轉(zhuǎn)化思維探索奧秘

周娟

摘 要：轉(zhuǎn)化是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，也是高效解題的思維方式.將其應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，可促進(jìn)復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、陌生問題熟悉化、抽象問題直觀化等，降低了學(xué)生的解題難度，顯著提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.本文就以此切入，結(jié)合例題，針對(duì)轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的具體應(yīng)用，進(jìn)行了詳細(xì)的探究，具備一定的參考價(jià)值.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；轉(zhuǎn)化思想；解題教學(xué)；應(yīng)用策略

數(shù)學(xué)是初中階段一門重要的基礎(chǔ)性學(xué)科，旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、問題解決能力.同時(shí)，鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，初中數(shù)學(xué)題目靈活多變，學(xué)生在解題時(shí)常常會(huì)遇到一些復(fù)雜陌生的問題，給學(xué)生的解題增加了極大的難度.面對(duì)這一現(xiàn)狀，為了幫助學(xué)生順利完成題目的解答，教師在開展解題教學(xué)時(shí)，應(yīng)適當(dāng)融入轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化、陌生的問題熟悉化、抽象的問題直觀化、實(shí)際問題數(shù)學(xué)化等，以便于學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)快速解答.

1 轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

經(jīng)實(shí)踐證明，當(dāng)面臨復(fù)雜、難以解決的問題時(shí)，合理運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，可充分利用數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，將所求的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從不同的視角進(jìn)行解答.

1.1 換元轉(zhuǎn)化

換元法在初中數(shù)學(xué)解題中尤為常見，就是運(yùn)用單個(gè)變量代替含有多個(gè)變量的方式，屬于最為簡(jiǎn)單、常見的轉(zhuǎn)化思想.在初中數(shù)學(xué)解題中，通過換元轉(zhuǎn)換，可將原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡(jiǎn)單化，幫助學(xué)生迅速理清解題思路，減少運(yùn)算量，極大地提升了學(xué)生的解題效率.

例1 解分式方程2x2+2x2-7x+7x+2=0.

解析：在解答這一題目時(shí)，如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行解答，就會(huì)遇到高次方程，超出了初中生已有的知識(shí)范圍.此時(shí)，即可借助換元轉(zhuǎn)化思想，先將題目進(jìn)行適當(dāng)變形，使其成為2x-1x2+2-7x-1x+2=0，之后通過觀察即可找到需要換元的式子，設(shè)x-1x=t，則原來的方程即可轉(zhuǎn)化為2t2-7t+6=0，隨之解方程得出兩個(gè)解，分別為2、32.當(dāng)t1=2時(shí)，x-1x=2，解方程得出x=1±2.

當(dāng)t2=32時(shí)，x-1x=32，解方程得出x=-12或者x=2.

因此，得出方程共有四個(gè)解，即：x1=1+2、x2=1-2、x3=-12、x4=2［1］.

例2 解關(guān)于x的一元四次方程：x4+ax3+bx2-ax+1=0.

解析：這一方程中，最高次為4，題目超出了初中生已有的知識(shí)范圍.在面對(duì)這一類問題時(shí)，首要問題就是降次.通過仔細(xì)觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)本題目具備對(duì)稱的特點(diǎn)，因?yàn)閤=0并非是方程的解，即可將原方程轉(zhuǎn)化為x2+ax+b-ax+1x2=0.

對(duì)其變形之后，就可找到換元的部分，即：x-1x=t，那么原方程就變?yōu)閠2+at+b+2=0，Δ=a2-4b-8.

當(dāng)Δ＞0時(shí)，對(duì)換元之后的方程進(jìn)行求解，得出t1=-a+a2-4b-82、t2=-a-a2-4b-82，之后將其代回x-1x=t中，得出原來方程的解為：x1、2=t1±t21+42、x3、4=t2±t22+42.

當(dāng)Δ=0時(shí)，解方程得出t1，2=-a2，將其代回x-1x=t中，得出原來方程的解為：x1、3=-a+a2+164、x2、4=-a-a2+164.

當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無解.

由此可見，在一些難度系數(shù)比較高的解方程題目中，有的題目甚至已經(jīng)超出了學(xué)生已學(xué)知識(shí)的范圍，只要借助換元轉(zhuǎn)化的方法，即可將原本復(fù)雜的問題進(jìn)行簡(jiǎn)單化，使得學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解答［2］.

1.2 等式轉(zhuǎn)化

在初中數(shù)學(xué)解題中，等式轉(zhuǎn)化也比較常見，常用于不等式的計(jì)算中.通過這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，可將繁雜的不等式進(jìn)行簡(jiǎn)化，降低問題的難度，使得學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)迅速解答該題目.具體來說，在等式轉(zhuǎn)化思想中，最為常用的有配方法、移項(xiàng)法等，學(xué)生在具體解題時(shí)，可結(jié)合實(shí)際情況，有針對(duì)性的選擇.

例3 x的值同時(shí)滿足不等式6x-2≥3x-4和x4-1＜2-x2，求x的整數(shù)值為多少？

解析：這一題目形式比較復(fù)雜，旨在引導(dǎo)學(xué)生借助復(fù)雜的計(jì)算，將不等式的解集求出來.鑒于此，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題時(shí)，就可結(jié)合題目觀察，結(jié)合其對(duì)稱性、傳遞性，確定出具體的轉(zhuǎn)化思路.結(jié)合已知條件，可將其整理形成一個(gè)一元一次不等式組6x-2≥3x-4①

x4-1＜2-x2②；之后，再結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，可將原來的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為2x-23≥x-43③

x-4＜8-2x④；對(duì)第二次變化之后的不等式組求解，解不等式③得出x≥-23；解不等式④得出x＜4，因此該不等式組的解集為-23≤x＜4；最后，結(jié)合題目的要求，要想同時(shí)滿足6x-2≥3x-4和x4-1＜2-x2的x整數(shù)值，即可得出最終答案x=0、1、2、3.

例4 已知a是方程x2+x-1=0的根，則代數(shù)式a3+2a2+2018的值是多少？

解析：很多學(xué)生在看到這一題目時(shí)，常常沒有任何頭緒，不知道如何進(jìn)行求解.事實(shí)上，這一問題非常簡(jiǎn)單，只要學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化方法，對(duì)題目中所給的已知條件進(jìn)行變形即可.對(duì)已知條件進(jìn)行觀察分析，發(fā)現(xiàn)只要采用合理配湊的方法，就可在已知條件和所求問題之間構(gòu)造起來關(guān)系.即：因?yàn)閍2+a-1=0，所以a2+a=1；又因?yàn)閍3+2a2+2018=a3+a2+a2+2018=a（a2+a）+a2+2018，所以將a2+a=1代入到原式中，得出：a3+2a2+2018=a（a2+a）+a2+2018=a+a2+2018=1+2018=2019.

可見，在本題目解答中，正是借助了轉(zhuǎn)化思想，降低了問題的難度，進(jìn)而使得學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)完成其求解［3］.

1.3 變更轉(zhuǎn)化

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，學(xué)生解題的時(shí)候，無需禁錮在某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，可打開思維，立足于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生借助變更轉(zhuǎn)化的思想，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為另一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而完成題目的解答.

例5 方程-x2+2ax+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，在方程-x2+2ax+a-2=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根之間，求a、b之間的數(shù)學(xué)關(guān)系？

解析：按照傳統(tǒng)的解題思路，需要將兩個(gè)方程的根分別求出來，然后再結(jié)合題目給出的條件進(jìn)行對(duì)比，確定出a、b之間的關(guān)系.但是這一方法比較復(fù)雜，需要進(jìn)行大量的計(jì)算，并且稍不留神就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.鑒于此，就可借助轉(zhuǎn)化思想，為學(xué)生提供新的解題思路，即：立足于方程與函數(shù)的關(guān)系，將題目中的兩個(gè)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為兩個(gè)二次函數(shù)：y1=-x2+2ax+b、y2=-x2+2ax+a-2.

之后，結(jié)合二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，即可簡(jiǎn)單地判斷出兩個(gè)函數(shù)圖象的開口均向下，且具備同一條對(duì)稱軸.同時(shí)，結(jié)合算理可明確函數(shù)y1=-x2+2ax+b的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b+a2），函數(shù)y2=-x2+2ax+a-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a2+a-2）.最后，結(jié)合題目中所給出的已知條件，即可精準(zhǔn)判斷出a、b之間的數(shù)學(xué)關(guān)系為-a2＜b＜a-2.可見，在初中數(shù)學(xué)解題中，可充分結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，將某一個(gè)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行變更轉(zhuǎn)化，運(yùn)用另一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答，旨在降低解題難度，提升解題準(zhǔn)確率.

1.4 數(shù)形轉(zhuǎn)化

在初中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形轉(zhuǎn)化尤為常見.鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，數(shù)和形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的兩大部分，數(shù)和形既對(duì)立又統(tǒng)一，在絕對(duì)值、函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學(xué)問題中尤為常見.因此，在開展解題教學(xué)時(shí)，就必須要結(jié)合實(shí)際情況，實(shí)施滲透數(shù)形轉(zhuǎn)化思想，使得在數(shù)形轉(zhuǎn)化中找到解題的突破口.

例6 如圖1所示，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A、B、C，如果函數(shù)y=kx在第一象限內(nèi)的圖象和△ABC存在交點(diǎn)，那么k的取值范圍是多少？

解析：這一題目難度系數(shù)相對(duì)比較高，如果學(xué)生按照常規(guī)的思路進(jìn)行解答，很快就發(fā)現(xiàn)超出了初中生的知識(shí)范圍，很難求解.此時(shí)，即可借助數(shù)形轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合題目中已知條件，以及圖象輔助，找到解題的思路.在函數(shù)y=kx中，因?yàn)槠鋵儆诜幢壤瘮?shù)，當(dāng)k＞0時(shí)，k值越大，距離y就會(huì)越遠(yuǎn)；當(dāng)函數(shù)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，為k左邊的臨界，右邊臨界則要滿足和直線BC相切.由此即可找到解題的關(guān)鍵.將點(diǎn)A（1，2）代入到反比例函數(shù)y=kx中，得出k=2，此時(shí)，結(jié)合B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出直線BC的解析式y(tǒng)=-x+7.因?yàn)閥=kx與△ABC在第一象限內(nèi)存在交點(diǎn)，即y=-x+7與y=kx至少存在一個(gè)解.之后，聯(lián)立得出x2-7x+k=0，要想使其至少存在一個(gè)交點(diǎn)，則Δ≥0，最終得出k≤494，因此k的取值范圍是2≤k≤494.由此可見，針對(duì)一些難度系數(shù)比較大的問題，尤其是當(dāng)問題中帶有結(jié)合圖象性質(zhì)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，就可融入數(shù)形轉(zhuǎn)化思想，將原本復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形，進(jìn)而發(fā)揮圖形的輔助價(jià)值，順利完成該題目的解答［4］.

1.5 模型轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)模型是對(duì)數(shù)學(xué)事物、數(shù)學(xué)問題的特征進(jìn)行抽象概括的一種工程模型.同時(shí)，模型轉(zhuǎn)化也是一種常見的轉(zhuǎn)化思想，在幾何解題中比較常見.尤其是當(dāng)學(xué)生在解題時(shí)，遇到了不常見的幾何模型時(shí)，就可利用模型轉(zhuǎn)化這一思想，降低問題的難度，以便于學(xué)生快速找到問題的解決方法.

例7 如圖2所示，在一個(gè)圓柱形水杯中，在杯內(nèi)壁B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁與B 相對(duì)的A處，螞蟻要想從A處爬向B處，如何爬行距離最短？

解析：在這一幾何問題中，要想求出螞蟻爬行的最短距離，學(xué)生首先想到的是將AB兩點(diǎn)連接起來.但是在本題中卻是行不通的.因?yàn)樵搱D形為一個(gè)圓柱，必須要將其展開成為一個(gè)平面圖形，再將AB連接起來.此時(shí)，就可借助模型轉(zhuǎn)化的方法，將圓柱展開成長(zhǎng)方形，并將A、B兩點(diǎn)確定出來（如圖3所示）.

如此，通過模型轉(zhuǎn)化之后，上述的題目就變成：在定直線l上尋找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使得PA+PB最小？針對(duì)這一問題解答，就可連接AB兩點(diǎn)，并與直線l相交于Q點(diǎn).在△PAB中，因?yàn)镻A+PB≥AB（當(dāng)且當(dāng)PQ重合）.如此一來，通過轉(zhuǎn)化，即可運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，順利解答.可見，當(dāng)學(xué)生在面臨抽象的幾何問題時(shí)，就可借助模型轉(zhuǎn)化思想，將原本復(fù)雜的模型轉(zhuǎn)化為更加直觀、簡(jiǎn)單的模型，最大限度降低問題的難度.

2 基于數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化解題思想的教學(xué)研究

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，轉(zhuǎn)化思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種常用的解題工具.同時(shí)，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想也是一種數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練方式，可促使學(xué)生在數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化中形成極強(qiáng)的邏輯思維能力，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).鑒于此，作為一名初中數(shù)學(xué)教師，唯有轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)理念和模式，重視數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化教學(xué)，并將其滲透到日常教學(xué)中.

首先，為學(xué)生營造問題轉(zhuǎn)化的學(xué)習(xí)環(huán)境.新課程改革的背景下，要想真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，教師在開展解題教學(xué)時(shí)，就不能局限于傳統(tǒng)的解題教學(xué)模式，拒絕“就題論題”的解題教學(xué)模式，而是引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究問題的本質(zhì)規(guī)律.而要達(dá)到這一目標(biāo)，初中數(shù)學(xué)教師在開展解題教學(xué)時(shí)，就必須要尊重學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，不僅僅要立足于初中生已有的知識(shí)掌握情況、認(rèn)知思維發(fā)展能力，還應(yīng)為學(xué)生提供一個(gè)更加開放的學(xué)習(xí)環(huán)境，以便于學(xué)生更好地思考題目、探究題目，最終在探究的過程中，梳理思路、領(lǐng)悟內(nèi)涵，切實(shí)掌握數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的相關(guān)路徑和方法.

其次，關(guān)注學(xué)生解題時(shí)的思維過程.在以往的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師的教學(xué)重點(diǎn)，常常集中在解題結(jié)果上，僅僅是給出問題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，解答出正確答案即可.很少關(guān)注學(xué)生在解題過程中的思維情況.在這種解題教學(xué)模式下，學(xué)生的解題基本上都是“死搬硬套”的，一旦題目有所變動(dòng)，學(xué)生就面臨著無法解答的困境.面對(duì)這一現(xiàn)狀，在優(yōu)化數(shù)學(xué)解題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思維時(shí)，就必須要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)過分關(guān)注解題結(jié)果的現(xiàn)象，而是關(guān)注學(xué)生的解題過程，在解題中給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間和空間，并通過適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使其在針對(duì)性的訓(xùn)練中，形成系統(tǒng)化的知識(shí)體系，靈敏的數(shù)學(xué)思維，能靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解答實(shí)際問題.

再次，引導(dǎo)學(xué)生掌握問題探索的方法.在數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化解題中，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)提出了更高的要求.學(xué)生需要用到正向、逆向、發(fā)散等各種思維方法.其中，正向思維是從已知條件出發(fā)，直接推導(dǎo)結(jié)論，屬于一種常規(guī)性的思維；逆向思維則是從問題著手進(jìn)行思考；發(fā)散性思維則是從題目中的某一個(gè)已知條件出發(fā)，開展多角度延伸，將當(dāng)前的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為新的問題.鑒于此，教師在日常教學(xué)中，應(yīng)全面加強(qiáng)學(xué)生探索方法的訓(xùn)練，使其在日常解題中，逐漸掌握多種思考方法和技能，以便于在解題時(shí)靈活應(yīng)用.

最后，提升教師自身的指導(dǎo)能力.教師在解題教學(xué)中，常常扮演著十分重要的角色，教師自身的專業(yè)素養(yǎng)、教學(xué)指導(dǎo)能力直接決定了解題教學(xué)的效果.鑒于此，要想真正提升初中生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化解題能力，教師必須要具備極強(qiáng)的專業(yè)素養(yǎng)，能夠?qū)⑥D(zhuǎn)化解題教學(xué)滲透到日常教學(xué)中，使得學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中領(lǐng)悟其內(nèi)涵.同時(shí)，教師還應(yīng)具備突出的教學(xué)能力，能夠結(jié)合轉(zhuǎn)化解題教學(xué)的內(nèi)涵，靈活組織課堂教學(xué)，使得學(xué)生在多樣化的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中，逐漸掌握這一技能［5］.

3 結(jié)束語

綜上所述，鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，解題教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成，不僅僅體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況，也是數(shù)學(xué)思維、知識(shí)應(yīng)用能力的集中反應(yīng)，直接體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，學(xué)生在解題中常常面臨諸多困難，致使其解題頻頻受阻.面對(duì)這一現(xiàn)狀，就可融入轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生在換元轉(zhuǎn)化、數(shù)形轉(zhuǎn)化、等式轉(zhuǎn)化、變更轉(zhuǎn)化、模型轉(zhuǎn)化中，促進(jìn)復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題直觀化，以便于學(xué)生在轉(zhuǎn)化中，打開解題思路，順利找到解題的“突破口”.

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