關于一道多項式定理的注記①

張洪剛

(吉林師范大學博達學院數學系，吉林 四平 136000)

0 引言

文獻[1]中有一道關于兩個多項式最大公因式的存在性定理:“對于P[x]中任意兩個多項式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一個最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一個組合，即有P[x]中多項式 u(x)，v(x)使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).”文獻[1]雖然在邏輯上嚴格的證明了上述定理，但并沒有給出具體的u(x)，v(x)的表達形式.本文將利用矩陣理論給出上述定理證明的另外一種形式.

1 主要結果

定理1[1]對于 P[x]中任意兩個多項式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一個最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一個組合，即有P[x]中多項式 u(x)，v(x)使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).

證 如果f(x)，g(x)有一個為零，例如，g(x)=0，那么f(x)就是一個最大公因式，且f(x)=1·f(x)+1.0.

下面看一般情形.設g(x)≠0，利用帶余除法可得.

若?(r1(x))＜?(g(x))，再由帶余除法可得.

若?(r2(x))＜?(r1(x))，再由帶余除法可得.

如此輾轉相除，顯然所得余式次數不斷降低，即 ?(g(x))＞ ?(r1(x))＞ ?(r2(x))＞ …

因此在有限次之后，必然余式為零，不妨設rn+1(x)=0，此時有

可得f(x)，g(x)的最大公因式與g(x)，r1(x)的最大公因式相同;g(x)，r1(x)的最大公因式與r1(x)，r2(x)的最大公因式相同;…;rn－1(x)，rn(x)的最大公因式與rn(x)，0的最大公因式相同.故可知f(x)，g(x)的最大公因式為rn(x)，即 d(x)=rn(x).[1]

下面來求 P[x]中多項式 u(x)，v(x)，滿足d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)

將(1)，(2)，…，(n)寫成矩陣乘積的形式:

例 求多項式f(x)=x4+2x3－x2－4x－2，g(x)=x4+x3－x2－2x－2的一個最大公因式d(x)，并求多項式 u(x)，v(x)，滿足 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).[1]

解 由帶余除法易得

f(x)=q1(x)g(x)+r1(x)…(1)，其中 q1(x)=1，r1(x)=x3－ 2x

g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x)…(2)，其中q2(x)=x+1，r2(x)=x2－ 2

r1(x)=q3(x)r2(x)+0…(3)，其中 q3(x)=x，r3(x)=0.

由定理1可知f(x)，g(x)的一個最大公因式為 r2(x)，即 d(x)=x2－2.

將(1)，(2)寫成矩陣的形式得

令 u(x)=(－1)2－1x2=－x－1，v(x)=(－1)2y2=x+2即為所求.

[1]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數[M].北京:高等教育出版社，2010:9－14，45.