初中數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)用題解題策略

鄒麗琴

摘 要：函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力、抽象思維能力都提出了更高的要求.應(yīng)用題是函數(shù)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，學(xué)生需要從實(shí)際問(wèn)題中抽象出具體的函數(shù)問(wèn)題，并運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和技能進(jìn)行求解.本論文就以此切入，分析了當(dāng)前初中生在解答函數(shù)應(yīng)用題時(shí)面臨的諸多障礙，接著結(jié)合具體的應(yīng)用題，針對(duì)函數(shù)應(yīng)用題的解題方式進(jìn)行了詳細(xì)的探究，并據(jù)此調(diào)整課堂教學(xué)方案，循序漸進(jìn)提升初中生的函數(shù)應(yīng)用題解題能力.

關(guān)鍵詞：初中函數(shù)；應(yīng)用題；解題策略；課堂教學(xué)

在最新的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，確定了函數(shù)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系進(jìn)行刻畫(huà)的重要數(shù)學(xué)模型，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、變化規(guī)律的探究，掌握運(yùn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的方法，并從中感悟函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值.同時(shí)，鑒于函數(shù)的內(nèi)涵，學(xué)生在對(duì)函數(shù)探究的過(guò)程中，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維能力的全面發(fā)展.在函數(shù)學(xué)習(xí)中，應(yīng)用題是其重要組成，不僅涉及知識(shí)面廣，且與學(xué)生的實(shí)際生活密切相關(guān)，對(duì)初中生的基礎(chǔ)知識(shí)、思維能力均提出了更高的要求.鑒于此，全面加強(qiáng)函數(shù)應(yīng)用題教學(xué)已成為一線教師關(guān)注的重點(diǎn).

1 初中函數(shù)應(yīng)用題解題要求與現(xiàn)狀分析

1.1 初中函數(shù)應(yīng)用題解題要求

鑒于初中函數(shù)應(yīng)用題的內(nèi)涵，對(duì)初中生的解題提出了更高的要求：

首先，具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí).學(xué)生解答函數(shù)應(yīng)用題目之前，必須要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，能夠?qū)⑵浯?lián)成為系統(tǒng)化的知識(shí)體系.明確一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的基本概念、性質(zhì)、函數(shù)圖象等.只有做到這一點(diǎn)，學(xué)生在解答函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，才能靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)，從不同的角度進(jìn)行切入，形成不同的解題思路.

其次，應(yīng)具備極強(qiáng)的審題能力.鑒于函數(shù)應(yīng)用題的內(nèi)涵，學(xué)生在解題之前，必須要具備極強(qiáng)的審題能力，認(rèn)真厘清題目中的已知條件，分析其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，最終從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中將函數(shù)關(guān)系抽象出來(lái)，進(jìn)而運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行解答.

1.2 初中生函數(shù)應(yīng)用題解答障礙

結(jié)合調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)前初中生函數(shù)應(yīng)用題解題能力低下，暴露出諸多問(wèn)題：

第一、審題能力低下，在題目閱讀理解中面臨諸多障礙.審題是解題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵，直接決定了后續(xù)的函數(shù)應(yīng)用題目解答.在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生在審題時(shí)，都存在不夠仔細(xì)、不夠全面的問(wèn)題，甚至在讀題目時(shí)一發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的線索，就慌忙進(jìn)入到解題中；還有部分學(xué)生在審題時(shí)，還存在思路混亂、不夠清晰的現(xiàn)象，甚至難以在審題時(shí)發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，無(wú)法運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解答題目.

第二、粗心大意，對(duì)應(yīng)用題目加工、處理不夠嚴(yán)謹(jǐn).鑒于函數(shù)應(yīng)用題的內(nèi)涵，在解答題目時(shí)，學(xué)生必須要從現(xiàn)實(shí)中將數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象出來(lái)，以便于學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行靈活解答.但學(xué)生在實(shí)際解題中，部分學(xué)生常常因?yàn)榇中拇笠?，?duì)題目加工、處理比較淺顯，致使其在解題時(shí)常常出現(xiàn)化簡(jiǎn)錯(cuò)誤、解答錯(cuò)誤、自變量取值范圍錯(cuò)誤等，嚴(yán)重制約了初中生的函數(shù)應(yīng)用題解答能力.

2 初中數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)用題常見(jiàn)解題方法探究

2.1 基于待定系數(shù)解答題目

待定系數(shù)法在初中函數(shù)應(yīng)用題解答中尤為常見(jiàn).通常，當(dāng)函數(shù)應(yīng)用題目在題設(shè)中明確了兩個(gè)變量值存在二次函數(shù)關(guān)系，以及具體存在的幾對(duì)變量值，并在此基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行解答.此時(shí)，即可靈活運(yùn)用待定系數(shù)法進(jìn)行解答.

例1 超市中某種商品的進(jìn)價(jià)為20元.經(jīng)調(diào)查顯示，該商品每天的銷(xiāo)售量為ω臺(tái)，每天銷(xiāo)售單價(jià)是x元，已知ω滿(mǎn)足ω=-2x+80，假設(shè)該商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元.

求：（1） x、y之間的函數(shù)關(guān)系式？

（2） 該商品銷(xiāo)售單價(jià)是多少時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)會(huì)達(dá)到多少？

（3） 在保證銷(xiāo)售量的基礎(chǔ)上，如果超市要想從該商品中獲得150元的利潤(rùn)，則商品的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)確定為多少元？

解析：這是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，極具實(shí)際意義.學(xué)生在解答這一問(wèn)題時(shí)，不僅要認(rèn)真審題，理清其中的數(shù)量關(guān)系，還應(yīng)靈活利用待定系數(shù)的方式，完成題目的求解：

（1） 結(jié)合該商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)、每天銷(xiāo)售的數(shù)量，即可得出x、y之間的函數(shù)關(guān)系式：y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600.

（2） 在這一問(wèn)題解答中，應(yīng)以上一問(wèn)題為基礎(chǔ)，結(jié)合所求出的二次函數(shù)以及函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出其最大利潤(rùn)值與銷(xiāo)售的單價(jià).因?yàn)閥=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出，當(dāng)x=30時(shí)，y最大=200.

（3） 在求這一問(wèn)題時(shí)，即可運(yùn)用待定系數(shù)法，將y=150代入函數(shù)中，則有-2（x-30）2+200=150，求出對(duì)應(yīng)的x值，x1=25，x2=35，又因?yàn)殇N(xiāo)量ω=-2x+80，因此當(dāng)x=25時(shí)，不僅可以達(dá)到最大的銷(xiāo)量，還可以保證每日的銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到150元.

2.2 基于數(shù)量關(guān)系解答題目

函數(shù)應(yīng)用題目與學(xué)生的實(shí)際生活緊密相連，常常置于實(shí)際生活情境中.鑒于此，在解決這一類(lèi)函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，必須要認(rèn)真分析題目?jī)?nèi)容，分析其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，并基于此形成本題的解答思路.

例2 在建設(shè)“五個(gè)重慶”的項(xiàng)目中，為了給當(dāng)?shù)氐木用駱?gòu)建一個(gè)宜居的環(huán)境，規(guī)劃修建了一個(gè)文化廣場(chǎng)（如圖1所示）.該廣場(chǎng)以ABCD作為矩形，分別以四條邊為直徑，向外做半圓.假設(shè)整個(gè)廣場(chǎng)的周長(zhǎng)為628m，假設(shè)矩形的邊長(zhǎng)AB為ym，BC為xm.

（1） 運(yùn)用含有x的表達(dá)式將函數(shù)y表示出來(lái).

（2） 根據(jù)計(jì)劃，在ABCD矩形內(nèi)，種植花草鋪設(shè)鵝卵石，每平方米的造價(jià)為428元.在四個(gè)半圓之內(nèi)種植花草鋪設(shè)花崗巖，每平方米的造價(jià)為400元.

① 假設(shè)工程費(fèi)為W元，求關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？

② 假設(shè)投入1000萬(wàn)元的成本，是否能夠達(dá)到預(yù)期的建設(shè)目標(biāo)？若可以請(qǐng)列出設(shè)計(jì)方案，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：這一題目就以實(shí)際問(wèn)題作為背景，理清題目中的數(shù)量關(guān)系，是解答這一問(wèn)題的關(guān)鍵.針對(duì)（1）來(lái)說(shuō)，可利用分割的方式，將本題目的圖形進(jìn)行拼湊，之后運(yùn)用圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式即可解答，即：根據(jù)題干中的已知條件得知：πy+πx=628，即：3.14y+3.14x=628，又因?yàn)閤+y=200，所以y=200-x.

針對(duì)第（2）個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，可結(jié)合圖形的特點(diǎn)，求出其鋪設(shè)的面積，即可獲得該工程的總造價(jià).即：

W=428xy+400πy22+400πx22

=428x（200-x）+400×3.14×（200-x）24+400× 3.14×x24

=200x2-40000x+12560000.

之后，即可運(yùn)用配方法求出最小值，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，即：將W=200（x-100）2+1.056×107＞107，因此假設(shè)不成立，投入1000萬(wàn)元的成本，無(wú)法達(dá)到預(yù)期的建設(shè)目標(biāo).

2.3 構(gòu)建模型解答題目

在解答函數(shù)應(yīng)用題目時(shí)，可立足于數(shù)學(xué)模型的角度，運(yùn)用函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以此打開(kāi)解題的突破口.這一方式在日常解題中尤為常見(jiàn)，同時(shí)也對(duì)學(xué)生提出了更高的要求.

例3 如圖2所示，已知拋物線m：y=ax2+b（a＜0，b＞0），與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且A在B的左側(cè)，與y軸相交于C點(diǎn).將該拋物線繞著B(niǎo)旋轉(zhuǎn)180°，即可獲得一個(gè)新的拋物線n，C1為頂點(diǎn)，并與x軸相交的另一點(diǎn)為A1.

求：（1） 當(dāng)a=-1，b=1時(shí)，寫(xiě)出拋物線n的解析式.

（2） 四邊形AC1A1C屬于哪一類(lèi)的四邊形？判斷并說(shuō)明理由.

（3） 假設(shè)四邊形AC1A1C為矩形，求解a、b滿(mǎn)足條件的關(guān)系式？

解析：本題目極具綜合性，對(duì)平行四邊形性質(zhì)、矩形性質(zhì)，以及函數(shù)知識(shí)進(jìn)行了考察.在解答這一問(wèn)題時(shí)，即可借助構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的思想，結(jié)合題目中的已知條件、相關(guān)圖形，據(jù)此利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行解答.

針對(duì)第（1）問(wèn)來(lái)說(shuō)，根據(jù)題干中的已知條件，先將a=-1，b=1代入，把拋物線m的解析式求出來(lái)，即：y=-x2+1，令x=0，則有y=1.

因?yàn)镃點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），令y=0，則有x=±1.

又因?yàn)镃1點(diǎn)和C點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，因此拋物線n的解析式為y=（x-2）2-1=x2-4x+3.

在解答第（2）問(wèn)時(shí)，可從AA1、CC1分別關(guān)于B點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，因此即可得出AB=BA1，BC=BC1，因此四邊形AC1A1C屬于平行四邊形.

在解答第（3）問(wèn)時(shí)，可依據(jù)矩形的性質(zhì)，要想保證四邊形AC1A1C是矩形，則應(yīng)滿(mǎn)足條件AB=BC，由此即可形成本題的解題思路：

令x=0，則y=b，因此C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，b），

令y=0，即可得出ax2+b=0，所以x=±-ba.

即A點(diǎn)的坐標(biāo)為--ba，0，B點(diǎn)的坐標(biāo)為-ba，0.

因此AB=2-ba，BC=OC2+OB2=b2-ba.

要想使得四邊形AC1A1C是矩形，則必須要滿(mǎn)足AB=BC.

即：2-ba=b2-ba，經(jīng)化簡(jiǎn)得知4-ba=b2-ba，即ab=-3.

因此，要想得四邊形AC1A1C是矩形，則應(yīng)滿(mǎn)足ab=-3.

2.4 基于分段處理解答問(wèn)題

在函數(shù)應(yīng)用題目中，常常會(huì)遇到一些特殊的題目，這些題目中所有的條件都是分段給出的，在針對(duì)這一類(lèi)型的應(yīng)用題目進(jìn)行解答時(shí)，重點(diǎn)是確定出分段的臨界點(diǎn)，借助分段的形式，分別確定函數(shù)關(guān)系式，并借助“逐段求解、再取最值”的思路進(jìn)行求解.

例4 某商品進(jìn)行了為期30天的預(yù)售.已知該商品進(jìn)貨的價(jià)格為20元，經(jīng)過(guò)預(yù)售之后發(fā)現(xiàn)，每天的銷(xiāo)售量m和銷(xiāo)售時(shí)間x之間存在函數(shù)關(guān)系：m=-2x+80，x∈［1，30］，x為整數(shù).在前20天之內(nèi)，每一件商品的銷(xiāo)售價(jià)格n和銷(xiāo)售時(shí)間x之間的關(guān)系為n=x2+30，x∈［1，20］，x為整數(shù).在之后的10天以?xún)?nèi)，每件商品的銷(xiāo)售價(jià)格k和銷(xiāo)售時(shí)間x之間的關(guān)系為k=45，x∈［21，30］，且x為整數(shù).

求：（1） 該商品每天銷(xiāo)售利潤(rùn)l和銷(xiāo)售時(shí)間x之間的關(guān)系式是什么？

（2） 在預(yù)售期內(nèi)，哪一天的利潤(rùn)最大？且最大利潤(rùn)為多少？

解析：在本題目中，即可結(jié)合題目中所給出的已知條件，融入“分段處理”的思想，在各個(gè)定義域內(nèi)，求出不同的函數(shù)解析式，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象和性質(zhì)進(jìn)行針對(duì)性的解答.

在對(duì)第（1）問(wèn)進(jìn)行解答時(shí)，按照這一思路，結(jié)合x(chóng)的定義域，得出不同定義域中的函數(shù)解析式，即：當(dāng)x∈［1，20］時(shí)，每天銷(xiāo)售利潤(rùn)l和x之間的解析式為：l1=（-2x+80）x2+30-20=-x2+20x+800，x為整數(shù)；當(dāng)x∈［21，30］時(shí)，每天銷(xiāo)售利潤(rùn)l和x之間的解析式為：l2=（-2x+80）（45-20）=-50x+2000，

因此，綜上所述，每天銷(xiāo)售利潤(rùn)l和銷(xiāo)售時(shí)間x之間的關(guān)系式是：

l=-x2+20x+800（x∈［1，20］，且x為整數(shù)）

-50x+2000（x∈［21，30］，且x為整數(shù)）.

在解答第（2）問(wèn)題時(shí)，必須要結(jié)合分段函數(shù)，結(jié)合不同函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求解最值并展開(kāi)對(duì)比，最終得出最佳的答案.

當(dāng)x∈［1，20］時(shí)，x為整數(shù)，l1=-x2+20x+800，由于該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=10，且10在定義域之內(nèi)，此時(shí)存在最大值，即：l最大=l（10）=900.

當(dāng)x∈［21，30］時(shí)，x為整數(shù)，l2=-50x+2000，由于該函數(shù)屬于單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)x=21時(shí)，該函數(shù)存在最大值，即：l最大=l（21）=950.

綜上，當(dāng)x=21時(shí)，每天銷(xiāo)售利潤(rùn)l存在最大值，為950元.

3 基于函數(shù)應(yīng)用題解題教學(xué)啟示

鑒于函數(shù)應(yīng)用題解題的要求，以及不同的解題方法與思路，初中數(shù)學(xué)教師唯有據(jù)此調(diào)整課堂教學(xué)方案，借助針對(duì)性的函數(shù)教學(xué)，全面提升初中生的函數(shù)應(yīng)用題解題能力.

首先，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué).初中函數(shù)應(yīng)用題目復(fù)雜多樣，學(xué)生在解題時(shí)常常出現(xiàn)混淆的現(xiàn)象.鑒于此，要想真正提升初中生的函數(shù)應(yīng)用題目解題能力，學(xué)生唯有掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，才能奠定堅(jiān)實(shí)的解題基礎(chǔ).鑒于此，在日常教學(xué)中，不僅要重視基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，還應(yīng)幫助學(xué)生對(duì)其進(jìn)行梳理，必要時(shí)可借助思維導(dǎo)圖這一工具，將函數(shù)知識(shí)整合到一起，使其形成系統(tǒng)化的知識(shí)體系，以便于學(xué)生形成清晰地知識(shí)架構(gòu).

其次，強(qiáng)化學(xué)生的審題能力.審題是解答函數(shù)應(yīng)用題目的關(guān)鍵.尤其是針對(duì)函數(shù)應(yīng)用題目來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言十分精練，并且極具抽象性，具備豐富的內(nèi)涵.鑒于此，在日常解題教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生的審題教學(xué)，如：引導(dǎo)學(xué)生在閱讀中掌握主要概念，在審題中借助畫(huà)圖的方式明確題目的數(shù)量關(guān)系，在審題中通過(guò)頭腦進(jìn)行轉(zhuǎn)換等.如此，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間訓(xùn)練之后，學(xué)生的審題能力也隨之提升.

最后，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.在解答函數(shù)應(yīng)用題目中，學(xué)生的思維至關(guān)重要.鑒于學(xué)生在解答函數(shù)應(yīng)用題目中所需要的數(shù)學(xué)思想等，教師在日常教學(xué)中，應(yīng)著重強(qiáng)化學(xué)生的解題思路，使其總結(jié)各種思想方法，最終在針對(duì)性的思維訓(xùn)練中，逐漸形成一定的解題能力.

4 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，函數(shù)應(yīng)用題在初中數(shù)學(xué)中尤為重要，也是考試的熱點(diǎn)和重難點(diǎn).鑒于此，初中數(shù)學(xué)教師不僅要重視函數(shù)應(yīng)用題教學(xué)，還應(yīng)立足于學(xué)生在解答題目時(shí)面臨的障礙，結(jié)合不同類(lèi)型的函數(shù)應(yīng)用題，采用不同的解題方法，使得學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中逐漸掌握基本的解題思路和技巧，循序漸進(jìn)提升自身的數(shù)學(xué)解題能力.

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