例說解決一元一次方程問題的十大對(duì)策

徐初標(biāo)

【摘要】本文通過分析具體的例子來介紹“解決一元一次方程的十大對(duì)策”（下文介紹），目的就是讓學(xué)生在掌握這些思想方法與解題技巧后，可以更深刻地理解和領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，真正把握住數(shù)學(xué)知識(shí)的脈搏，在不知不覺中培養(yǎng)能力，提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】例說 解決 一元一次方程 十大對(duì)策

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）01-0161-02

一元一次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。眾多的報(bào)刊也都介紹過解決一元一次方程問題的方法和技巧，但要使學(xué)生真正能運(yùn)用這些方法和技巧來解決一元二次方程的問題，并非易事，若能找到解決問題的載體，使一些常用的思想方法、解題技巧等能夠進(jìn)一步靈活運(yùn)用，做到“解一題，通一律”，則對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，必然會(huì)有較大的幫助。本文筆者就舉例來說說解決一元一次方程問題的十大對(duì)策，與同行交流。

一、等價(jià)轉(zhuǎn)化，無中生有。

在數(shù)學(xué)解題中，經(jīng)常會(huì)碰到這樣的情形：當(dāng)你無法直接解決一個(gè)問題時(shí)，你就會(huì)想，這個(gè)問題可否等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問題來解決，下面這個(gè)例子就是這種情形。

例1（2014溫州市七年數(shù)學(xué)針對(duì)性訓(xùn)練）當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式與x-2是互為相反數(shù)。

取一個(gè)未知數(shù)x的值，使得與x-2互為相反數(shù)是非常困難的，但是如果把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程+（x-2）=0（或=-（x-2）），那就容易多了，這種問題之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化，在數(shù)學(xué)的解題中，應(yīng)用的頻率也是非常高的。

二、縮小范圍，關(guān)門捉“賊”。

這是浙教版老教材第五章第一節(jié)的一個(gè)例題（例2）：一名射擊運(yùn)動(dòng)員，兩次射擊的成績(jī)都是整數(shù)，平均成績(jī)?yōu)?.5環(huán)，其中第二次成績(jī)?yōu)?環(huán)，問第一次成績(jī)是多少？

當(dāng)然，這個(gè)問題比較簡(jiǎn)單，可以用算術(shù)解，如果用方程來做，可以直接設(shè)第一次射擊的成績(jī)?yōu)閤環(huán)，則得到方程=6.5，要解出x的值，方法較多，由于考慮到實(shí)際問題，在射擊運(yùn)動(dòng)這個(gè)項(xiàng)目中，每次射擊的成績(jī)是整數(shù)環(huán)，且第二次成績(jī)是9環(huán)，所以可先估計(jì)x的范圍：0≤x≤6，且x為整數(shù)，然后取x=0，1，2，3，4，5，6。接著把這些值分別代入方程 =6.5的左邊，求代數(shù)式的值就可以了。（列表求值）

x 0 1 2 3 4 5 6

4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5

由表格可知，x=4是=6.5的解。

由此，我們也可以得出解決一元一次方程的一種不常用的好方法——列表舉例，其本質(zhì)是根據(jù)題意縮小自變量的范圍，起到“關(guān)門捉‘賊”的作用。

三、正難則反，圍“魏”救“趙”。

例3：已知5x+3=8x-2與這兩個(gè)方程的解是互為相反數(shù)，求a的值。

在解數(shù)學(xué)題目時(shí)，有時(shí)正面去解決一個(gè)問題比較困難，這時(shí)我們便可以從它的反面入手，先去解決其他一些問題，最后就可以得到我們所要的結(jié)果，下面是這個(gè)例題就體現(xiàn)了這樣一種策略。

對(duì)于這個(gè)題目，正面去解，將5x+3=8x-6解出x=3，而 可以得到，再由題意可知，，解得a=29。

若先將方程5x+3=8x-6解出x=3，然后再去考慮這兩個(gè)方程的解之間的關(guān)系（互為相反數(shù)），則這個(gè)題就迎刃而解了（只要把x=3代入就到了）。

上面的例子告訴我們：“正難則反，圍‘魏救‘趙”這一種策略值得使用。

四、適時(shí)換元，“金蟬”脫“殼”。

例4：方程26-5（）=8（）的解是x=。（自編題）

這是一道看似比較繁瑣，其實(shí)比較容易的一元一次方程的求解題，若按常規(guī)解法，去掉括號(hào)解方程，不僅計(jì)算量較大，而且所得結(jié)果也不一定正確。但你只要仔細(xì)觀察方程，就可以發(fā)現(xiàn)括號(hào)中系數(shù)雖然較大，但方程中這個(gè)代數(shù)式如果設(shè)為另一個(gè)未知數(shù)y。此時(shí)方程可變?yōu)?6-5y=8y，從而就很容易求出y的值，然后將y的值回代入y=，最終就可以求出x的值。

上面這類題目讓我們明白一個(gè)道理：適時(shí)換元，可如金蟬脫殼般得出結(jié)果。

五、分離變量，隔“岸”觀“火”。

例5：當(dāng)a，b分別為多少時(shí)？方程為一元一次方程。（自編題）

這個(gè)方程在形式上是一元二次方程，要使它是一個(gè)一元一次方程，那我們就應(yīng)該想到一般一元一次方程的一般形式，根據(jù)一元一次方程一般形式，我們就有了兩種思考方法：其一，方程他兩邊對(duì)比系數(shù)可得，當(dāng)a=3，且b≠-1，方程就是一個(gè)一元一次方程。其二，通過移項(xiàng)，將方程中所有的項(xiàng)都放在等號(hào)的左邊：，左邊進(jìn)行變量分離之后得到：，根據(jù)一元一次方程的一般形式，就可以得出而a=3，且b≠-1時(shí)，方程就成為一個(gè)一元一次方程。

上述例子，可以告訴我們：解一元一次方程相關(guān)的一些題目可先通過分離變量，然后進(jìn)行方程左右兩邊分?jǐn)?shù)對(duì)比，很快就得出所要求的答案。

六、消除根源，“釜”底抽“薪”。

例6：解方程（自編題）

在學(xué)習(xí)去分母解一元一次方程時(shí)，同學(xué)們常常會(huì)遇到分母是小數(shù)的方程，這時(shí)許多同學(xué)都會(huì)感到無從下手，也常常因不理解而出錯(cuò)。其實(shí)這個(gè)問題可用多種方法去解決：

方法一：利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將各小數(shù)分母逐步化為整數(shù)，然后去分母。

方程轉(zhuǎn)化為：

方法二：利用等式性質(zhì)2，將各個(gè)分母是小數(shù)的同時(shí)化為分?jǐn)?shù)，然后再去分母。

解方程可轉(zhuǎn)化為：（方程兩邊同時(shí)乘以1/10）

方法三：利用式性質(zhì)2，方程兩邊同時(shí)分別乘以0.3與0.2的一個(gè)合適的倍數(shù)，可接去分母。

即

方法四：利用分?jǐn)?shù)的意義（分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于符號(hào)）改等成帶括號(hào)的形式。

解方程轉(zhuǎn)化為：

即

當(dāng)然，如果學(xué)生自己能想到上述四種方法的幾種，那是自然不過的，反之，要得出上述的這些方法，老師的引導(dǎo)就起著關(guān)鍵性作用，一旦找到了消除分母是小數(shù)的方法后，老師就可以放開手腳，留給學(xué)生自己去解決，應(yīng)該說沒有問題。這就是“消除根源，‘釜底抽‘薪”的解題策略。

七、巧設(shè)方程，“混水”摸“魚”。

每次教應(yīng)用題時(shí)，不僅老師教得非常辛苦，學(xué)生學(xué)得也很頭痛，而且效果也不太理想。

例7：小敏和小強(qiáng)假期到某廠參加社會(huì)實(shí)踐，該廠用白板紙做包裝盒，設(shè)計(jì)每張白板紙做盒身2個(gè)或做盒蓋3個(gè)，且1個(gè)盒身和2個(gè)盒蓋恰好做成一個(gè)包裝盒，為了充分利用材料，要求做成的盒身和盒蓋正好配套，為了不浪費(fèi)的板紙，請(qǐng)你對(duì)該廠購(gòu)白板紙的張數(shù)n提一條合理化的建議。（根據(jù)作業(yè)本改編）

首先，這個(gè)題目比較長(zhǎng)，再則題中涉及的量較多，這樣一來關(guān)系也就比較復(fù)雜了，那么，我們?nèi)绾稳ソ鉀Q呢？讀完題目之后，我們得到的主要信息是：無論盒身，還是盒蓋都是由白板紙做成的，且不浪費(fèi)白板紙，說明這幾張白板紙卻應(yīng)該用完，這n張白板紙中，一部分用來做盒身，剩下的另一部分做盒蓋，并且還知道每張白板紙做盒身2個(gè)或做盒蓋3個(gè)，且1個(gè)盒身和2個(gè)盒蓋做成一個(gè)包裝盒，若知道了這些信息，就不難去設(shè)一個(gè)數(shù)量了（可設(shè)x張白板紙做盒身，（n-x）張白板紙做盒蓋），然而利用1個(gè)盒身和2個(gè)蓋身做一個(gè)包裝這關(guān)系，可列方程：，對(duì)于這條方程，雖然與我們要解決的問題還有一定的距離，但通過一定的變化可得7x=3n，由于考慮到n，x卻是正整數(shù)，我們可以購(gòu)買的白板紙的張數(shù)，只要是7的倍數(shù)就不會(huì)浪費(fèi)。

上述的例子讓我們深有體會(huì)：當(dāng)一個(gè)問題涉及的量大，關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)，我們?nèi)裟芡ㄟ^深刻地分析，然后巧設(shè)一個(gè)方程，再經(jīng)過一定邏輯推理，就可以找到我們所需要的答案。這就是“巧設(shè)方程，‘混水摸‘魚”這一解題策略。

八、整體思想，瞞“天”過“?！薄?/p>

例8：解方程

這個(gè)題目在前面我們已經(jīng)講到過，用的是換元的思想對(duì)解題過程作了一定的分析，現(xiàn)在又用另一種思想去考慮它，觀察這個(gè)方程的特征，方程的左邊與右邊中都有（）這一塊，我們可以把它看成一個(gè)整體，通過移項(xiàng)后進(jìn)行合并，則可得方程。

通過這樣變形真巧，發(fā)現(xiàn)-26被-13整除，所以，即，從而可得。

可見，運(yùn)用整體思想可以悄然地得出這個(gè)方程的解。

九、變更主元，反“客”為“主”。

在有幾個(gè)變?cè)膯栴}中，常常有一個(gè)或（幾個(gè)）變?cè)幱谥饕匚?，我們不妨稱之為主元。由于思維定勢(shì)的影響，人們?cè)诮鉀Q這一類型問題時(shí)，總是緊緊抓住主元不放，一般情況下這是正確的。但有些情況下，如果變更主元，即把某個(gè)處于次要地位的未知數(shù)突現(xiàn)出來，常常能取得出人意料的效果。例如，已知解x的方程（a為整數(shù)）的解為正整數(shù)，求a的值。（例9）（自編題）

我們可以將先變?yōu)橐驗(yàn)榉匠套筮叺扔?，所以a-4不可能為零，則可得，由題意知，x為正整數(shù)，且a為整數(shù)，這就轉(zhuǎn)化為對(duì)a-4進(jìn)行討論，從而可得a-4=1或2或4，最后a=5，6或8.

上述的例子就是一種“變更主元，反客為主”的解題策略。

十、合理選法，“走”為上策。

例10：一標(biāo)志性建筑的底面是正方形，在其四周鋪上花崗石，形成一個(gè)邊寬為3.2米的正方形方框。（如圖），已知鋪這個(gè)框恰好用了144塊，邊長(zhǎng)為0.8米的正方形花崗石（接縫忽略不計(jì)），問標(biāo)志性建筑的底面邊長(zhǎng)是多少米？

這是一道應(yīng)用題，首要問題是老師如何引導(dǎo)學(xué)生讀懂題意，知道題中涉及哪些量和它們的關(guān)系，然后設(shè)元（通過設(shè)底面的邊長(zhǎng)為x米）讓學(xué)生用x的數(shù)式表示出陰影部分的面積。

通過交流，我們可以得到以下幾種方法。

方法一：大正方形的面積減去小正方形的面積

=0.8×0.8×144

方法二：分割成四個(gè)梯形，求和

=0.8×0.8×144

方法三：如圖分割成四個(gè)長(zhǎng)方形，求和

4×3.2×=0.8×0.8×144

方法四：如圖分割成四個(gè)長(zhǎng)方形，求和

=0.8×0.8×144

雖然我們想到這么多的方法是一件不容易的事，但是有時(shí)選擇一種較簡(jiǎn)單的方法更為重要。方法一：=0.8×0.8×144這條方程，對(duì)于七年級(jí)學(xué)生說是沒有能力解的。對(duì)比之下，這四種方法中，方法三最容易理解，因此，課本中也就使用了這種方法來解題。由此可見，有時(shí)解決一個(gè)問題的方法有很多種，但選擇一種合理的方法，才是上策。

以上，我用具體的例子來闡述解決一元一次方程的十大對(duì)策。盡管這些對(duì)策不能解決一元一次方程的全部問題。但是，學(xué)生掌握了這些思考方法和解題技巧后，不僅可以更加深刻地理解和領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，而且也在不知不覺中提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫武.《孫子兵法與三十六計(jì)》萬卷出版公司2008-1-1.

[2]《溫州市初一數(shù)學(xué)針對(duì)性訓(xùn)練》.