利用一元一次方程解行程問題的方法歸納總結

鄔建霞

【摘要】行程問題是初中數(shù)學中的常見問題，其難度差別較大，問題種類多，因為行程問題涉及起點、終點、方向及交通方式等多個條件，任何條件的改變都有可能造成解題方法的不同，而且有些數(shù)量關系復雜且隱蔽，不容易發(fā)現(xiàn)，因此如何靈活地解行程問題是初中數(shù)學的難點之一.本文將常見的行程問題歸納為四種類型，分析介紹其解題方法并分別進行舉例說明，以期望幫助學生對利用一元一次方程解行程問題有更全面的了解.

【關鍵詞】初中數(shù)學；一元一次方程；行程問題

1 直線型追及問題

這里的“直線型”是指非封閉線路.“追及”是指同向運動，有前有后，前者慢，后者快，后者追前者.

等量關系：追及時，快者比慢者多走一個初始路程差.“初始路程差”是指快者出發(fā)時，兩人相距的路程.通常列方程用到的等量關系為快者所走的路程=慢者所走的路程+兩人初始路程差；快者所走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程.

例1 小明和小紅約定一起去操場打羽毛球，兩人都步行從教室出發(fā)，并且沿同一路線走，教室距離操場1800米.小紅先出發(fā)，步行的速度是30米/分，小明比小紅晚出發(fā)10分鐘，比小紅早20分鐘到達圖書館.

（1）求小明步行的速度；

（2）求小紅出發(fā)多長時間后小明追上小紅（要求列方程解答）.

解 （1）1800÷1800÷30－10－20=60，

因此小明的速度為60米/分.

（2）設小紅出發(fā)x分鐘后小明追上小紅，則此時小明出發(fā)x－10分鐘，

根據(jù)題意有30x=60x－10，

解得x=20，

因此小紅出發(fā)20分鐘后小明追上小紅.

2 環(huán)形相遇問題

人在圓、橢圓、多邊形等封閉線路上的運動問題，若是相向而行，則為相遇問題.

同起點、同時間、背向出發(fā)，首次相遇時，兩者合走了1圈.等量關系：從出發(fā)到相遇所用時間=環(huán)形周長/兩者速度和.第n次相遇時，兩者合走了n圈.

不同起點、同時出發(fā)的追及或相遇問題，也有類似的等量關系.但要注意，第一次相遇時多走的或合走的路程不是整圈.

例2 小明和小紅約定一起在足球場跑步，已知小紅的跑步速度為2米/秒，小明的跑步速度為3米/秒，他們沿著400米的環(huán)形跑道從同一處背向出發(fā).6秒后，一只小狗從小紅處以6米/秒的速度向小明跑，遇到小明后，又從小明處以每秒6米的速度向小紅跑，如此往返.請問在小紅和小明第一次相遇時，小狗共跑了多少米？

解 設小明和小紅跑了x秒后第一次相遇，則小狗跑了x－6秒，

根據(jù)題意有2x+3x=400，

解得x=80，

則小狗跑的時間為x－6=80－6=74秒，

所以小狗共跑了6×74=444米.

3 航行問題

航行問題也叫航海問題、流水問題，也包括飛機的飛行問題.船在江河里航行時除了本身的靜進速度外，還受到流水的速度的影響，在這種情況下計算船只的航行速度、時間和所行的路程就是航行問題.

航行問題有以下兩個基本公式：順水速度=船速+水速，即v_順=v_船+v_水；逆水速度=船速-水速，即v_逆=v_船－v_水.將這兩式相加或相減，還可得到v_船=（v_順+v_逆）/2，v_水=（v_順－v_逆）/2.

這里，船速是指船在靜水中的速度，順水速度和逆水速度分別指順流航行時和逆流航行時船的速度（注意單位名稱要統(tǒng)一）.

例3 A、B兩碼頭相距120千米，水速為2千米/時，從A碼頭到B碼頭為順水航行.當甲、乙兩船同時從A、B兩碼頭相向而行，兩船3小時相遇；當甲、乙兩船同時從A碼頭向B碼頭出發(fā)，1小時后，甲船比船多航行20千米.

（1）求甲、乙兩船在靜水中的速度；

（2）當甲、乙兩船分別從A、B兩碼頭同向順流而下，甲船出發(fā)時不慎將一漂浮物掉入水中，當甲船到漂浮物的距離是到乙船距離的2倍時，求甲船從A碼頭出發(fā)行駛了多長時間.

解 （1）設甲船在靜水中的速度是x千米/時，則乙船在靜水中的速度是x－20千米/時.

依題意有3x+2+x－20－2=120，

解得x=30，則x－20=10，

因此甲船在靜水中的速度是30千米/時，乙船在靜水中的速度是10千米/時.

（2）設甲船從A碼頭出發(fā)行駛了y小時，

①如圖1，當甲船未追上乙船時，由“甲船到漂浮物的距離是到乙船距離的2倍”，

可得30y=2（AB+BC－AD），

可列方程為30y=2（120+12y－32y），

解得y=24/7.

②如圖2，當甲船超過乙船時，由“甲船到漂浮物的距離是到乙船距離的2倍”，

可得30y=2（AB+BC－EF），

可列方程為30y=2（120+12y－2y），

解得y=24，

因此甲船從A碼頭出發(fā)行駛了24/7或24小時.

4 火車過橋問題

這是一類車過橋、車過隧道的問題.相關的概念有車長、橋長（隧道長）車速等，問題類似“車完全在橋上（或隧道里）的時間，車從上橋到完全離開橋的時間”等.

火車過橋問題中重要的是弄清相關的“路程”是什么.火車過完橋走的路程是指從車頭上橋開始，到車尾離橋這段時間內火車行駛的路程.而火車完全位于橋上的時間，是指車頭和車尾都在橋上的時間，即從車尾上橋開始，到車頭離橋這段時間.

例4 有一座過江的鐵路橋長1000米，有一列火車從開始上橋到完全過橋共用了60秒，而這輛火車整列車廂完全在橋上的時間為40秒，求火車的速度和長度.

解 設火車的速度為x米/秒，則火車的長度可表示為（60x－1000）米，車長又可以表示為（1000－40x）米，

因此根據(jù)題意有60x－1000=1000－40x，

解得x=20，則60x－1000=200，

所以火車的速度為20米/秒，火車的長度為200米.