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    質(zhì)數(shù)、積數(shù)及“哥德巴赫猜想”

    2022-11-03 12:47:02
    數(shù)理化解題研究 2022年30期
    關鍵詞:質(zhì)因數(shù)數(shù)集哥德巴赫猜想

    馮 浚

    (甘肅省蘭州市稅務局 730070)

    在數(shù)學領域,對數(shù)的基礎研究始終都沒有停止.對于質(zhì)數(shù),目前尚無較為簡明的類似偶數(shù),奇數(shù)的數(shù)學表達式.鑒于此,可以從數(shù)最初的狀態(tài)入手,發(fā)現(xiàn)新的特性.

    1 質(zhì)數(shù)、積數(shù)

    1.1 定義

    1.1.1 質(zhì)數(shù)的定義:正整數(shù)中,只能被1和自己整除的數(shù)為質(zhì)數(shù).

    為了便于研究,用q表示質(zhì)數(shù).

    故,在正整數(shù)中,按由小到大順序排列的質(zhì)數(shù)是:1,2,3,5,7,11,…,對應表示為:q1,q2,q3,q4,q5,q6,….

    1.1.2 積數(shù)的定義:正整數(shù)中,質(zhì)數(shù)以外的數(shù)為積數(shù).同理,用p表示積數(shù).則p=m1×m2.

    (1)

    p稱為積數(shù),m1,m2稱為因數(shù)(m1>1,m2>1);m1,m2若為質(zhì)數(shù),則稱為質(zhì)因數(shù);上式中最小的因數(shù)一定是質(zhì)數(shù),可稱其為最小質(zhì)因數(shù).如16=4×4=2×8.

    則其因數(shù)為4,或2,8;最小因數(shù)為2,也為16的最小質(zhì)因數(shù).

    1.2 表達式

    1.2.1 積數(shù)的表達

    根據(jù)質(zhì)數(shù),積數(shù)的特性,經(jīng)邏輯推導,對最小質(zhì)因數(shù)為qn的所有積數(shù)及qn,可用下列式子表示:

    (2-1)

    式(2-1)中,n=0,±1,±2,±3,…, 1≤n2≤(q2-1),1≤n3≤(q3-1),…,1≤nn-1≤(qn-1-1).

    由于q2=2,q3=3,q4=5,q5=7,q6=11,…,qn,則n2=1,n3=1,2,n4=1,2,3,4,n5=1,2,3,4,5,6,n6=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…nn-1=1,2,3,…,qn-1-1.

    1.2.2 質(zhì)數(shù)的表達

    與(2-1)式同理,對1和所有大于qn的質(zhì)數(shù),以及最小質(zhì)因數(shù)大于qn的所有積數(shù),可用下式表示:

    (2-2)

    式(2-2)中,n=0,±1,±2,±3,… ,1≤n2≤(q2-1),1≤n3≤(q3-1),…,1≤nn≤(qn-1).

    由于:q2=2,q3=3,q4=5,q5=7,q6=11,…,qn,則n2=1,n3=1,2,n4=1,2,3,4,n5=1,2,3,4,5,6,n6=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…nn=1,2,3,…,qn-1.

    1.3 負積數(shù),負質(zhì)數(shù)

    根據(jù)正,負數(shù)的特點,為了便于研究,計算等,引入負積數(shù),負質(zhì)數(shù)概念.

    A,則式(2-1)積數(shù)的表達為

    (2-3)

    式(2-3)中,n=0,±1,±2,±3,…,1≤n2≤(q2-1),1≤n3≤(q3-1),…,1≤nn-1≤(qn-1-1).

    由于q2=2,q3=3,q4=5,q5=7,q6=11,…,qn,則n2=1,n3=1,2,n4=1,2,3,4,n5=1,2,3,4,5,6,n6=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…nn-1=1,2,3,…,qn-1-1.

    舉例如下:

    (1)當最小質(zhì)因數(shù)為2時,即qn=q2=2 ,n1=q1-1=1-1=0 ;則:P2=q2!n

    n=0,±1,±2,±3,…,

    n=0,±1,±2,±3,…,n2=1.

    n=0,±1,±2,±3,…,n2=1,n3=1,2.

    n=0,±1,±2,±3,…,n2=1,n3=1,2,n4=1,2,3,4.

    n=0,±1,±2,±3,…,n2=1,n3=1,2,n4=1,2,3,4,n5=1,2,3,4,5,6,B,則式(2-2)質(zhì)數(shù)的表達為

    (2-4)

    式(2-4)中,n=0,±1,±2,±3,…

    1≤n2≤(q2-1),1≤n3≤(q3-1),…,1≤nn≤(qn-1).

    由于:q2=2,q3=3,q4=5,q5=7,q6=11,…,qn

    則:n2=1,n3=1,2,n4=1,2,3,4,n5=1,2,3,4,5,6,n6=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…nn=1,2,3,…,qn-1.

    舉例如下:

    n=0,±1,±2,±3,…,n2=1.

    n=0,±1,±2,±3,…,n2=1,n3=1,2.

    n=0,±1,±2,±3,…,n2=1,n3=1,2,n4=1,2,3,4.

    n=0,±1,±2,±3,…,n2=1,n3=1,2,n4=1,2,3,4,

    n5=1,2,3,4,5,6.

    n=0,±1,±2,±3,…,n2=1,n3=1,2,n4=1,2,3,4,n5=1,2,3,4,5,6,n6=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

    1.4 首數(shù)集

    1.4.1 積數(shù)首數(shù)集

    分析式(2-3)可得,PN是由若干個等差數(shù)列組成.而最小質(zhì)因數(shù)的不同,則等差數(shù)列的數(shù)量也不相同.

    在式(2-3)中,所有大于0并且小于qn!(即:0∠PN∠qn!)的數(shù)稱之為首數(shù),并且所有的首數(shù)組成首數(shù)集,用Bn表示.

    則式(2-3)可用下式表示:

    PN=qn!n+Bn

    (3-1)

    式(3-1)中,n=0,±1,±2,±3,….

    由此可以得出結(jié)論一:qn及最小質(zhì)因數(shù)為qn的所有積數(shù),可組成若干個公差為qn!的等差級數(shù).即其可用若干個公差為qn!的等差級數(shù)表示.

    其中,最小數(shù)為qn,次之為(qn)2.

    舉例如下:

    (1)最小質(zhì)因數(shù)由2開始,當最小質(zhì)因數(shù)為2時,qn=q2=2 ,qn!=q2!=1*2=2,n1=q1-1=1-1=0 ;則:B2=0;P2=q2!+B2=1*2n+0=2n.故q2時,q2!=2,B2=0,P2=2n.即偶數(shù)表達式P2=2n,可表述為:其為2及最小質(zhì)因數(shù)為2的所有積數(shù).

    P3=q3!n+B3=1*2*3*n+3=6n+3故q3時,q3!=6,B3為:3,P3=6n+3

    由于q4!為30,即公差為30;故調(diào)整后B4為:5,25,故q4時,q4!= 30,B4為:5, 25 (即B4=5,25)

    P4=30n+5,30n+25

    由于q5!為210,即公差為210;故調(diào)整后B4為:203,161,119,77,133,91,49,7,即7,49,77,91,119,133,161,203.故q5時,q5!= 210,B5為:7,49,77,91,119,133,161,203,P5=210n+7,210n+49,210n+77,210n+91,210n+119,210n+133,210n+161,210n+203,即P5=210n+{7,49,77,91,119,133,161,203}.

    1.4.2 質(zhì)數(shù)首數(shù)集

    同理,在式(2-4)中,所有大于0并且小于qn!(即:0∠QN∠qn!)的數(shù)稱之為首數(shù),并且所有的首數(shù)組成首數(shù)集,用An表示.

    則式(2-4)可用下式表示:

    QN=qn!n+An

    (3-2)

    式(3-2)中,n=0,±1,±2,±3,….

    由此可以得出結(jié)論二:1和所有大于qn的質(zhì)數(shù),以及最小質(zhì)因數(shù)大于qn的所有積數(shù),可組成若干個公差為qn!的等差級數(shù).即其可用若干個公差為qn!的等差級數(shù)表示.

    其中,最小數(shù)為1,次之為qn+1;最小積數(shù)p為(qn+1)2.

    舉例如下:

    (1)當q2時,即qn=q2=2時,

    對1和所有大于2的質(zhì)數(shù),以及最小質(zhì)因數(shù)大于2的所有積數(shù)如下:

    qn=q2=2,qn!=q2!=1*2=2,n2=q2-1=2-1=1;

    Q2=q2!n+A2=1*2n+1=2n+1

    故q2時,q2!=2,A2=1,Q2=2n+1.

    即奇數(shù)表達式Q2=2n+1,可表述為:其為1和大于2的所有質(zhì)數(shù),以及最小質(zhì)因數(shù)大于2的所有積數(shù)的總和.

    (2)q3時,即qn=q3=3時,

    對1和所有大于3的質(zhì)數(shù),以及最小質(zhì)因數(shù)大于3的所有積數(shù)如下:

    qn=q3=3,qn!=q3!=1*2*3=6,n2=1,n3=1,2;

    由于q3!為6,即公差為6;故調(diào)整后A3為:1, 5;故:q3時,q3!=1*2*3=6,A3為:1, 5(即A3=1, 5)Q3=6n+1,6n+5

    (3)q4時,即qn=q4=5時,對1和所有大于5的質(zhì)數(shù),以及最小質(zhì)因數(shù)大于5的所有積數(shù)如下:

    及:15+10*2+6*3

    =53(n3=2,n4=3時)

    =47(n3=2,n4=3時)

    =41(n3=2,n4=1時)

    =49(n3=1,n4=4時)

    =43(n3=1,n4=3時)

    =37(n3=1,n4=2時)

    =31(n3=1,n4=1時)

    由于q4!為30,即公差為30;

    故調(diào)整后A4為:1,7,11,13,17,19,23,29

    故:q4時,q4!=1*2*3*5=30,

    A4為:1,7,11,13,17,19,23,29

    Q4=30n+1,30n+7,30n+11,30n+13,30n+17,30n+19,30n+23,30n+29

    即Q4=30n+{1,7,11,13,17,19,23,29}

    (4)q5時,即qn=q5=7時,

    對1和所有大于7的質(zhì)數(shù),以及最小質(zhì)因數(shù)大于7的所有積數(shù)如下:

    qn=q5=7,qn!=q5!=1*2*3*5*7=210,

    n2=1,n3=1,2,n4=1,2,3,4,n5=1,2,3,4,5,6;

    =105n2+70n3+42n4+30n5=105*1+70*2+42*4+30*6=105+140+168+180

    =593(n3=2,n4=4,n5=6時)

    及.….…(分別帶入具體數(shù)值,此處略)

    由于q5!為210,即公差為210;

    故調(diào)整后A5為1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,121,127,131,137,139,143,149,151,157,163,167,169,173,179,181,187,191,193,197,199,209.

    故q5時,q5!=1*2*3*5*7=210,

    A5為:1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,121,127,131,137,139,143,149,151,157,163,167,169,173,179,181,187,191,193,197,199,209.

    Q5=q5!n+A5=210n+{1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,121,127,131,137,139,143,149,151,157,163,167,169,173,179,181,187,191,193,197,199,209.}

    1.4.3 質(zhì)數(shù)首數(shù)集與積數(shù)首數(shù)集之間的邏輯關系

    在QN中,對于An,其開始連續(xù)qn+1級的等差數(shù)列,為An+1和Bn+1.

    舉例如下:

    q3時,即qn=q3=3,qn+1=q4=5,q3!=6;B3為:3;P3=6n+3;A3為:1,5;

    Q3=6n+1,6n+5

    A3開始連續(xù)q4級(即5級)的等差數(shù)列具體為:

    1,7,11,13,19,25

    5,11,17,23,25,29,

    則A4為:1,7,11,13,17,19,23,29;

    B4為:5,25.

    2 質(zhì)數(shù)、積數(shù)的有關特性和規(guī)律

    之前,對于質(zhì)數(shù)做了基本的分類.即:在正整數(shù)中,按由小到大順序排列的質(zhì)數(shù)是:1,2,3,5,7,11,…,對應表示為:q1,q2,q3,q4,q5,q6,…qn….

    將具體相關數(shù)值帶入各表達式中,分析研究可初步得到一些規(guī)律和特性,即積數(shù)表達式與質(zhì)數(shù)表達式的邏輯關系等等.特別是首數(shù)集非常重要,其為質(zhì)數(shù),積數(shù)的重要基礎和內(nèi)容,其特性和規(guī)律在某種意義上也是質(zhì)數(shù),積數(shù)的特性和規(guī)律.

    在此,可將質(zhì)數(shù)等做進一步分類.

    2.1 初步分類及基本特性

    2.1.1 常質(zhì)數(shù):數(shù)值1存在于任意An中,可將1稱為常質(zhì)數(shù).

    2.1.2 基楚質(zhì)數(shù):分析表達式(3-2)等,可將q1,q2,q3,q4,q5,q6,…qn稱為基楚質(zhì)數(shù).

    并且,通過已知的基楚質(zhì)數(shù),應用式(3-2)等可以求出更大更多的基楚質(zhì)數(shù).

    結(jié)論三:通過已得出的基楚質(zhì)數(shù),可求出小于任意一個數(shù)的所有質(zhì)數(shù).即:可以求出任意大的所有質(zhì)數(shù).

    2.1.3 對稱分布情況:

    (1),Pn,Bn,Qn,An相對于0對稱分布.

    2.2 質(zhì)數(shù),積數(shù)的有關特性和規(guī)律

    2.2.1 以上表達式帶入具體數(shù)值后如下:

    (1)q1時,即qn=q1=1時,為常質(zhì)數(shù).Pn及Qn相同,為:n.

    (2)q2時,即qn=q2=2時,q2!=2,

    B2為0,P2=2n;其為偶數(shù)表達式.

    A2為1,Q2=2n+1;其為奇數(shù)表達式.

    則此時,基楚質(zhì)數(shù)為2,

    (3)q3時,即qn=q3=3時,q3!=6,B3為:3,

    P3=6n+3

    A3為1,5

    Q3=6n+1,6n+5

    具體為1,7,11,13,19,25,︱31,…6n+1

    5,11,17,23,25,29,︱35,…6n+5

    則此時,基楚質(zhì)數(shù)為2,3,

    (4)q4時,即qn=q4=5時,q4!=30,B4為:5,25

    P4=30n+5,30n+25

    具體為5,35,65,95,125,…30n+5

    25,55,85,115,145,…30n+25

    A4為:1,7,11,13,17,19,23,29

    Q4=30n+{1,7,11,13,17,19,23,29}

    具體為:

    則此時,基楚質(zhì)數(shù)為2,3,5,(qn+1)2=(q5)2=49

    故:7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47均為質(zhì)數(shù)(結(jié)論二).

    (5)q5時,即qn=q5=7時,q5!=210,

    B5為:7,49,77,91,119,133,161,203,

    P5=210n+{7,49,77,91,119,133,161,203}

    具體為:

    A5為:1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,121,127,131,137,139,143,149,151,157,163,167,169,173,179,181,187,191,193,197,199,209.

    Q5=q5!n+A5=210n+{1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,121,127,131,137,139,143,149,151,157,163,167,169,173,179,181,187,191,193,197,199,209.}

    具體為:

    則此時,基楚質(zhì)數(shù)為2,3,5,7,(qn+1)2=(q6)2=121

    故:11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113均為質(zhì)數(shù)(結(jié)論二).

    2.2.2 有關特性和規(guī)律

    (1)在QN中,設任意一個數(shù)Qm;則Qm=qn!nm+Am,若Qm為因數(shù)是qm的積數(shù),則Qm一定能被qm整除;并且,在QN中,存在Qm+n,nm+n=(nm+nn).即Qm+n=qn!nm+n+Am=qn!(nm+nn)+Am=qn!nm+Am+qn!nn

    當nn是qm的倍數(shù)時,Qm+n也一定是因數(shù)為qm的積數(shù).

    結(jié)論四:在QN中,對于任意一個因數(shù)為qm的積數(shù)Qm,在其所在的等差數(shù)列中,相對于Qm其等差數(shù)是其qm的整數(shù)倍時,其一定是因數(shù)為qm的積數(shù),并且只有其是因數(shù)為qm的積數(shù).當qm為qn+1時,其一定是最小質(zhì)因數(shù)為qn+1的積數(shù).

    由于在QN中,所有積數(shù)的最小質(zhì)因數(shù)是qn+1,故:在QN中,任一公差為qn!的等差數(shù)列,在連續(xù)qn+1項中只有一個最小質(zhì)因數(shù)為qn+1的積數(shù).

    (2),對于QN,可進一步分為QN+1和PN+1.

    即:對1和所有大于qn的質(zhì)數(shù),以及最小質(zhì)因數(shù)大于qn的所有積數(shù),可進一步分為:1和所有大于qn+1的質(zhì)數(shù),以及最小質(zhì)因數(shù)大于qn+1的所有積數(shù),即:QN+1;和最小質(zhì)因數(shù)為qn+1的所有積數(shù)(含qn+1),及PN+1.即:QN=QN+1+PN+1

    (3),在QN中,最小質(zhì)因數(shù)為qn+1的所有積數(shù)在QN中占比最大,占QN全體的qn+1分之一;所占比例遞減的積數(shù)分別是最小質(zhì)因數(shù)為qn+2,qn+3,qn+4,…的積數(shù).

    并且,在QN中,

    結(jié)論五:qn越大,其積數(shù)在QN中所占比例越小.

    3 關于“哥德巴赫猜想”

    哥德巴赫1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)之和.但是一直無法證明.

    現(xiàn)就質(zhì)數(shù),積數(shù)和偶數(shù)等進一步分析研究如下.

    3.1 偶數(shù)與兩個質(zhì)數(shù)之差

    由以上可得:

    3.1.1 在QN中,對于任意兩個數(shù)Ax,Ay;此兩數(shù)之差為Xn,在其所在的等差數(shù)列中,此兩數(shù)同時加,減相同數(shù)量的公差,其相對應的兩數(shù)之差均滿足此條件,即兩數(shù)之差同樣為Xn;所以在QN中有無數(shù)組數(shù)滿足此條件.

    即Xn=Ax-Ay=qn!nAx-qn!nAy

    舉例如下:

    (1),q3時,即qn=q3=3時,q3!=6,基楚質(zhì)數(shù)為2,3;

    B3為:3,P3=6n+3

    A3為:1,5

    Q3=6n+1,6n+5

    具體為:1,7,11,13,19,25,︱31,…6n+1

    5,11,17,23,25,29,︱35,…6n+5

    設:Ax=23,Ay=7;

    則:X3=23-7=16

    X3=16=qn!nAx-qn!nAy=n6*23-n6*7

    即:Q3中,17-1,及23-13,35-19,41-25…均為16.

    (2)q4時,即qn=q4=5時,q4!=30,基楚質(zhì)數(shù)為2,3,5,

    B4為:5,25

    P4=30n+5,30n+25

    A4為:1,7,11,13,17,19,23,29

    Q4=30n+{1,7,11,13,17,19,23,29}

    具體為:

    設Ax=23,Ay=11;

    則X4=23-11=12

    X4=12=qn!nAx-qn!nAy=n30*23-n30*11

    即Q4中,23-11,53-41,83-71,113-101…均為12.

    3.1.2 在QN中,對于任意兩個數(shù)Ax,Ay;此兩數(shù)之差為Xn,在其同時連續(xù)qn+1級的等差數(shù)列中,其相對應的在QN+1中,有(qn+1-2)組滿足此條件,另外2組分別是:Ax為最小質(zhì)因數(shù)是qn+1的積數(shù)和Ay為最小質(zhì)因數(shù)是qn+1的積數(shù)的一組.

    舉例如下:

    q3時,即qn=q3=3時,q3!=6,基楚質(zhì)數(shù)為2,3;qn+1=q4=5;B3為:3,P3=6n+3

    A3為:1,5

    Q3=6n+1,6n+5

    設:Ax=23,Ay=7;

    則:X3=23-7=16

    X3=16=qn!nAx-qn!nAy=n6*23-n6*7

    即:Q3中,其同時連續(xù)5級的等差數(shù)列為:(23,7),(29,13),(35,19),(41,25),(47,31).

    其相對應的在Q4中,有3組滿足此條件,分別是(23,7),(29,13),(47,31).另外兩組不在Q4中的是Ax為最小質(zhì)因數(shù)是5的積數(shù),即積數(shù)為35的一組(35,19)和Ay最小質(zhì)因數(shù)是5的積數(shù),即積數(shù)為25的一組(41,25).

    3.1.3 在QN中,對于任意兩個數(shù)Ax,Ay;此兩數(shù)之差為Xn.

    (1),當QN大于等于Q2時,由于其中所有的數(shù)均為奇數(shù),故Xn一定是偶數(shù).

    (2),當:q3時,即qn=q3=3時,q3!=6,基楚質(zhì)數(shù)為2,3;B3為:3,P3=6n+3

    A3為:1,5

    Q3=6n+1,6n+5

    具體為:1,7,11,13,19,25,︱31,…6n+1

    5,11,17,23,25,29,︱35,…6n+5

    在Q3中,對于任意兩個數(shù)Ax,Ay;此兩數(shù)之差為偶數(shù)X3,在其同時連續(xù)q4級(即5級)的等差數(shù)列中,對于Ax-Ay(即X3大于0小于等于6,即0

    滿足X3為2的有5組.

    即X3=Ax-Ay=2時,有5組,

    如(5,7),(11,13),(17,19),(23,25),(29,31);

    滿足X3為4的有5組.

    即X3=Ax-Ay=4時,有5組,

    如(1,5),(7,11),(13,17),(19,23),(25,29);

    滿足X3為6的有10組.

    即X3=Ax-Ay=6時,有10組,

    如(1,7),(7,13),(13,19),(19,25),(25,31),(5,11),(11,17),(17,23),(23,29),(29,35);

    對于Ax-Ay(即X3)大于6,即6

    由于任意一個大于6的偶數(shù),均可用:6n+2,6n+4,6n,這三種情況之一表示;

    故在Q3中,對于兩個數(shù)Ax,Ay;此兩數(shù)之差可為任意一個偶數(shù)X3,同理,在其同時連續(xù)q4級(即5級)的等差數(shù)列中,至少有5組滿足此條件.當X3為6n+2或6n+4時,有5組;當X3為6n時,有10組.

    例如:滿足X3為8的有5組.

    即X3=Ax-Ay=8=6+2時,有5組,

    為(5,13),(11,19),(17,25),(23,31),(29,37);

    滿足X3為10的有5組.

    即X3=Ax-Ay=10=6+4時,有5組,

    為(1,11),(7,17),(13,23),(19,29),(25,35);

    滿足X3為12的有10組.

    即X3=Ax-Ay=12=6+6=2*6時,有10組,

    為(1,13),(7,19),(13,25),(19,31),(25,37),(5,17),(11,23),(17,29),(23,35),(29,41);

    (3),q4時,即qn=q4=5時,q4!=30,基楚質(zhì)數(shù)為2,3,5,

    B4為:5,25;P4=30n+5,30n+25

    A4為:1,7,11,13,17,19,23,29

    Q4=30n+{1,7,11,13,17,19,23,29}

    由于在Q3中,對于任意兩個數(shù)Ax,Ay;此兩數(shù)之差X3可以是任意一個偶數(shù).同時,由于在Q3中,在其同時連續(xù)q4級(即5級)的等差數(shù)列中,其相對應的在Q4中,至少有3組滿足此條件.

    故在Q4中,對于兩個數(shù)Ax,Ay;此兩數(shù)之差同樣可以是任意一個偶數(shù).同時,在其同時連續(xù)q5級(即7級)的等差數(shù)列中,至少有7組滿足此條件.其相對應的在Q5中,至少有5組滿足此條件.

    以此類推,可以得出結(jié)論六:在QN中,對于兩個數(shù)Ax,Ay;此兩數(shù)之差Xn可以是任意一個偶數(shù).即:對于任意一個偶數(shù),可以由無數(shù)組QN中的兩數(shù)之差表示.

    3.1.4 對于任意一個偶數(shù),在QN中,有無數(shù)組兩個數(shù)之差滿足此條件(結(jié)論六).而QN越大,

    在QN中,質(zhì)數(shù)占比越小(結(jié)論五).則在QN中無數(shù)組兩個數(shù)之差滿足此條件的,并且同為質(zhì)數(shù)的比例越大.

    所以可以得出結(jié)論七:對于任意一個偶數(shù),可以由無數(shù)組兩個質(zhì)數(shù)相減表示.

    3.2 偶數(shù)與兩個質(zhì)數(shù)之和

    3.2.1 在QN及An中,質(zhì)數(shù)和積數(shù)的有關情況一

    (1)對于Qx,Ax的前qx+1項的總和為Ax+1+Bx+1.

    例如,對于Q5,A5的前q6項的總和為A6+B6.

    (2)對于Qx中,所有積數(shù)的最小質(zhì)因數(shù)為qx+1.

    舉例如下:

    對于Q5中,所有積數(shù)的最小質(zhì)因數(shù)為q6.

    (3)在Qx中,由于在以上積數(shù)占比的計算中都包含最小質(zhì)因數(shù),并且各積數(shù)均大于或等于其最小質(zhì)因數(shù)的平方.所以,在Qx中,Ax的前qx+1項的總和中,同一最小質(zhì)因數(shù)的積數(shù)在其中的實際占比小于或等于其算數(shù)平均占比.

    對于Qx,在Ax的前qx+1項的總和中,

    3.2.2 在QN及An中,質(zhì)數(shù)和積數(shù)的有關情況二

    (1)對于式(3-2),即QN=qn!n+An;具體為:Q3=q3!n+A3,即Q3=6n+A3

    Q4=q4!n+A4,即Q4=30n+A4

    Q5=q5!n+A5,即Q5=210n+A5

    Q6=q6!n+A6,即Q6=2310n+A6

    Q7=q7!n+A7,即Q7=30030n+A7

    Q8=q8!n+A8,即Q8=510510n+A8

    對于式(3-1),即PN=qn!n+Bn;具體為:P3=q3!n+B3,即P3=6n+B3

    P4=q4!n+B4,即P5=30n+B4

    P5=q5!n+B5,即P5=210n+B5

    P6=q6!n+B6,即P6=2310n+B6

    P7=q7!n+B7,即P7=30030n+B7

    P8=q8!n+B8,即P8=510510n+B8

    (2)按照以上算式進行計算得出如下:

    對于Q3,Q3=q3!n+A3,即Q3=6n+A3;在A3的前q4項的總和中,積數(shù)只有最小質(zhì)因數(shù)為q4的積數(shù).其占比用Z3表示為:0.2.

    對于Q4,Q4=q4!n+A4,即Q4=30n+A4;在A4的前q5項的總和中,積數(shù)為最小質(zhì)因數(shù)為q5到q7的積數(shù).積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)用Z4表示約為:0.23836.

    對于Q5,Q4=q5!n+A5,即Q5=210n+A5;在A5的前q6項的總和中,積數(shù)為最小質(zhì)因數(shù)為q6到q16的積數(shù).積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)用Z5表示約為:0.27186.

    對于Q6,Q6=q6!n+A6,即Q6=2310n+A6;在A6的前q7項的總和中,積數(shù)為最小質(zhì)因數(shù)為q7到q41的積數(shù).積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)用Z6表示約為:0.25060.

    對于Q7,Q7=q7!n+A7,即Q7=30030n+A7;在A7的前q8項的總和中,積數(shù)為最小質(zhì)因數(shù)為q8到q128的積數(shù).積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)用Z7表示約為:0.24440.

    對于Qn,在An的前qn+1項的總和中,積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)用Zn表示;若以Y軸為Zn,X軸為Qn,則其關系如下:

    由此具體分析如下:

    對于Q3和Q4,其屬于開始階段,在Ax的前qx+1項的總和中,由于部分因素未出現(xiàn),其不能完全吻合總體特性和規(guī)律.但自Q5后,各種因素的出現(xiàn),故其可顯示總體特性和規(guī)律.即:對于Qx,在Ax的前qx+1項的總和中,所有積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)在出現(xiàn)峰值0.27186后,其趨勢為逐漸緩慢下降.

    并且,由此可得推斷一:對于Qx,在Ax的前qx+1項的總和中,所有積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)均處于較低的占比,且遠低于50%.

    3.2.3 證明

    由結(jié)論七可得:任意一偶數(shù)Xn,則在QN中,存在Ax,Ay,滿足:Xn=Ax-Ay(0

    當qn!

    對于Xn,Ax,Ay,也滿足:Xn=(Ax-mqn-1!)-(Ay-mqn-1!);(m=1,2,3,…)

    當m1qn-1!開始大于Ay起,(Ay-m1qn-1!)<0,此時,Xn實際為兩數(shù)相加.并且自此起到(m2+1)qn-1!開始大于Ax起的前1級,即0<(Ax-m2qn-1!),{Ax-(m2+1)qn-1!}<0時,至少有qn組滿足此(由于qn!

    例如:Xn=104,則q4!

    m1=4,m2=21,

    即Xn=(127-4*6)-(23-4*6)=103+1

    Xn=(127-5*6)-(23-5*6)=97+7

    Xn=(127-6*6)-(23-6*6)=91+13

    Xn=(127-20*6)-(23-20*6)=7+97

    Xn=(127-21*6)-(23-21*6)=1+103 共18組.

    (1)當Xn≤q4!,即Xn≤30時,

    可代入具體數(shù)值計算證明:Xn均可由一組以上兩個質(zhì)數(shù)相加表示.

    即:Xn=qx+qy

    (2)當q4!

    存在Xn=(Ax-mq3!)-(Ay-mq3!)=(Ax-m*6)-(Ay-m*6)(m=1,2,3,…)

    即Xn=(Ax-m1*6)-(Ay-m1*6)=(Ax-m1*6)+(m1*6-Ay)

    Xn={Ax-(m1+1)6}+{(m1+1)6-Ay}

    Xn={Ax-(m1+2)6}+{(m1+2)6-Ay}

    Xn=(Ax-m2*6)+(m2*6-Ay)

    滿足等式,并且等式右邊兩數(shù)均大于0的至少有q4組,即至少有5組.

    而在這些組中,包含q4分之一的為最小質(zhì)因數(shù)是q4的積數(shù);故在這些組中,即:在此至少5組中,包含5分之一的為最小質(zhì)因數(shù)是5的積數(shù);所以在這些組中,至少有3組為:“在A4的前7項的總和”中的數(shù).由于其積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)小于50%(Z4約為:0.23836);所以其中至少有一組兩數(shù)均為質(zhì)數(shù).并且具體計算也可證明.

    例如,例如Xn=32,則q4!

    也滿足:Xn=(Ax-mq3)-(Ay-mq3)=(43-m*6)-(11-m*6)

    m1=2,m2=7,

    即Xn=(43-2*6)-(11-2*6)=31+1

    Xn=(43-3*6)-(11-3*6)=25+7

    Xn=(43-4*6)-(11-4*6)=19+13

    Xn=(43-5*6)-(11-5*6)=13+19

    Xn=(43-6*6)-(11-6*6)=7+25

    Xn=(43-7*6)-(11-7*6)=1+31 共6組.

    最小質(zhì)因數(shù)是5的積數(shù)的組為:(25,7)和(7,25);在A4的前7項的總和中的數(shù)有4組,為(31,1),(19,13),(13,19),(1,31);并且均為質(zhì)數(shù).

    (3)當q5!

    存在Xn=(Ax-mq4!)-(Ay-mq4!)=(Ax-m*30)-(Ay-m*30)(m=1,2,3,…)

    即Xn=(Ax-m1*30)-(Ay-m1*30)=(Ax-m1*30)+(m1*30-Ay)

    Xn={Ax-(m1+1)30}+{(m1+1)30-Ay}

    Xn={Ax-(m1+2)30}+{(m1+2)30-Ay}…

    Xn=(Ax-m2*30)+(m2*30-Ay)

    滿足等式,并且等式右邊兩數(shù)均大于0的至少有q5組,即7組.

    而在這些組中,包含q5分之一的為最小質(zhì)因數(shù)是q5的積數(shù);故在這些組中,即:在而此至少7組中,包含7分之一的為最小質(zhì)因數(shù)是7的積數(shù);所以在這些組中,至少有5組為:“在A5的前11項的總和”中的數(shù).由于其積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)小于50%(Z5約為:0.27186);所以其中至少有一組兩數(shù)均為質(zhì)數(shù).

    例如,例如:Xn=210,則q5!

    也滿足:Xn=(Ax-mq4)-(Ay-mq4)=(212-m*30)-(11-m*30)

    m1=1,m2=7,

    即Xn=(223-1*30)-(11-1*30)=193+19

    Xn=(223-2*30)-(11-2*30)=163+49

    Xn=(223-3*30)-(11-3*30)=133+79

    Xn=(223-4*30)-(11-4*30)=103+109

    Xn=(223-5*30)-(11-5*30)=73+139

    Xn=(223-6*30)-(11-6*30)=43+169

    Xn=(223-7*30)-(11-7*30)=13+199 共7組.

    最小質(zhì)因數(shù)是7的積數(shù)的組為:(163,49)和(133,79);在A5的前11項的總和中的數(shù)有5組,為(193,19),(103,109),(73,139),(43,169),(13,199);并且兩數(shù)均為質(zhì)數(shù)的有4組,為(193,19),(103,109),(73,139),(13,199).

    (4)當qn!

    存在Xn=(Ax-mqn-1!)-(Ay-mqn-1!) (m=1,2,3,…)

    即Xn=(Ax-m1qn-1!)-(Ay-m1qn-1!)

    Xn=(Ax-m1qn-1!)+(m1qn-1!-Ay)

    Xn={Ax-(m1+1)qn-1!}+{(m1+1)qn-1!-Ay}

    Xn={Ax-(m1+2)qn-1!}+{(m1+2)qn-1!-Ay}

    Xn=(Ax-m2qn-1!)+(m2qn-1!-Ay)

    注:m1,m2滿足:0<{Ay-(m1-1)qn-1!},(Ay-m1qn-1!)<0;

    并且0<(Ax-m2qn-1!),{Ax-(m2+1)qn-1!}<0.

    滿足等式右邊兩數(shù)均大于0的至少有qn組.

    而在這些組中,包含qn分之一的為最小質(zhì)因數(shù)是qn的積數(shù);故在這些組中,至少有其總組數(shù)減二組(最少是q4!

    所以可以得出結(jié)論八:對于任意一個偶數(shù),可以由一組以上兩個質(zhì)數(shù)相加表示.

    3.3 綜合以上可歸納如下

    3.3.1 在正整數(shù)的范圍內(nèi):

    對于任意一個偶數(shù),可以由無數(shù)組兩個質(zhì)數(shù)相減表示;并且也可以由一組以上兩個質(zhì)數(shù)相加表示.

    3.3.2 引入負質(zhì)數(shù)概念后,為:

    對于任意一個大于零的偶數(shù),可以由無數(shù)組兩個質(zhì)數(shù)相加表示;其中兩個質(zhì)數(shù)均大于零情況至少有一組.

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