關(guān)于抽象函數(shù)的對稱性、周期性的幾點(diǎn)思考與建議

楊青英 張少霞

【摘要】抽象函數(shù)一直是高考的高頻考點(diǎn)，最常見的題型是將函數(shù)的周期性、對稱性結(jié)合在一起考查.相比其他題型，學(xué)生面對抽象函數(shù)時更加難以理解，抓不住關(guān)鍵信息，找不到解題思路.本文擬從以上問題出發(fā)，通過梳理知識點(diǎn)，分析學(xué)生在解抽象函數(shù)中存在的問題，提出對應(yīng)的解題方法，以2021、2022年的高考題為例，進(jìn)行分析，希望對學(xué)生的解題能力有所幫助.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；抽象函數(shù)；對稱性

抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，如f（m+n）=f（m）·f（n）等表達(dá)式.正是因?yàn)闆]有具體的解析式，所以學(xué)生通過求函數(shù)解析式來求解函數(shù)的這種思路便不再適用于抽象函數(shù).因此，從抽象函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，研究其周期性、對稱性的基本特征，結(jié)合數(shù)學(xué)不同知識點(diǎn)之間的關(guān)系，系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識，學(xué)生的解題速度和質(zhì)量都會獲得提升.

1 抽象函數(shù)的對稱性、周期性的基本解法

1.1 對稱性

對稱性包括軸對稱和中心對稱，一般與函數(shù)的奇偶性聯(lián)系在一起.當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時，f（x）=f（－x），對稱軸為x=0，并且如果一個函數(shù)滿足f（a+x）=f（a－x），則函數(shù)f（x）的對稱軸為x=a，通過觀察，這兩個函數(shù)數(shù)值相等，而且括號中的x為一正一負(fù)，可知對稱軸為正負(fù)對稱（軸）的平均；當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時，f（x）=－f（－x），其對稱中心為（0，0），或者一個函數(shù)滿足f（a+x）=－f（a－x），則這個函數(shù)的對稱中心為（a，0），可得這個函數(shù)的對稱中心的橫坐標(biāo)為兩橫坐標(biāo)之和的平均數(shù).

1.2 周期性

周期函數(shù)是指對于函數(shù)如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，此時我們就把這個叫周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T就叫做函數(shù)的周期［1］REF_Ref131621457＼r＼h＼*MERGEFORMAT，常用的三種求函數(shù)周期性的方法是：（1）函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a，x=b對稱，則T=2|b－a|；（2）函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a和（b，0）對稱，則T=4|b－a|；（3）函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）和（b，0）對稱，則T=2|b－a|.

掌握函數(shù)的周期性可以使學(xué)生便捷快速地進(jìn)行解題.求解函數(shù)的周期一般與函數(shù)的對稱性有關(guān)，并且函數(shù)的對稱性可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的周期性，2 影響學(xué)生解題的因素

2.1 思維定勢的影響

學(xué)生在獨(dú)立解決問題的過程中，在過去知識經(jīng)驗(yàn)的影響下，心理常處于一種準(zhǔn)備狀態(tài)，在解決當(dāng)前問題時有一定的傾向性，從而決定后繼活動的趨勢［2］REF_Ref131626215＼r＼h＼*MERGEFORMAT，也就出現(xiàn)了思維定勢.學(xué)生在解抽象函數(shù)時，先前所積累的解題經(jīng)驗(yàn)對學(xué)生印象深刻，學(xué)生會下意識地用已有數(shù)學(xué)思維去解決抽象函數(shù)類題型，使其思維受阻.

2.2 基礎(chǔ)不牢，知識點(diǎn)混淆

學(xué)生對基礎(chǔ)知識的獲得有兩種形式：一是死記硬背，知識之間不成系統(tǒng)；二是在腦海中進(jìn)行有意義建構(gòu)，將所學(xué)知識形成思維導(dǎo)圖［3］REF_Ref131696281＼r＼h＼*MERGEFORMAT，抽象函數(shù)綜合性較強(qiáng)，涉及的知識點(diǎn)范圍廣，常常會和一個或多個知識點(diǎn)結(jié)合起來考查，學(xué)生在先前的學(xué)習(xí)中，沒有形成一個系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框架，在解題時，只會套用公式，弄不清問題本質(zhì)，遇到較難習(xí)題時，容易將知識點(diǎn)混淆，找不到解題思路.

2.3 歸納總結(jié)能力較低

高中數(shù)學(xué)題型包羅萬象，機(jī)械式的刷題模式會加強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，從根本上無法提升學(xué)生的解題效率.其中有一部分原因是學(xué)生在解題后沒有對同一類型的題型進(jìn)行歸納總結(jié)，不會舉一反三.另一部分原因是學(xué)生在解題時，會出現(xiàn)思路錯誤、方法錯誤、知識點(diǎn)錯誤，但學(xué)生并沒有對此進(jìn)行反思總結(jié)，在做此類題型時仍犯同樣的錯誤，加大了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).

3 解題方法

3.1 還原法

還原法是解決抽象函數(shù)常用的方法，其最終目的是通過遞推和替換使題目中所要求的抽象函數(shù)表達(dá)式呈現(xiàn)周期性、對稱性的結(jié)構(gòu)特征.第一次還原是根據(jù)題目所給的條件，進(jìn)行形式上的遞推，讓其變成f（x）的表達(dá)形式.第二次還原是在第一次還原的基礎(chǔ)上再次替換，使其替換后的抽象函數(shù)表達(dá)式可以呈現(xiàn)出對稱軸、對稱中心或者周期等基本信息.

3.2 賦值法

在解決抽象函數(shù)時有一種通過化抽象為具體的方法，即賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式，經(jīng)過恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算和推理加以解決，這種方法就是賦值法［4］REF_Ref131779725＼r＼h＼*MERGEFORMAT.常見的是將未知量賦予一些特殊值或簡單的數(shù)，如：令x=0或x=1等.

3.3 構(gòu)造法

構(gòu)造法解題的本質(zhì)是根據(jù)數(shù)學(xué)問題中的條件，用條件中的元素為“原件”，用已知數(shù)學(xué)關(guān)系為“ 支架”，在思維中構(gòu)造相關(guān)的數(shù)學(xué)對象、或數(shù)學(xué)形式，從而使問題轉(zhuǎn)化并得到解決［5］REF_Ref131781193＼r＼h＼*MERGEFORMAT.在高中數(shù)學(xué)中最常見的有用構(gòu)造輔助線、輔助量、圖形等來解.

4 抽象函數(shù)的周期性、對稱性在2021年、2022年高考題中的應(yīng)用

例1 （2021全國甲卷）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈1，2時，f（x）=ax2+b，若f（0）+f（3）=6，則f92=（? ）

（A）－94. （B）－32. （C）74. （D）52.

解析 （第一次還原）因?yàn)閒（x+1）為奇函數(shù)，所以f（x+1）=－f（－x+1），且f（1）=0.因?yàn)閒（x+2）為偶函數(shù)，所以f（x+2）=f（－x+2），變形得f（x+1）+1=－f－（x+1）+1=－f（－x），即f（－x+2）=f（x+2）=－f（－x）.

（第二次還原）令t=－x，則f（t+2）=－f（t），所以f（x+4）=f（x）.當(dāng)x∈1，2時，f（x）=ax2+b，f（0）=f（－1+1）=－f（2）=－4a－b，f（3）=f（1+2）=f（－1+2）=f（1）=a+b，又因?yàn)閒（0）+f（3）=6，所以－3a=6，a=－2，f（1）=a+b=0，所以－a=2.當(dāng)x∈1，2時，f（x）=－2x2+2，所以f92=f12=－f32=－－2×94+2=52，由此可知此題選（D）.

本題通過第一次還原遞推得出f（－x+2）=f（x+2）=－f（－x），觀察函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)行第二次還原，通過替換表達(dá)式中的x，使它變成f（x）的形式，再結(jié)合函數(shù)的周期性，此題便可得解.

例2 （2021全國乙卷）已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）+g（2－x）=5，g（x）－f（x－4）=7，若y=g（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，g（2）=4，則∑22k=1f（k）=（? ）

（A）－21. （B）－22. （C）－23. （D）－24.

解析 由y=g（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，可得g（2+x）=g（2－x）.在f（x）+g（2－x）=5中，用－x替換x，可得f（－x）+g（2+x）=5，可得f（－x）=f（x）.①y=f（x）為偶函數(shù)，在g（x）－f（x－4）=7中，用2－x替換x，得g（2－x）=f（－x－2）+7，代入f（x）+g（2－x）=5中，得f（x）+f（－x－2）=－2.②y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（－1，－1）中心對稱，因此f（1）=f（－1）=－1.結(jié)合①②，可得f（x）+f（x+2）=－2，所以f（x+2）+f（x+4）=－2，f（x+4）=f（x），y=f（x）·T=4.由f（x）+g（2－x）=5，可得f（0）+g（2）=5，因?yàn)間（2）=4，所以f（0）=1，又因?yàn)閒（x）+f（x+2）=－2，所以f（0）+f（2）=－2，可得f（2）=－3，又因?yàn)閒（3）=f（－1）=－1，f（4）=f（0）=1，所以∑22i=1f（x）=6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（3）+5f（4）=6×（－1）+6×（－3）+5×（－1）+5×1=－24，故選（D）.

在這道題中并沒有出現(xiàn)很明顯的解題信息，但是y=g（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，聯(lián)想到偶函數(shù)的性質(zhì)，沿著這個思路進(jìn)行遞推、替換，將表達(dá)式還原成f（x）的形式，觀察表達(dá)式之間的結(jié)構(gòu)特征，在利用函數(shù)周期的性質(zhì)解題.

例3 （2022新高考2卷）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y），f（1）=1，則∑22k=1f（k）=（? ）

（A）－3.? （B）－2.? （C）0.? （D）1.

解析 由上述題型可知∑22k=1f（k）=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（22），因?yàn)閒（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y），令y=1，則f（x+1）+f（x－1）=f（x），對x∈R都是成立的.用x+1代替x，則f（x+2）+f（x）=f（x+1），由此可推出f（x+2）=f（x+1）－f（x）記為①式，同時也可推出f（x+1）=f（x）－f（x－1）記為②式，②式代入①式可得f（x+2）=－f（x－1）.用x+1代替x可得f（x+3）=－f（x），根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)f（x+m）=－f（x），T=2m，所以在f（x+3）=－f（x）中，T=6，f（1）=1.令 x=1，y=0，代入f（x+y）+f（x－y）=f（x）·f（y）中，整理化簡得f（0）=2.由①式f（x+2）=f（x+1）－f（x）可知，令x=0時，f（2）=f（1）－f（0）=－1.令x=1時，f（3）=f（2）－f（1）=－2.令x=2時，f（4）=f（3）－f（2）=－1.令x=3f（5）=f（4）－f（3）=1，令x=4時，f（6）=f（5）－f（4）=2.又因?yàn)椋?）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=0，∑22k=1f（k）=［f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）］×3+f（19）+f（20）+f（21）+f（22）=f（19）+f（20）+f（21）+f（22）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=－3，故此題選（A）.

2022新高考2卷中的這道題的解題過程中并不是單一使用一種方法，而是將還原法與賦值法結(jié)合解題.因此，學(xué)生解題不應(yīng)拘泥于一種解題方法，而是根據(jù)具體題型具體分析，將解題方法融會貫通，解題思路也會更加清晰.

5 結(jié)語

通過分析這兩年的高考題可以看出抽象函數(shù)中對求值問題考查頻繁，學(xué)生在解題過程中，需要重點(diǎn)注意“三性轉(zhuǎn)化”（奇偶性、對稱性、周期性），對于“三性”之間的關(guān)系做到熟稔于心，熟練自如地運(yùn)用解題方法.遇到難度較大、信息繁瑣的習(xí)題時，秉持化繁為簡、化難為易，找準(zhǔn)解題的切入點(diǎn)，最終達(dá)到習(xí)題所要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo).

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