“三角形”關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)的教學(xué)實(shí)施

胡鵬程 張弘

摘 要：本文以單元教學(xué)的視角，將初中階段三角形的教學(xué)分為三角形的再認(rèn)識(shí)、圖形間的數(shù)量關(guān)系、特殊三角形三個(gè)子單元.根據(jù)教學(xué)的邏輯關(guān)系，確定出三角形每個(gè)子單元的關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)，并進(jìn)一步給出教學(xué)建議，通過整體把握、連貫教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生形成三角形的良好認(rèn)知結(jié)構(gòu).

關(guān)鍵詞：三角形；關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)；單元教學(xué)

三角形是一種基本的幾何圖形，是最簡(jiǎn)單的封閉的直線型圖形.學(xué)生經(jīng)歷三角形的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，不僅可以形成研究平面幾何圖形的基本思路，還可以有效地促進(jìn)其推理能力和幾何直觀的發(fā)展.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要價(jià)值的核心教學(xué)內(nèi)容稱為初中數(shù)學(xué)關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)［1］.本文，從單元教學(xué)的角度出發(fā)，闡述“三角形”中的關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)的確定與實(shí)施策略.

1 三角形概述

首先，初中階段，學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)順序?yàn)榛編缀螆D形（線與角），直線型圖形（三角形和四邊形），曲線型圖形（圓）；其次，對(duì)一個(gè)幾何圖形的研究，一般包括定義、性質(zhì)、判定三個(gè)方面，并按照先一般再特殊的形式逐漸推進(jìn).從圖形結(jié)構(gòu)上看，三角形是后續(xù)認(rèn)識(shí)四邊形和圓的基礎(chǔ)，特別是在研究直線型圖形時(shí)，往往都通過割或補(bǔ)，將其轉(zhuǎn)化為三角形的問題予以解決；從幾何學(xué)習(xí)的角度看，對(duì)三角形研究的問題和研究的方法為四邊形和圓的學(xué)習(xí)提供了思路.兩個(gè)平面圖形之間的關(guān)系是指位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，在數(shù)量關(guān)系方面，初中階段正是通過全等三角形和相似三角形的學(xué)習(xí)來說明對(duì)于兩個(gè)平面圖形的數(shù)量關(guān)系研究什么、如何研究；在位置關(guān)系方面，三角形是研究圖形的平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的重要載體.

三角形的學(xué)習(xí)在發(fā)展學(xué)生的推理能力和幾何直觀方面有著積極意義.平行線的學(xué)習(xí)只要求簡(jiǎn)單說理，是發(fā)展推理能力的起點(diǎn)；從三角形開始，平面幾何的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)通過分析條件與結(jié)論之間的關(guān)系來完成推理論證.因此，三角形是發(fā)展推理能力的重要階段.幾何直觀需要更多的圖形性質(zhì)與邏輯推理的支持［2］，三角形豐富的圖形性質(zhì)，以及學(xué)習(xí)過程中所涉及的大量的邏輯推理成為發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要載體.

2 “三角形”的關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)的確定

2.1 教學(xué)分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱義教課標(biāo)）在“圖形的性質(zhì)”和“圖形的變化”兩個(gè)主題中對(duì)三角形提出了21點(diǎn)內(nèi)容要求，人教版初中數(shù)學(xué)教材（以下簡(jiǎn)稱教材）又將這些內(nèi)容要求具體分解到《三角形》《全等三角形》《軸對(duì)稱》《勾股定理》《相似》和《銳角三角函數(shù)》等章中.三角形在研究?jī)?nèi)容上有三角形自身固有的性質(zhì)和圖形間的數(shù)量關(guān)系兩個(gè)方向，基于數(shù)學(xué)內(nèi)容邏輯關(guān)系的視角，可將“三角形”劃分為三角形的再認(rèn)識(shí)、圖形間的數(shù)量關(guān)系、特殊三角形三個(gè)子單元.

“三角形的再認(rèn)識(shí)”子單元對(duì)應(yīng)《三角形》和《銳角三角函數(shù)》的教學(xué)，“再認(rèn)識(shí)”具體表現(xiàn)在學(xué)習(xí)內(nèi)容和認(rèn)識(shí)程度兩個(gè)維度.作為小學(xué)學(xué)習(xí)的順延，《三角形》研究了三角形三邊之間的關(guān)系和三角之間的關(guān)系，《銳角三角函數(shù)》研究三角形邊、角之間的關(guān)系，這些學(xué)習(xí)內(nèi)容是小學(xué)階段所沒有的.學(xué)生在小學(xué)階段通過識(shí)別圖形（淡化特征）、概括關(guān)鍵特征的形式初步認(rèn)識(shí)三角形，并通過對(duì)圖形的動(dòng)手操作感知“三角形的內(nèi)角和是180°”和“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，這都屬于感性的認(rèn)識(shí)；初中階段則明顯上升到理性層面，學(xué)生從下定義、表示、分類三個(gè)方面理解三角形的概念，并按照先組成要素（邊和角），再相關(guān)要素（中線、高線、角平分線、外角）的順序系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)三角形，還對(duì)“三角形的內(nèi)角和是180°”提出了證明的要求.

“圖形間的數(shù)量關(guān)系”子單元的教學(xué)通過《全等三角形》和《相似》來完成.初中階段重點(diǎn)研究?jī)蓚€(gè)平面圖形間的數(shù)量關(guān)系是全等和相似.首先，三角形是最基本的幾何圖形；其次，全等是特殊的相似.因此，初中階段以三角形為例研究全等，讓學(xué)生經(jīng)歷全等三角形的研究，并類比全等的學(xué)習(xí)研究?jī)蓚€(gè)圖形的相似，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)兩個(gè)圖形之間的數(shù)量關(guān)系的理解.

“特殊三角形”子單元涉及《軸對(duì)稱》和《勾股定理》兩章.教材對(duì)幾何的編排，按照先一般再特殊的形式，等腰三角形和直角三角形是兩種特殊的三角形，它們除了具有一般三角形的所有性質(zhì)外，還有很多特殊的性質(zhì).從對(duì)稱的角度研究等腰三角形可以直觀地、方便地得到等腰三角形的諸多性質(zhì)，因此教材將等腰三角形的學(xué)習(xí)安排在《軸對(duì)稱》一章中；將《勾股定理》作為單獨(dú)一個(gè)章節(jié)，能凸顯勾股定理在直角三角形的諸多性質(zhì)中的核心地位.

2.2 確定關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)

基于以上教學(xué)分析，筆者確定“三角形”的5個(gè)關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)，如下表.

3 “三角形”的關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)的教學(xué)建議

3.1 教學(xué)策略

3.1.1 幫助學(xué)生從實(shí)驗(yàn)幾何向論證幾何過渡

雖然學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)由實(shí)驗(yàn)操作獲得了“三角形的內(nèi)角和是180°”，但該獲得只是一種感知，并非由推理論證得到.因此，義教課標(biāo)提出在初中階段“探索并證明三角形內(nèi)角和定理”的要求.由以往教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)看，學(xué)生往往把在小學(xué)階段獲得的感知當(dāng)作“基本事實(shí)”，既沒有意識(shí)到需要證明，也不知道該如何證明.“三角形內(nèi)角和定理（第1課時(shí)）”應(yīng)把教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)證明的必要性和添加輔助線的意義，以幫助學(xué)生從實(shí)驗(yàn)幾何向論證幾何有序地過渡.

3.1.2 引導(dǎo)學(xué)生形成研究思路

《三角形》一章中已經(jīng)分別研究了三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系和三角之間的數(shù)量關(guān)系，那么三角形邊、角之間是否存在數(shù)量關(guān)系？如果存在，該如何刻畫這種關(guān)系？“銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)）”的教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)這種研究思路；《三角形》《軸對(duì)稱》《勾股定理》看似不相關(guān)的三個(gè)章節(jié)之間其實(shí)存在一條線索，那就是從一般三角形到特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的研究思路，因此，在教“等腰三角形（第1、2課時(shí)）”和“勾股定理（第1課時(shí)）”時(shí)應(yīng)點(diǎn)明這條思路，而等腰三角形也是學(xué)生第一次經(jīng)歷圖形特殊化的研究，這種經(jīng)歷在后續(xù)的矩形、菱形、正方形不斷重復(fù)，并形成經(jīng)驗(yàn)；“三角形全等的判定（第1課時(shí)）”強(qiáng)調(diào)從整體到局部的研究思路，第1課時(shí)給出判定三角形全等的整體的研究思路，后續(xù)課時(shí)則對(duì)猜想命題逐一操作驗(yàn)證.

3.1.3 引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程不僅要掌握知識(shí)，更要感悟其中蘊(yùn)涵的思想方法.勾股定理被認(rèn)為是平面幾何甚至數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，不僅僅因?yàn)樗从沉酥苯侨切稳呏g的數(shù)量關(guān)系，更重要的是，它搭建了數(shù)與形之間的一座橋梁，定理的證明以及應(yīng)用中都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想.因此，“勾股定理（第1課時(shí)）”這節(jié)課的教學(xué)應(yīng)特別關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟.

3.2 具體實(shí)施

3.2.1 三角形的內(nèi)角（第1課時(shí)）

本節(jié)課可以設(shè)計(jì)成回顧、生疑、解惑三個(gè)環(huán)節(jié).回顧，即回顧小學(xué)剪拼三角形紙片的過程；生疑，是對(duì)操作的嚴(yán)謹(jǐn)性產(chǎn)生質(zhì)疑，形成認(rèn)知沖突；解惑，就是證明定理，也是整節(jié)課的重頭戲.這三個(gè)環(huán)節(jié)是關(guān)聯(lián)的并且是層層遞進(jìn)的.回顧環(huán)節(jié)有兩個(gè)抽象，一是把三角形紙片抽象成數(shù)學(xué)圖形，二是從三個(gè)角拼成平角的過程中抽象出證明所需的輔助線.生疑環(huán)節(jié)具有承上啟下作用，先提出問題：“通過度量或剪拼所得到的結(jié)論可靠嗎？能說明任意三角形的內(nèi)角和都是180°嗎？”在質(zhì)疑的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出解惑的需求.解惑環(huán)節(jié)，教師要關(guān)注示范和引導(dǎo)，示范如何根據(jù)命題畫示意圖，并寫出已知和求證，示范用數(shù)學(xué)符號(hào)語言進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)；引導(dǎo)學(xué)生從剪拼過程中抽象出證明方法，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)抽象出的證法深入思考，得到多樣性的，乃至一般化的證法.通過三個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體會(huì)證明的必要性、思考如何證明，可以有效地幫助學(xué)生從實(shí)驗(yàn)幾何向論證幾何過渡，并在此過程中，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的邏輯性與嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展學(xué)生的推理能力［2］.

3.2.2 銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)）

要想突破本課時(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)，需要解決兩個(gè)問題：為什么要研究三角形邊和角之間的關(guān)系？怎么研究三角形邊和角之間的關(guān)系？

理清知識(shí)的邏輯關(guān)系，就不難理解研究三角形邊和角之間的關(guān)系的原因.教學(xué)時(shí)，教師可以先對(duì)知識(shí)進(jìn)行如下梳理：“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.”指明了任意三角形三邊之間的關(guān)系（定性關(guān)系），“勾股定理”則進(jìn)一步指出直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系（定量關(guān)系），“三角形內(nèi)角和定理”反映了三角形三角之間的數(shù)量關(guān)系.此時(shí)再提出：“三角形的邊和角之間是否也存在數(shù)量關(guān)系？”便水到渠成了.

怎么研究三角形邊和角之間的關(guān)系呢？不妨按以下步驟實(shí)施教學(xué)：

（1） 讓學(xué)生回憶在之前的學(xué)習(xí)中是否遇到過涉及三角形邊和角的關(guān)系的問題？如果有，畫出示意圖，并說明.

學(xué)生不難想到直角三角形中熟悉的結(jié)論：在一個(gè)Rt△ABC中，∠C=90°，當(dāng)∠A=30°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比值是12；當(dāng)∠A=45°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比值是22.

（2） 讓學(xué)生對(duì)上述結(jié)論做一般化的猜想.

這是一個(gè)難點(diǎn)，需要先從上述結(jié)論中抽象出“∠A確定時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比值是定值”，再得到一般化的猜想：在一個(gè)Rt△ABC中，∠C=90°，當(dāng)∠A是任意銳角時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比值都是定值.

3.2.3 三角形全等的判定（第1課時(shí)）

本課時(shí)的關(guān)鍵之處有兩個(gè)：一是形成判定三角形全等條件的整體的探究思路，二是提煉出學(xué)習(xí)判定定理的一致性的路徑.實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生獲得以下結(jié)論：（1） 利用定義當(dāng)然可以判定兩個(gè)三角形全等，但三條邊對(duì)應(yīng)相等，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的條件太強(qiáng)了，可以弱化；（2） 弱化條件，也就是在“三條邊對(duì)應(yīng)相等，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”中選擇部分條件，簡(jiǎn)捷地判定兩個(gè)三角形全等；（3） 列出圖1所示的探究思路；（4） 根據(jù)探究思路寫出所有的猜想命題；（5） 可以用舉反例的方法判定假命題，通過畫圖操作，驗(yàn)證真命題，并形成每個(gè)判定定理的探究路徑（如圖2）.

3.2.4 等腰三角形（第1課時(shí)）

在一般三角形的基礎(chǔ)上用特殊化的視角分析、研究，得到“等邊對(duì)等角”和“三線合一”是“等腰三角形（第1課時(shí)）”的關(guān)鍵所在.

教學(xué)“等腰三角形（第1課時(shí)）”時(shí)，不妨提出以下幾個(gè)活動(dòng)任務(wù)，讓學(xué)生開展項(xiàng)目化學(xué)習(xí)：

任務(wù)1：從一個(gè)一般三角形的紙片中，通過只剪一次的操作，得到一個(gè)等腰三角形.

驅(qū)動(dòng)性問題：

（1） 你有幾種操作方法？如何判斷你所得到的三角形是等腰三角形？

（2） 你認(rèn)為在“剪”的過程中，影響結(jié)果的關(guān)鍵步驟是什么？

任務(wù)2：探究等腰三角形的性質(zhì).

驅(qū)動(dòng)性問題：

（1） 對(duì)于“等腰三角形的性質(zhì)”，具體要研究什么？你認(rèn)為以往幾何圖形性質(zhì)的探究過程中的哪些經(jīng)驗(yàn)可以借鑒？

（2） 等腰三角形的組成要素和相關(guān)要素有哪些？

驅(qū)動(dòng)性問題：

在“剪”的過程中，等腰三角形的哪些元素重合？從數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)角度，你能得到關(guān)于等腰三角形性質(zhì)的哪些猜想？

若條件允許，可以鼓勵(lì)學(xué)生從圖形的特殊化出發(fā)，進(jìn)一步研究等邊三角形、直角三角形等幾何圖形的性質(zhì).

任務(wù)：對(duì)等腰三角形進(jìn)一步特殊化.

驅(qū)動(dòng)性問題：

（1） 你可以從哪些方面將等腰三角形進(jìn)一步特殊化？

（2） 如果要研究特殊化后的等腰三角形的性質(zhì)，你打算如何研究？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)研究方案.

3.2.5 勾股定理（第1課時(shí)）

滲透數(shù)學(xué)思想方法是勾股定理教學(xué)的一個(gè)重要價(jià)值，具體教學(xué)實(shí)施如下：

（1） 在推導(dǎo)定理的環(huán)節(jié)，先從等腰直角三角形入手，讓學(xué)生觀察、分析三邊平方之間的數(shù)量關(guān)系，然后提出問題：其他的直角三角形是否也有同樣的結(jié)論？指引學(xué)生猜想任意直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，滲透特殊與一般的思想.

（2） 在練習(xí)鞏固的環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)以下練習(xí)：設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c.① 若a=5，b=12，求c；② 若a=1，c=2，求b；③ 若b=15，c=25，求a.完成練習(xí)后，啟發(fā)學(xué)生從方程思想的角度分析：a2+b2=c2提供了a，b，c三個(gè)量之間的一個(gè)等量關(guān)系，進(jìn)而抽象出“知2可求1”的結(jié)論.

（3） 在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從內(nèi)容和證明方法兩個(gè)方面感悟勾股定理中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：從內(nèi)容看，勾股定理建立直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系；從證明方法看，通過圖形的拼接、組合，利用圖形面積的等價(jià)關(guān)系證明定理，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的有機(jī)結(jié)合.

4 結(jié)語

義教課標(biāo)要求“注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化”.關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)是一個(gè)章節(jié)、甚至是一個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中“結(jié)點(diǎn)”位置的課，抓住關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)也就抓住知識(shí)的聯(lián)系點(diǎn)、能力的提升點(diǎn)、素養(yǎng)的發(fā)展點(diǎn)，因此可以認(rèn)為實(shí)施關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)正是對(duì)教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的一種理解.整體視角下的“三角形”的教學(xué)，不僅有利于教師宏觀地理解數(shù)學(xué)、把握教材，也有助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).學(xué)生在“三角形”中所習(xí)得的研究幾何圖形的基本問題和方法有助于他們學(xué)習(xí)后續(xù)四邊形、圓等不同幾何圖形時(shí)產(chǎn)生正遷移.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 張弘，胡鵬程.素養(yǎng)觀下初中數(shù)學(xué)關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)的教學(xué)范式與思考［J］.福建教育，2023（15）：49-51.

［2］ 史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.