類(lèi)比法在分式習(xí)題中的應(yīng)用

南京市浦口區(qū)第三中學(xué)

滕宏蓮

在平時(shí)的教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到一些較難的習(xí)題.若直接讓學(xué)生做，學(xué)生往往一籌莫展，毫無(wú)思路；而若是教師單個(gè)逐題講解，雖然學(xué)生當(dāng)時(shí)掌握了，但由于是靠記憶去模仿，缺少了主動(dòng)理解，過(guò)一段時(shí)間會(huì)很容易忘記.難題往往思維邏輯性強(qiáng)，考查的知識(shí)點(diǎn)多.而通過(guò)類(lèi)比來(lái)講解，類(lèi)比知識(shí)間的前后聯(lián)系和區(qū)別，將新學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)化到原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中，找到新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，就能夠使知識(shí)順其自然地呈現(xiàn)出來(lái).這樣不僅可以減少教師的講解，還能增加學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)、主動(dòng)思考，學(xué)生的記憶也會(huì)更加深刻.這樣由被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動(dòng)學(xué)習(xí)，可以大大提高課堂效率，這也是實(shí)現(xiàn)高效課堂的一種途徑.

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，怎樣運(yùn)用對(duì)比和類(lèi)比呢？簡(jiǎn)單地說(shuō)就是對(duì)比兩者的不同，類(lèi)比兩者的相同，通過(guò)歸納，獲得有關(guān)問(wèn)題的結(jié)論或者解決問(wèn)題的方法.類(lèi)比時(shí)要注意兩者的不同，對(duì)比時(shí)要注意兩者的相同.

1 運(yùn)用類(lèi)比法解決分式方程的增根和無(wú)解問(wèn)題

分式方程中的增根問(wèn)題、無(wú)解問(wèn)題、解為正數(shù)(或非負(fù)數(shù)等)都是計(jì)算中的難點(diǎn).如果就題論題，孤立地求解，學(xué)生學(xué)起來(lái)會(huì)非常困難.教師若能夠運(yùn)用對(duì)比和類(lèi)比法，知識(shí)的講授會(huì)更加自然.同時(shí)，能夠減少教師的講解，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠獨(dú)立自主地解決問(wèn)題.

1.1 運(yùn)用類(lèi)比和對(duì)比解決增根問(wèn)題

若直接把這個(gè)題拿出來(lái)讓學(xué)生做，大部分學(xué)生會(huì)無(wú)從入手.例1有兩個(gè)難點(diǎn)，第1個(gè)難點(diǎn)是學(xué)生不知道方程有增根這句話如何用，第2個(gè)難點(diǎn)是因?yàn)橛袃蓚€(gè)未知數(shù)x和a，不知如何解.

針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，教師先讓學(xué)生解一個(gè)有增根的方程.

解：方程兩邊同乘x-2，得1-x=-1-2(x-2)，解得x=2.

把x=2代入x-2中，得x-2=0，所以x=2是分式方程的增根，故方程無(wú)解.

這個(gè)題目是將例1中的a變?yōu)閿?shù)字1，求出x=2是方程的增根，分式方程無(wú)解.通過(guò)這個(gè)題讓學(xué)生感受增根是怎樣產(chǎn)生的.增根是由于解出來(lái)的x使分式方程中的分母為0,使得分式?jīng)]有意義而產(chǎn)生的.

例1解題過(guò)程如下：

解：方程兩邊同乘x-2,得1-x=-a-2(x-2)，解得x=-a+3.

因?yàn)榉匠逃性龈?，且增根為x=2，所以-a+3=2，求得a=1.

1.2 運(yùn)用對(duì)比和類(lèi)比解決無(wú)解問(wèn)題

初中階段學(xué)習(xí)的分式方程皆可轉(zhuǎn)化為一元一次方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程或其他方程的情況不在初中階段的學(xué)習(xí)范圍內(nèi).在此前提下，若分式方程有增根，則分式方程無(wú)解.但反過(guò)來(lái)并不成立，無(wú)解并不意味著分式方程只有增根，增根是無(wú)解的一種情況.但是要讓學(xué)生理解這一點(diǎn)并不容易.教學(xué)時(shí)，若讓學(xué)生將這兩種題型進(jìn)行對(duì)比，從中發(fā)現(xiàn)兩者的不同，無(wú)解與增根問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.

學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題是把無(wú)解等同于有增根.很多習(xí)題也確實(shí)屬于無(wú)解等同于有增根的情況.平時(shí)練習(xí)冊(cè)中的習(xí)題一般是先易后難，比較簡(jiǎn)單的題目中方程無(wú)解就是方程有增根，所以學(xué)生先入為主認(rèn)為方程無(wú)解和方程有增根是同一種情況.當(dāng)遇到不止增根這種情況的習(xí)題時(shí)，出錯(cuò)率自然大大提高.

熟練地掌握無(wú)解不等同于有增根是解題的關(guān)鍵，我們可以類(lèi)比例1解例2，可將例2與例1作對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同，主動(dòng)尋找例2的問(wèn)題所在，從而解決問(wèn)題.

例2的解題過(guò)程如下：

2 運(yùn)用類(lèi)比法解答分式的加減運(yùn)算

我們知道“分式與分式方程”這一章可以類(lèi)比分?jǐn)?shù)來(lái)學(xué)習(xí)，其中分式有意義可以類(lèi)比分?jǐn)?shù)的分母不能為零，分式的基本運(yùn)算可類(lèi)比分?jǐn)?shù)的基本運(yùn)算，等等.但這一章最難莫過(guò)于“分式的加減”中異分母的加減.突破分式異分母的運(yùn)算，還是要類(lèi)比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算.

異分母的計(jì)算最終都要轉(zhuǎn)化為同分母的計(jì)算，找最簡(jiǎn)公分母是解題的關(guān)鍵，也是學(xué)生最容易出錯(cuò)的地方.在平時(shí)教學(xué)中，結(jié)合課本例題以及練習(xí)題，筆者將異分母加減的習(xí)題進(jìn)行了歸類(lèi)，歸為四類(lèi)：一類(lèi)是分母之間無(wú)公因式；二類(lèi)是分母之間為倍數(shù)；三類(lèi)是分母之間不是倍數(shù)關(guān)系，但有公因式；四類(lèi)是整式與分式加減.這四類(lèi)習(xí)題由易到難，學(xué)生更易掌握.下面通過(guò)四個(gè)例題來(lái)講述這四類(lèi)題型.

例4、例5和例6的學(xué)習(xí)同樣都是類(lèi)比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，以問(wèn)題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)主動(dòng)探究，并總結(jié)這類(lèi)題的運(yùn)算方法.

簡(jiǎn)單的一個(gè)分類(lèi)，就能使學(xué)生類(lèi)比分?jǐn)?shù)來(lái)學(xué)習(xí)分式，不僅有利于理解，更是提高了學(xué)生主動(dòng)探究的能力.這些例題層層遞進(jìn)，由易到難，由淺入深，在不經(jīng)意間就解決了異分母的加減這一難點(diǎn).通過(guò)類(lèi)比來(lái)解答問(wèn)題，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)由被動(dòng)接受變?yōu)榱酥鲃?dòng)探究，課堂的效率大大提高.在平時(shí)的教學(xué)中，只要善于發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系與規(guī)律，多一些引導(dǎo)，少一些灌輸，讓學(xué)生真正成為課堂的主人，那么我們的課堂就更加高效.

3 教學(xué)感悟

有關(guān)分式的教學(xué)，教師利用“類(lèi)比”的手段組織教學(xué)活動(dòng)，對(duì)比出新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)度，揭示出知識(shí)間的相同因素和不同因素，為學(xué)好分式有關(guān)概念、性質(zhì)、應(yīng)用做好鋪墊，實(shí)現(xiàn)從具體運(yùn)算到抽象運(yùn)算的升華，可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由分?jǐn)?shù)到分式的遷移，平穩(wěn)過(guò)渡到分式的學(xué)習(xí)中.

波利亞曾說(shuō)過(guò)：“類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人.”通過(guò)類(lèi)比和對(duì)比，可以幫助學(xué)生找到解決問(wèn)題的方法和思路.在遇到難題或者陌生問(wèn)題時(shí)，要善于聯(lián)想和類(lèi)比平時(shí)所學(xué)的知識(shí)和方法，挖掘條件、深度思考、轉(zhuǎn)化結(jié)論，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的最佳途徑，提高學(xué)習(xí)效率.