不可數(shù)集上定義的可數(shù)補(bǔ)空間的拓?fù)湫再|(zhì)

黃 瑞

點(diǎn)集拓?fù)涫峭負(fù)鋵W(xué)的入門課程，是學(xué)生眼中“破次元”難度的課程，這門課程具有高度的抽象性和邏輯性，簡(jiǎn)單來說就是“不靠計(jì)算靠思維”. 教材的安排一般是先給出概念，緊接著是一系列的定理或推論及其證明過程，因此學(xué)生對(duì)點(diǎn)集拓?fù)涞挠∠缶褪强菰餆o趣，味同嚼蠟.“ 實(shí)例”是點(diǎn)集拓?fù)浣虒W(xué)中的“調(diào)味劑”，而通常點(diǎn)集拓?fù)浣滩闹谐霈F(xiàn)的實(shí)例少之又少，主要包括實(shí)數(shù)空間、實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻g、實(shí)數(shù)右手拓?fù)淇臻g、平庸空間、離散空間、有限補(bǔ)空間和可數(shù)補(bǔ)空間等，文獻(xiàn)［1-6］研究了上述拓?fù)淇臻g的拓?fù)湫再|(zhì)，文獻(xiàn)［7-10］研究了一些較復(fù)雜的拓?fù)淇臻g的拓?fù)湫再|(zhì). 可數(shù)補(bǔ)空間是本科階段點(diǎn)集拓?fù)浣虒W(xué)過程中的一個(gè)重要研究對(duì)象和教學(xué)實(shí)例，本文將系統(tǒng)地研究可數(shù)補(bǔ)空間的諸多拓?fù)湫再|(zhì)，并給出什么樣的子集是可數(shù)補(bǔ)空間中的連通子集、道路連通子集、局部道路連通子集和緊致子集，什么樣的序列是可數(shù)補(bǔ)空間中的收斂序列等. 需要說明的是文中所有的概念、符號(hào)都可見文獻(xiàn)［11］，文中不再一一說明.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［11］X是一個(gè)集合，Γ={U?X|U'是X中的可數(shù)集}?{?}，則稱Γ是X的可數(shù)補(bǔ)拓?fù)?，稱(X,Γ) 為可數(shù)補(bǔ)空間.

由定義知，若X是一個(gè)不可數(shù)集，此時(shí)可數(shù)補(bǔ)空間X中的開集是?，X，U'，閉集是?，X，U，其中U是X中的非空可數(shù)子集. 易見此時(shí)可數(shù)補(bǔ)空間X中既開又閉的子集只有?和X，從而得到不可數(shù)集上定義的可數(shù)補(bǔ)空間是連通空間. 若X是一個(gè)可數(shù)集，此時(shí)可數(shù)補(bǔ)空間X退化成了一個(gè)離散空間，而離散空間的拓?fù)湫再|(zhì)比較簡(jiǎn)單，故本文討論的是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補(bǔ)空間的拓?fù)湫再|(zhì). 值得注意的是可數(shù)集包含有限集，故集合X上的可數(shù)補(bǔ)拓?fù)涫荴上的有限補(bǔ)拓?fù)涞募蛹?xì)［12］，研究了同一集合在粗細(xì)拓?fù)湎峦負(fù)湫再|(zhì)的比較，從而得到不可數(shù)集上的有限補(bǔ)空間和可數(shù)補(bǔ)空間的拓?fù)湫再|(zhì)之間的關(guān)系.

定 義2［11］設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，若對(duì)于?x∈X和x的任意鄰域x，存在x的一個(gè)道路連通鄰域x使得V?U，則稱拓?fù)淇臻gX是局部道路連通空間. 若X的子集Y作成的子空間是局部道路連通空間，則稱Y是拓?fù)淇臻gX的局部道路連通子集.

引理1 設(shè)U是可數(shù)補(bǔ)空間(X,Γ) 中的任意點(diǎn)x的任意鄰域，其中X是不可數(shù)集，則U是x的開鄰域.

證明U是可數(shù)補(bǔ)空間(X,Γ) 中x的鄰域，則存在非空開集V滿足x∈V?U，從而U' ?V'（可數(shù)集），故U'也是可數(shù)集，從而U'是閉集，故U是x的開鄰域.

引理2 設(shè)A是可數(shù)補(bǔ)空間(X,Γ) 中的子集，其中X是不可數(shù)集，則

（1）若A是不可數(shù)集，則d(A) ==X；

（2）若A是可數(shù)集，則d(A) = ?，=A.

證明（1）假設(shè)存在x0∈X，x0?d(A)，則存在x0的鄰域U0滿足U0?(A- {x0}) = ?，由引理1 知U0是可數(shù)補(bǔ)空間(X,Γ) 中的非空開集，從而A- {x0} ?U0'（可數(shù)集），這與A是不可數(shù)集矛盾，故d(A) =Aˉ=X.

（2）任意x∈X,(A- {x})'是x的開鄰域，滿足(A- {x})' ?(A- {x}) = ?，即x?d(A)，故d(A) = ?，再由可數(shù)集A是閉集，直接得到=A.

順便指出，利用A°=A',?(A) =Aˉ?A'-和引理2 可得A是不可數(shù)集時(shí)，

A是可數(shù)集時(shí)，A°= ?，?(A) =A.

引理3 設(shè)U，V是可數(shù)補(bǔ)空間(X,Γ) 中的非空開集，其中X是不可數(shù)集，則U?V≠?.

證明 若U，V中有一個(gè)是X，結(jié)論顯然成立.

下設(shè)U，V都不是X，則可設(shè)U=X-U0，V=X-V0，其中U0,V0是(X,Γ) 中的非空可數(shù)集，U ?V =X- (U0?V0) 是不可數(shù)集，結(jié)論成立.

事實(shí)上，不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間中的非空開集與不可數(shù)子集的交也是非空的.

引理4 設(shè)(Y,Γ|Y) 是可數(shù)補(bǔ)空間(X,Γ) 的子空間，其中X是不可數(shù)集，則

（1）Y是X的可數(shù)子集時(shí)，(Y,Γ|Y) 是離散空間；

（2）Y是X的不可數(shù)子集時(shí)，(Y,Γ|Y) 是可數(shù)補(bǔ)空間.

證明（1）Y是X的可數(shù)子集時(shí)，(Y,Γ|Y) 是(X,Γ) 的閉子空間，設(shè)A是(Y,Γ|Y)的任意子集，則可 數(shù) 集A是(X,Γ) 中的閉集，從 而A是 閉 子空間(Y,Γ|Y) 的閉集，故(Y,Γ|Y) 是離散空間.

（2）Y是X的不可數(shù)子集時(shí)，(Y,Γ|Y) 中的開集為?,Y,(X-U) ?Y=Y-(U?Y)，其中U是(X,Γ) 中的非空可數(shù)集，從而U?Y是(Y,Γ|Y) 中的可數(shù)集，由定義1 知(Y,Γ|Y) 是不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間.

引理5 設(shè)x,y是可數(shù)補(bǔ)空間(X,Γ) 中的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，其中X是不可數(shù)集，則在(X,Γ) 中不存在從x到y(tǒng)的道路.

證明 假設(shè)存在連續(xù)映射f:[ 0,1] →X，且f(0) =x,f(1) =y. 令A(yù)是[ 0,1] 中有理數(shù)的全體作成的集合，則f(A) 是X中的可數(shù)子集. 又f的值域f([ 0,1]) 是可數(shù)補(bǔ)空間(X,Γ) 中的連通子集，故f([ 0,1]) 必是X中的不可數(shù)子集，從而得到f(A) ?f([ 0,1]) ?X.

令X-f(A) =U，則U是(X,Γ) 中的開集，易見f-1(U) =f-1(X) -f-1(f(A)) ?[ 0,1]-A，即f-1(U) 是[ 0,1] 中無理數(shù)的全體作成的集合，故f-1(U) 不是[ 0,1] 中的開集，這 與f連 續(xù)矛盾，從而在(X,Γ) 中不存在從x到y(tǒng)的道路.

引理6 設(shè)Λ 是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)開覆蓋，若存在A∈Λ，滿足A'是X中的可數(shù)集，則Λ 必存在關(guān)于X的可數(shù)子覆蓋.

證明 設(shè)x是可數(shù)集A' 中的任意一個(gè)點(diǎn)，則存在Ax∈Λ,x∈Ax.

令Λ?= {A} ?{Ax∈Λ|x∈A',x∈Ax}，則Λ?是Λ 關(guān)于X的可數(shù)子覆蓋.

引理7 設(shè){xi}i∈?+是可數(shù)補(bǔ)空間(X,Γ) 中的任意序列，其中X是不可數(shù)集，則

（1）該序列不可能收斂到序列之外的點(diǎn)；

（2）令{xi}i∈?+中的點(diǎn)作成的集合是A，易見(A- {xk})'是xk的開鄰域，故存在M∈?+，當(dāng)i>M時(shí)，有xi?A- {xk}，即xi=xk.

引理8 已知拓?fù)淇臻gX不是緊致空間，Λ是拓?fù)淇臻gX的任意開覆蓋，則

（1）若Λ 是有限開覆蓋，則存在X的有限開覆蓋Ω 是Λ 的加細(xì)；

（2）若Λ 是無限開覆蓋，則不存在X的有限開覆蓋Ω 是Λ 的加細(xì).

證明（1）只需取Ω = Λ 即可.

（2）假設(shè)存在X的有限開覆蓋Ω ={B1,B2,…,Bn} 是Λ 的加細(xì)，則任意的Bi∈Ω，存在Ai∈Λ，使得Bi?Ai,i= 1,2,…,n.

令 Λ?= {Ai∈Λ|Bi?Ai,i= 1,2,…,n} ，則Λ?是Λ 的有限子覆蓋，故拓?fù)淇臻gX的任意開覆蓋都存在有限的子覆蓋，這與拓?fù)淇臻gX不是緊致空間矛盾，結(jié)論得證.

2 主要結(jié)論

2.1 連通性

定理1 不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間是連通空間，且它的連通子集是空集，單點(diǎn)集和不可數(shù)子集.

證明 設(shè)拓?fù)淇臻gX是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補(bǔ)空間，由定義1 知可數(shù)補(bǔ)空間X中的開集?，X，U'，閉集是?，X，U，其中U是X中的非空可數(shù)子集，故拓?fù)淇臻gX中既開又閉的子集只有?和X，從而可數(shù)補(bǔ)空間X是連通空間. 由引理4 知可數(shù)補(bǔ)空間X中的不可數(shù)子集作成的子空間是不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間，包含多于一個(gè)點(diǎn)的可數(shù)子集作成的子空間是離散空間，故可數(shù)補(bǔ)空間X的連通子集是空集，單點(diǎn)集和不可數(shù)子集.

定理2 不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間是局部連通空間.

證明 由定理1 知不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間的每一個(gè)開集都是連通的，故不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間是局部連通空間.

定理3 不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間不是道路連通空間，且它的道路連通子集只有空集和單點(diǎn)集.

證明 設(shè)拓?fù)淇臻gX是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補(bǔ)空間，由引理5 知可數(shù)補(bǔ)空間X不是道路連通空間. 由引理4、引理5 知不可數(shù)子集和包含多于1 個(gè)點(diǎn)的可數(shù)子集都不是道路連通子集，故拓?fù)淇臻gX的道路連通子集只有空集和單點(diǎn)集.

定理4 不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間不是局部道路連通空間，且它的局部道路連通子集是可數(shù)子集.

證明 設(shè)拓?fù)淇臻gX是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補(bǔ)空間，由引理1 和定理3 知可數(shù)補(bǔ)空間X中的任意一點(diǎn)都不存在道路連通的鄰域，故不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間不是局部道路連通空間.

由引理4 和定理4 的上面的證明知可數(shù)補(bǔ)空間X中的不可數(shù)子集不是局部道路連通子集，可數(shù)子集作成的子空間離散空間是局部道路連通空間，從而得到可數(shù)補(bǔ)空間X的局部道路連通子集是可數(shù)子集.

2.2 可數(shù)性公理

定理5［11］不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間不是A1空間，從而也不是A2空間.

定理6 不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間是Lindel?f 空間，但不是可分空間.

證明 由引理6 知不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間的任一開覆蓋必定存在可數(shù)的子覆蓋，故不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間是Lindel?f 空間. 再由引理2 知不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間的稠密子集只能是不可數(shù)集，因此不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間不是可分空間.

2.3 分離性公理

定理7 不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間是T0，T1空間，但不是T2，T3，T3.5，T4，也不是正則空間、正規(guī)空間、完全正則空間.

證明 設(shè)拓?fù)淇臻gX是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補(bǔ)空間，由定義1 知可數(shù)補(bǔ)空間X的每一個(gè)有限集都是閉集，故可數(shù)補(bǔ)空間X是T1空間，從而也是T0空間.

由引理3 知可數(shù)補(bǔ)空間X不滿足定理中其他的分離性公理.

2.4 緊性

定理8 不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間不是列緊空間.

證明 由引理2（2）知不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間中存在著無限可數(shù)子集沒有聚點(diǎn)，因此不是列緊空間.

定理9 不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間不是序列緊致空間.

證明 由引理7 知在不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間中，若序列中的點(diǎn)兩兩互不相同，則該序列不存在收斂的子列，因此不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間不是序列緊致空間.

定理10 不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間不是可數(shù)緊致空間，從而也不是緊致空間.

證明 設(shè)拓?fù)淇臻gX是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補(bǔ)空間，x1,x2,x3,…是可數(shù)補(bǔ)空間X中兩兩互不相同的點(diǎn)，令A(yù)i= {xi,xi+1,xi+2,…},i=1,2,3,…，則Ai'是 可 數(shù)補(bǔ) 空 間X中 的開 集，且于 是{A1',A2',A3',…}是可數(shù)補(bǔ)空間X的一個(gè)可數(shù)的開覆蓋，顯然這個(gè)可數(shù)的開覆蓋沒有有限的子覆蓋，故可數(shù)補(bǔ)空間X不是可數(shù)緊致空間，從而也不是緊致空間.

值得注意的是，由各種緊性之間的相互蘊(yùn)含關(guān)系［13］和定理8 可直接得到定理9 和定理10 的結(jié)論.

定理11 不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間的緊致子集是有限集.

證明 設(shè)拓?fù)淇臻gX是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補(bǔ)空間，由引理4 和定理10 知可數(shù)補(bǔ)空間X的不可數(shù)子集不是緊致子集. 又可數(shù)補(bǔ)空間X的可數(shù)子集作成的子空間是離散空間，而只有包含有限個(gè)點(diǎn)的離散空間才是緊致空間，故可數(shù)補(bǔ)空間X的緊致子集是有限集.

定理12 不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間不是局部緊致空間.

證明 由引理1 和定理11 知不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間中的任意點(diǎn)都不存在緊致的鄰域，因此不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間不是局部緊致空間.

定理13 不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間不是仿緊致空間.

證明 設(shè)拓?fù)淇臻gX是不可數(shù)集上定義的可數(shù)補(bǔ)空間，Λ 是拓?fù)淇臻gX的任意開覆蓋，由引理1，引理3 知可數(shù)補(bǔ)空間X中的任一點(diǎn)的任一鄰域都與Λ 中的非空開集有非空的交，即可數(shù)補(bǔ)空間X的局部有限開覆蓋只能是可數(shù)補(bǔ)空間X的有限開覆蓋. 再由定理10和引理8（2）知可數(shù)補(bǔ)空間X的無限開覆蓋不存在有限開覆蓋是它的加細(xì)，從而可數(shù)補(bǔ)空間X的無限開覆蓋不存在局部有限的開覆蓋是它的加細(xì)，故可數(shù)補(bǔ)空間X不是仿緊致空間.

2.5 可數(shù)補(bǔ)空間與有限積空間和商空間

定 理14 設(shè)(X1,Γ1),(X2,Γ2) 是可數(shù)補(bǔ)空間，(X,Γ) 是它們的積空間，則

（1）若X1,X2是可數(shù)集，則積空間X是離散空間；

（2）若X1,X2是不可數(shù)集，則積空間X不是可數(shù)補(bǔ)空間；

（3）若X1,X2中有且只有一個(gè)是不可數(shù)集，則積空間X不是可數(shù)補(bǔ)空間.

證明（1）X1,X2是可數(shù)集時(shí)，由定義1 知(X1,Γ1),(X2,Γ2) 是離散 空 間，故積空 間(X,Γ)也是離散空間.

（2）設(shè)A1,A2分 別 是(X1,Γ1),(X2,Γ2) 中 的非空可數(shù)子集，則由積空間的定義知(X1-A1)×(X2-A2) =X-A1×X2-A1'×A2=X- [(A1×X2) ?(A1'×A2)] 是積空間X中的開 集，但(A1× X2) ?(A1'×A2) 是X中的不可數(shù)集，故積空間X不是可數(shù)補(bǔ)空間.

（3）不妨設(shè)X1是可數(shù)集，X2是不可數(shù)集，則(X1,Γ1) 是離散空間. 設(shè)A1,A2分別是(X1,Γ1),(X2,Γ2) 中的非空真子集和非空可數(shù)子集，則由積空間的定義知

A1× (X2-A2) =X-A1'×X2-A1×A2=X- [(A1'×X2) ?(A1×A2)] 是積空間X中的開集，但(X1,Γ1) 是X中的不可數(shù)集，故積空間X不是可數(shù)補(bǔ)空間.

定理15 設(shè)(X,Γ) 是可數(shù)補(bǔ)空間，則

（1）若X是可數(shù)集，則(X,Γ) 的任意商空間都是離散空間；

（2）若X是不可數(shù)集，則(X,Γ) 的商空間未必是可數(shù)補(bǔ)空間.

證明（1）X是可數(shù)集時(shí)，由定義1 知(X,Γ)是離散空間，故(X,Γ) 的任意商空間都是離散空間.

3 結(jié)語

通過對(duì)不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間的鄰域、子空間、道路、序列收斂和開覆蓋等問題的討論，文章系統(tǒng)地研究了不可數(shù)集上定義的可數(shù)補(bǔ)空間的拓?fù)湫再|(zhì)，包括諸多連通性質(zhì)、有關(guān)可數(shù)性的公理、分離性公理、諸多緊致性質(zhì). 另外，文中還討論了可數(shù)補(bǔ)空間的子空間、有限積空間和商空間. 順便指出不可數(shù)集上的可數(shù)補(bǔ)空間不是可度量化的拓?fù)淇臻g，至于此拓?fù)淇臻g的其他性質(zhì)仍需進(jìn)一步研究.