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    蘇教版與人教A版高中數(shù)學(xué)教材平面向量章節(jié)的比較與思考

    2023-04-14 18:18:22朱曉祥
    數(shù)學(xué)之友 2023年24期

    朱曉祥

    摘 要:本文對(duì)照課標(biāo)要求,通過對(duì)蘇教版和人教A版高中數(shù)學(xué)教材中平面向量?jī)?nèi)容的章節(jié)地位、章節(jié)內(nèi)容設(shè)置、知識(shí)處理方式等的比較,提出概念引入情境化、運(yùn)算體系幾何化、知識(shí)應(yīng)用體系化等教學(xué)思考.

    關(guān)鍵詞:蘇教版;人教A版;平面向量;章節(jié)比較

    1 問題的提出

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下文簡(jiǎn)稱《課標(biāo)2017》)提出:向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景.向量同時(shí)具有代數(shù)、幾何特征,為代數(shù)與幾何的研究架起了一座溝通的橋梁.向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題的基礎(chǔ),在解決實(shí)際問題中發(fā)揮著重要作用[1].為了進(jìn)一步探究向量究竟是一個(gè)怎樣的數(shù)學(xué)對(duì)象和基本工具,進(jìn)而引導(dǎo)課堂教學(xué),筆者對(duì)蘇教版和人教A版高中數(shù)學(xué)教材中平面向量章節(jié)進(jìn)行了比較,特別是對(duì)向量與幾何、代數(shù)和三角函數(shù)之間的互通進(jìn)行比較,探尋教材中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落點(diǎn),并基于結(jié)果得到相應(yīng)的啟示.

    2 兩個(gè)版本章節(jié)特點(diǎn)的比較

    2.1 章節(jié)地位

    《課標(biāo)2017》明確指出,高中數(shù)學(xué)課程以“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”“概率與統(tǒng)計(jì)”及“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與探究活動(dòng)”四條主線設(shè)計(jì)并開展教學(xué).其中,“幾何與代數(shù)”這一主線的開篇是有關(guān)平面向量的內(nèi)容.蘇教版教材“平面向量”在必修二第9章,安排在第10章“三角恒等變換”、第11章“解三角形”、第12章“復(fù)數(shù)”之前.人教A版教材“平面向量”(含解三角形)在必修第二冊(cè)第6章,安排在第5章“三角函數(shù)”(含三角恒等變換)之后,第7章“復(fù)數(shù)”之前.教材這樣編排,是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了高中階段大部分代數(shù)知識(shí)之后,實(shí)現(xiàn)幾何、代數(shù)和三角函數(shù)間的互通,同時(shí),對(duì)后面學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)、空間向量和平面解析幾何內(nèi)容起了鋪墊作用.

    兩本教材的相同之處是都重點(diǎn)突出了向量在連結(jié)代數(shù)和幾何中不可替代的作用.兩本教材的不同之處是“三角恒等變換”與“平面向量”兩部分內(nèi)容順序相反.蘇教版?zhèn)戎叵蛄抗ぞ咴谘芯俊叭呛愕茸儞Q”中的應(yīng)用,而人教A版教材則側(cè)重對(duì)三角函數(shù)整體知識(shí)體系的建構(gòu).

    2.2 章節(jié)內(nèi)容設(shè)置

    2.2.1 知識(shí)涵蓋范圍

    兩本教材在知識(shí)涵蓋范圍上有一個(gè)差異,人教A版教材在“6.4平面向量的應(yīng)用”部分增加了“正弦定理”和“余弦定理”兩節(jié)內(nèi)容;蘇教版則是在本章和三角恒等變換之后獨(dú)立成章.人教A版從“方法和功能”的角度,側(cè)重平面向量在平面幾何,特別是三角形中的應(yīng)用;蘇教版從“知識(shí)和素養(yǎng)”的角度,突出了單元整體教學(xué).教師在使用蘇教版教材教學(xué)過程中,可以針對(duì)性地設(shè)計(jì)主題教學(xué)和單元整體教學(xué),持續(xù)性、階段性地滲透核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

    再者,在2004年出版的蘇教版教材中,并沒有對(duì)投影向量進(jìn)行介紹,只是在課后閱讀材料部分介紹了“向量b在向量a方向上的投影”這一概念.而兩本教材在平面向量的數(shù)量積這一節(jié)內(nèi)容中,都對(duì)“投影向量”進(jìn)行了介紹,并從代數(shù)與幾何兩個(gè)角度進(jìn)行了闡述,為學(xué)生進(jìn)一步理解向量數(shù)量積的幾何意義提供了思考方向,也為解析幾何的教與學(xué)作了鋪設(shè).教師在教學(xué)過程中要充分發(fā)揮教材功能,不僅要加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)系與綜合,從向量的角度研究幾何圖形及其關(guān)系,也要加強(qiáng)學(xué)科之間的聯(lián)系,用向量的思維解決物理等跨學(xué)科問題,從而使學(xué)生從教材走向生活,發(fā)展相應(yīng)的關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng).

    2.2.2 知識(shí)設(shè)置順序

    從章節(jié)具體內(nèi)容和編排順序來(lái)看,蘇教版教材中“向量平行的坐標(biāo)表示”緊跟“平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示”,而人教A版教材則將該內(nèi)容放在“平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示”之前.筆者認(rèn)為,蘇教版教材突出的是“方法”主線,強(qiáng)調(diào)向量的工具屬性在處理垂直與平行這兩個(gè)特殊幾何位置關(guān)系中的作用;人教A版突出的是“知識(shí)”主線,側(cè)重對(duì)向量共線定理的幾種不同的解讀.相對(duì)于各自的舊版本,兩本教材都做了一處同樣的調(diào)整:新教材將向量的運(yùn)算集中安排,再將向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行整體研習(xí),不同于以往將向量的運(yùn)算與向量的數(shù)量積分開編排.教師在教學(xué)過程中,可利用學(xué)生認(rèn)知層次與結(jié)構(gòu)特征,體現(xiàn)概念的整體與層次的關(guān)系,開發(fā)學(xué)生整合、遷移與發(fā)展新知的能力.

    2.3 知識(shí)處理方式

    2.3.1 概念引入

    數(shù)學(xué)概念的引入要講背景[2].從表1可以看出,兩本教材的引入都側(cè)重了向量的物理背景.通過對(duì)力、位移、速度等物理量進(jìn)行抽象,引入了向量的概念.通過對(duì)比還可以發(fā)現(xiàn),兩本教材在向量的概念這一節(jié)都配了大量的插圖(均為8個(gè)),在體悟幾何直觀的同時(shí)深刻理解代數(shù)運(yùn)算的科學(xué)性,辨析形與數(shù)的內(nèi)在關(guān)聯(lián),同時(shí)為全章借助物理背景,從幾何、代數(shù)兩個(gè)角度展開向量?jī)?nèi)容的研究做出鋪墊,形成了貫穿全章的兩條主線.這樣的設(shè)置有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

    2.3.2 例題

    從表2可以看出,兩本教材都側(cè)重以幾何圖形為背景的例題,同時(shí)涵蓋一定數(shù)量的物理背景類例題.可見,兩本教材在例題的設(shè)置方面注重貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)中與現(xiàn)實(shí)生活和相關(guān)學(xué)科聯(lián)系的思想,注重在研究幾何圖形位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系中的向量方法,注重在表達(dá)問題、解決問題時(shí)的向量思維,注重在觀察世界時(shí)的向量意識(shí),感悟向量的工具屬性.

    從整個(gè)單元體系來(lái)看,在例題設(shè)置過程中,也遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和單元邏輯.具體如圖1所示.

    3 幾點(diǎn)思考

    3.1 概念引入“情境化”,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)

    數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)通常是在綜合化、復(fù)雜化的情境中,通過個(gè)體與情境的有效互動(dòng)而生成.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展需要在教學(xué)活動(dòng)中利用創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情況、運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式,引導(dǎo)生成符合學(xué)情的數(shù)學(xué)思維來(lái)落實(shí).由表1可以發(fā)現(xiàn),兩本教材在概念建構(gòu)的過程中,均以符合學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的案例為引,創(chuàng)設(shè)豐富的情境,遵循“具體到抽象”或“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思維,從大量的實(shí)際背景中抽象出概念.

    以蘇教版教材為例.在“向量的概念”一節(jié)中,教材給出如下情境引入:

    把木塊放置在光滑的斜面上,根據(jù)物理學(xué)知識(shí)知道,斜面上的木塊受到兩個(gè)力的影響:重力G與斜面的支持力N.重力的方向指向地心,支持力的方向與斜面垂直.木塊在重力與支持力的合力作用下,會(huì)沿斜面向下運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)的加速度為正,下滑的速度越來(lái)越快.木塊滑動(dòng)后就會(huì)產(chǎn)生位置的變化,物理上用“位移”來(lái)刻畫這種變化.力、速度、加速度、位移這些量有什么共同特征?

    在“向量運(yùn)算”一節(jié)中,教材給出一個(gè)相同的情境:

    把木塊放置在光滑的斜面上,重力G與斜面的支持力N的合力是一個(gè)沿斜面向下的力,因而,木塊向下滑動(dòng).如果斜面不光滑,斜面就對(duì)木塊產(chǎn)生摩擦力f.這時(shí),木塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就取決于G,N,f的合力.

    從運(yùn)算角度看,求幾個(gè)力的合力就可以看作是對(duì)幾個(gè)向量實(shí)施某種運(yùn)算的結(jié)果.換句話說,向量與實(shí)數(shù)一樣也能進(jìn)行運(yùn)算.那么,向量如何進(jìn)行運(yùn)算呢?

    通過研究還可以發(fā)現(xiàn),在“平面向量基本定理”“向量的數(shù)量積”等概念的引入時(shí)存在著豐富的物理背景.因此,教師在教學(xué)中可以將物理情境作為重要的科學(xué)情境貫穿向量教學(xué)始終,并不斷深化數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

    3.2 運(yùn)算體系“幾何化”,培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)

    直觀想象具體來(lái)說就是借助幾何直觀和空間想象,感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).其本質(zhì)是將相對(duì)復(fù)雜、抽象的問題“圖形化”.向量的運(yùn)算教學(xué)時(shí),教師在授課過程中要注重從形和數(shù)兩個(gè)方面來(lái)構(gòu)建向量的運(yùn)算體系,特別要注意借助形的角度處理向量的運(yùn)算,體現(xiàn)運(yùn)算的“合理性”,逐步培養(yǎng)學(xué)生把“有向線段”作為運(yùn)算基本元的意識(shí).比如:向量線性運(yùn)算教學(xué)時(shí),教師既要講運(yùn)算法則和運(yùn)算律的代數(shù)表示,也要強(qiáng)化其幾何意義,但其最終結(jié)果仍然是向量,讓學(xué)生從中得到啟發(fā)并給出定義,培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的素養(yǎng).

    以人教A版教材為例,教材P37出現(xiàn)了這樣一道習(xí)題:

    設(shè)Ox,Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸,e1,e2分別是與x軸、y軸正方向方向相同的單位向量.若向量OP=xe1+ye2,則把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量OP在坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo).設(shè)OP=3e1+2e2.

    (1) 計(jì)算|OP|的大?。?/p>

    (2) 根據(jù)平面向量基本定理判斷,本題中對(duì)向量坐標(biāo)的規(guī)定是否合理.

    教師在講評(píng)時(shí)要注意讓學(xué)生體會(huì)這樣兩點(diǎn):一是向量的坐標(biāo)表示起源于幾何;二是向量幾何雖然可以在直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算,但它并不依賴于直角坐標(biāo)系,不選用規(guī)范化的“基底”,同樣可以以基向量作為“基本元”進(jìn)行運(yùn)算.

    3.3 知識(shí)應(yīng)用“體系化”,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)

    邏輯推理是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證和數(shù)學(xué)交流活動(dòng)的基本思維品質(zhì).在學(xué)習(xí)向量之后,要有意識(shí)地將其與三角恒等變換、平面解析幾何、復(fù)數(shù)等內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)聯(lián)系,體悟向量在處理三角、幾何、代數(shù)等各種不同數(shù)學(xué)分支問題中的橋梁作用.在梳理主線與板塊知識(shí)內(nèi)在邏輯關(guān)系基礎(chǔ)上,整體把握并重構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu),避免數(shù)學(xué)內(nèi)容的“碎片化”,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)知的“整體性”和“體系化”,提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

    兩本教科書在編寫習(xí)題以及后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí),都充分注意了這一點(diǎn).以人教A版教材為例,P37出現(xiàn)了這樣兩道習(xí)題:

    1. 求證:以A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)矩形.

    2. 用向量方法證明:對(duì)于任意的a,b,c,d∈R,恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).

    兩道習(xí)題都意在突出向量的應(yīng)用價(jià)值.因此人教A版教材把余弦定理和正弦定理放在本節(jié)中,在探索三角形邊長(zhǎng)與角度之間的關(guān)系時(shí)突出向量運(yùn)算及創(chuàng)新思維,彰顯向量應(yīng)用價(jià)值.

    縱觀整個(gè)章節(jié)體系,數(shù)學(xué)研究方法由幾何直觀法和演繹法,轉(zhuǎn)變?yōu)榕c代數(shù)相聯(lián)系的坐標(biāo)法和向量法,這與幾何學(xué)的發(fā)展相一致.為后續(xù)解析幾何問題的解決提供了方向與支點(diǎn).

    以人教A版中“直線和圓的方程”為例,教材充分發(fā)揮了平面向量及其方法在研究幾何圖形性質(zhì)方面的作用.例如:傾斜角的概念創(chuàng)新性地以直線的方向向量引入;過兩點(diǎn)的直線斜率公式推導(dǎo)借助向量方法以及由具體到抽象、由特殊到一般的思維形式構(gòu)建直線傾斜角的正切值、直線斜率k及其方向向量(1,k)或(x,y)其中k=yx之間的關(guān)系;在“探究與發(fā)現(xiàn)‘方向向量與直線的參數(shù)方程”中,教科書通過直線的方向向量,建立了直線的參數(shù)方程,明確參數(shù)方程中參數(shù)的意義.

    對(duì)比教材并思考不同版本教材對(duì)核心知識(shí)的編排順序、習(xí)得情境、例習(xí)題選擇以及閱讀材料的選取,結(jié)合課改要求與課標(biāo)理念挖掘編寫組意圖,將有利于一線教師在課堂教學(xué)中更好地落實(shí)培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo).

    參考文獻(xiàn):

    [1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[M].北京:人民教育出版社,2020.

    [2] 章建躍.利用幾何圖形建立直觀通過代數(shù)運(yùn)算刻畫規(guī)律[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2020(12):4-13.

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