)的對(duì)稱軸位置展開分類討論，（1）當(dāng)a2≤1時(shí)，即為a≤2，函數(shù)y在區(qū)間［－1，1］內(nèi)單調(diào)遞增，x=－1時(shí)y有最小值，那么g（a）=2a+5g；（2）當(dāng)－1

3 分類討論思想在數(shù)列類試題中的實(shí)踐運(yùn)用

在高中數(shù)學(xué)數(shù)列解題訓(xùn)練中，數(shù)列周期性和等比數(shù)列求和等多種類型試題均要用到分類討論思想，教師需要引領(lǐng)學(xué)生巧妙采用分類討論思想，對(duì)解題思路進(jìn)行優(yōu)化，從而準(zhǔn)確精準(zhǔn)題目類型，屬于條件劃分、集合劃分劶或概念劃分，使其清晰的將題目劃分為多種情況后展開逐個(gè)解答，幫助他們逐漸理解與掌握分類討論思想的內(nèi)涵，且學(xué)會(huì)用來解答數(shù)列試題［2］.

例3 如果等比數(shù)列an的首項(xiàng)是正數(shù)，公比是q，前n項(xiàng)和是Sn，且Sn>0（n=1，2，3…）（n＝1，2，3，…），求公比q的取值范圍.

分析 解答本道題目時(shí)需對(duì)試題中可能出現(xiàn)的幾種情況展開分類討論，且根據(jù)已知條件進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)公比q不可能為0，但是因?yàn)闆]有沒明確指出q，則要分類討論q的值.

解 結(jié)合題意可知公比q≠0，但是需對(duì)q是否是1展開分類討論，（1）當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1>0；（2）當(dāng)q≠1時(shí)，能夠得到Sn＝Sn=a1（1+qn）1－q>0，那么1－q<0，1－qn<0，其中n=1，2，3…或者1－q>0，1－qn>0，其中n=1，2，3…綜合以上式子可以確定公比q的取值范圍是（－1，0）∪（0，+∞）.

4 分類討論思想在概率類試題中的實(shí)踐運(yùn)用

高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生合理使用分類討論思想解決概率類試題，使其真正了解到概率事件的集合與某件事在所有事件中發(fā)生的概率，讓他們清晰、精準(zhǔn)分類他們完成求解.

例4 一城市正在傳遞奧運(yùn)圣火，有18個(gè)競選火炬手，他們的編號(hào)分別是1，2，3…16，17，18，不過只選出3名火炬手，那么選擇火炬手的編號(hào)能形成公差是3的等差數(shù)列概率為多大？

分析 利用分類討論思想，先確定問題概型是古典概型，求出基本事件的總體情況，再根據(jù)實(shí)際要求確定火炬手，即a分別是1、2、3等時(shí)有多少種情況，將符合題意的所有情況都找出來后，列式和計(jì)算概率.

解 題目中基本事件的總種數(shù)是C318=17×16×3，確定火炬手編號(hào)為an=a1+3（n－1），然后展開分類討論，當(dāng)a1=1時(shí)，編號(hào)1，4，7，10，13，16能夠組成4種選法；當(dāng)a1=2時(shí)，編號(hào)2，5，8，11，14，17也能夠組成4種選法；a1=3時(shí)，編號(hào)3，6，9，12，15，18同樣能夠組成4種選法，則p=4+4+417×16×3=168.

5 分類討論思想在幾何類試題中的實(shí)踐運(yùn)用

高中數(shù)學(xué)幾何試題主要包括解析幾何和立體幾何，由于幾何體往往存在著不確定性因素，教師可帶領(lǐng)學(xué)生使用分類討論思想分析圖像形狀與位置分布等類別問題，促使他們通過運(yùn)用分類討論思想處理幾何試題，使其掌握更多解題技巧［3］.舉例略.

6 結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練活動(dòng)中，教師應(yīng)認(rèn)真對(duì)待分類討論思想的具體應(yīng)用，據(jù)此開設(shè)專題聯(lián)系，讓學(xué)生能夠合理確定分類標(biāo)準(zhǔn)，使其在分類討論中將復(fù)雜化的試題變得簡單化，精準(zhǔn)把握題目的特點(diǎn)與本質(zhì)，利用分類討論迅速求得正確大難，并促進(jìn)他們思維能力的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］崔堅(jiān).分類討論思想視域下高中數(shù)學(xué)解題研究［J］.數(shù)理化解題研究，2022（36）：8-10.

［2］曾祥均.淺談分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（32）：146-148.

［3］賀紅莉.高中數(shù)學(xué)解題策略中分類討論思想的應(yīng)用研究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（28）：119-121.