對(duì)一道高考題解法的探究

靳康杰

【摘要】針對(duì)2021年新高考Ⅰ卷第７小題做進(jìn)一步深入的探討.

【關(guān)鍵詞】高考試題;反思

題目 （2021年新高考Ⅰ卷第７小題）若過(guò)點(diǎn)（a，b）可以作y=ex的兩條切線(xiàn)，則（? ）

（A）ea

（C）0

簡(jiǎn)析 因?yàn)?y′=ex>0在R上恒成立，所以y=ex在R上單調(diào)遞增，且y=ex>0在R上恒成立.

做出函數(shù)y=ex的圖像，可知點(diǎn)Na，b若在x軸下方只能作出y=ex的一條切線(xiàn)，如圖1所示.由于y′>0在R上恒成立，若點(diǎn)（a，b）在x軸上時(shí)，則該點(diǎn)與其中一個(gè)切點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率等于０，這與導(dǎo)函數(shù)y′>0恒成立矛盾，即點(diǎn)（a，b）必須在x軸上方.

若點(diǎn)A1（a，b）在曲線(xiàn)y=ex的上方，此時(shí)切線(xiàn)不存在，如圖2所示；若點(diǎn)A2（a，b）在曲線(xiàn)y=ex上，只有一條切線(xiàn)，如圖3所示；若點(diǎn)A3（a，b）在曲線(xiàn)y=ex的下方，且在x軸上方，此時(shí)有兩條切線(xiàn)，如圖4所示.由數(shù)形結(jié)合可知0

反思 解完題目自然會(huì)產(chǎn)生這樣的問(wèn)題：點(diǎn)在什么位置時(shí)，可以作曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)？在什么位置時(shí)，有兩條切線(xiàn)？在什么位置時(shí)，不能作曲線(xiàn)的切線(xiàn)？下面做一剖析.

簡(jiǎn)析 設(shè)過(guò)點(diǎn)a，b作曲線(xiàn)y=ex的切線(xiàn)L，切點(diǎn)為M（x0，ex0），如圖5所示.則L：y-ex0= ex0（x-x0）

因L過(guò)點(diǎn)（a，b），所以b-ex0= ex0（a-x0）

即（x0-a-1）ex0+b=0? *

所以過(guò)點(diǎn)（a，b）作曲線(xiàn)y=ex的切線(xiàn)條數(shù)即為方程*有幾個(gè)不相等的根，即g（x0）=（x0-a-1）ex0+b的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

g′（x0）=（x0-a）ex0，令g′（x0）=0，則x0=a

當(dāng)x0∈（-∞，a）時(shí)，g′（x0）<0；當(dāng)x0∈（a，+∞）時(shí)，g′（x0）>0

所以gx0在-∞，a上單調(diào)遞減，在a，+∞上單調(diào)遞增

所以當(dāng)x0=a時(shí)，gx0取最小值gx0=b-ex0

（1）當(dāng)b>ea時(shí)，gx0>0，gx0無(wú)零點(diǎn)，不符合題意

（2）當(dāng)b= ea時(shí)，gx0=0，gx0有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意

（3）當(dāng)b

且當(dāng)x0→ -∞時(shí)，gx0→ b；當(dāng)x0→ +∞時(shí)，gx0→ +∞

①=1＼*GB3若b≤0

因?yàn)閤0→ -∞時(shí)，gx0→ b≤0

又gx0在-∞，a上單調(diào)遞減

所以當(dāng)x0∈-∞，a時(shí)，gx0<0，gx0在-∞，a上無(wú)零點(diǎn)

因?yàn)閤0→ +∞時(shí)，gx0→ +∞

又gx0在a，+∞上單調(diào)遞增

所以gx0在a，+∞上有一個(gè)零點(diǎn)

因此 b≤0時(shí)，gx0有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

②=2＼*GB3若b>0

因?yàn)閤0→? -∞時(shí)，gx0→ b>0；

x0=a時(shí)，gx0=b-ea<0；

x0→ +∞時(shí)，gx0→ +∞

且gx0在-∞，a上單調(diào)遞減，在a，+∞上單調(diào)遞增

所以gx0在-∞，a上有一個(gè)零點(diǎn)，在a，+∞上有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)b≤0時(shí)或者當(dāng)b=ea時(shí)，只能作一條切線(xiàn)；當(dāng)0ea時(shí)，不能作曲線(xiàn)的切線(xiàn).

參考文獻(xiàn)：

2021年新高考Ⅰ卷第７小題