最簡分式易錯(cuò)點(diǎn)及避錯(cuò)策略分析

甘肅省平?jīng)鍪嗅轻紖^(qū)廣成學(xué)校

周義武

根據(jù)目前的實(shí)際教學(xué)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在最簡分式這一知識(shí)點(diǎn)上的掌握情況不容樂觀，時(shí)常會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤.所以，筆者認(rèn)為有必要在闡述其相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，對常見錯(cuò)誤類型及其錯(cuò)因進(jìn)行深入分析，并提出相應(yīng)的解決策略.

1 最簡分式相關(guān)概念

當(dāng)分式的分子和分母沒有公因式時(shí)，這樣的分式稱為最簡分式.在化簡分式的過程中，通常要讓結(jié)果成為最簡分式或整式[1].要準(zhǔn)確理解最簡分式的概念，需從以下幾點(diǎn)入手：

第一，分子和分母中沒有公因式，是判斷分式為最簡分式的關(guān)鍵.由此可見，最簡分式的化簡與分式約分中的公因式有關(guān).

第二，分式及分式的運(yùn)算結(jié)果，一定是最簡分式或整式.所以，在運(yùn)算的最后一定要記住化簡[2].

例1下列選項(xiàng)中是最簡分式的是( ).

分析：一個(gè)分式經(jīng)過約分得到的化簡結(jié)果就是最簡分式，所以最簡分式的分子與分母不再存在公因式，即分子分母不能再約分.若分子和分母都為單項(xiàng)式，那么它們可直接約分得到最簡分式，如A選項(xiàng).若分子分母中有多項(xiàng)式的，應(yīng)先因式分解，然后再約分，如B，D選項(xiàng).綜上所述，C選項(xiàng)是最簡分式，因?yàn)閙2+n2≠(m+n)2,所以分子分母沒有公因式.

故選答案：C.

例2將下列各分式化簡：

分析：約分作為獲得最簡分式的直接方法，對學(xué)生牢固掌握最簡分式來說非常關(guān)鍵.約分首先要找準(zhǔn)分子分母的公因式，方法是——系數(shù)取最大公約數(shù)，字母(或式)取分子分母中都出現(xiàn)的，次數(shù)取最低.

2 錯(cuò)題例析

結(jié)合一線實(shí)際教學(xué)情況，學(xué)生在以下幾方面容易出錯(cuò).

2.1 約分不徹底

例3化簡下列分式：

分析：本題的解題過程出現(xiàn)了約分不徹底的情況，是學(xué)生將分式化成最簡分式時(shí)常見的錯(cuò)誤，其根源就在于沒有牢固掌握找公因式的方法.

2.2 公式應(yīng)用錯(cuò)誤

例4化簡下列分式：

=x+4.

分析：將分式化成最簡分式時(shí)，一定要注意公式是否應(yīng)用正確.學(xué)生將(1)中的(m-n)2看成了m2-n2，這也是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤.(2)中既沒有將4-x2根據(jù)平方差公式因式分解，又出現(xiàn)了代數(shù)式的變形處理錯(cuò)誤.

2.3 約分后漏項(xiàng)

分析：像這種字母多、指數(shù)多的約分問題學(xué)生極易出錯(cuò)，因?yàn)樗麄儗Ψ肿臃帜讣s分后各剩下哪些部分不夠清楚，在比較復(fù)雜的情況下極易混淆.

2.4 不先因式分解而直接消去相同的字母

分析：在一些后進(jìn)生當(dāng)中，他們時(shí)常會(huì)將分子分母中相同的字母直接消去，而不因式分解.這種做法是容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的.

=-m-2.

3 避錯(cuò)策略

想要避免以上這些錯(cuò)誤，筆者認(rèn)為除了養(yǎng)成仔細(xì)檢查的習(xí)慣外，還需從以下幾個(gè)方面著手.

其次，鞏固平方差公式和完全平方公式仍非常重要[3].除了理解和掌握“(a+b)(a-b)=a2-b2”，“(a±b)2=a2±2ab+b2”外，還需將其中的a，b轉(zhuǎn)換成多項(xiàng)式進(jìn)行靈活變換，如(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2,[(x+1)±(x-1)]2=(x+1)2±2(x+1)(x-1)+(x-1)2等.如此一來，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感也非常有幫助.在這里，筆者再次提醒a(bǔ)2+b2≠(a+b)2.

再次，針對約分后漏項(xiàng)的錯(cuò)誤，筆者的做法是在訓(xùn)練時(shí)使用不同顏色的筆消去相應(yīng)部分，然后對分子、分母從左到右逐項(xiàng)查找剩下的部分，再核對一遍后才書寫化簡后的結(jié)果.這里的關(guān)鍵步驟是“對分子、分母從左到右逐項(xiàng)查找剩下的部分”，希望教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)中都注意該點(diǎn).

最后，針對不經(jīng)過因式分解而直接消去這種易出錯(cuò)的做法，需要教師耐心講解，一旦這部分學(xué)生解決了這一問題，他們的化簡能力將大大提升.

綜上所述，作為分式中比較基礎(chǔ)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，化簡分式依然存在許多易錯(cuò)點(diǎn).作為一線數(shù)學(xué)教師，首先要善于觀察和收集學(xué)生的錯(cuò)題并進(jìn)行分類和分析，然后探索一些有效的策略幫助學(xué)生避錯(cuò)[4].作為一名初中生，更需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練中養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從上文中提出的四點(diǎn)策略出發(fā)嘗試改變這個(gè)知識(shí)點(diǎn)中存在的錯(cuò)誤.