“自然數(shù)與有理數(shù)一樣多”的數(shù)學(xué)證明

山東省日照第一中學(xué) 張銘哲

在百度知道里有人提了一個(gè)問(wèn)題：“為什么自然數(shù)和有理數(shù)一樣多？”是的，乍一看貌似是有理數(shù)多一點(diǎn)，因?yàn)橛欣頂?shù)包括分?jǐn)?shù)和自然數(shù)。但是，有理數(shù)的集合與自然數(shù)的集合的元素都是無(wú)限的，無(wú)限對(duì)無(wú)限，怎么用數(shù)學(xué)嚴(yán)格證明自然數(shù)集合與有理數(shù)集合的元素是多還是少呢？

我們可以建立映射來(lái)確定這種關(guān)系，所謂映射，實(shí)際上是一種兩個(gè)集合中元素之間的關(guān)系。我們熟知的函數(shù)就是一種映射。

既是單射又是滿射的映射叫作雙射，也稱一一對(duì)應(yīng)。

相信你一定知道了，如果我們要證明兩個(gè)集合中的元素個(gè)數(shù)相等，可以構(gòu)造一個(gè)映射，使這個(gè)映射既是滿射，又是單射。所以這個(gè)思想我們可以用來(lái)證明有理數(shù)集R與自然數(shù)集N的元素?cái)?shù)相等（一般的，若我們稱為集合X與集合Y等勢(shì)，可簡(jiǎn)記為

我們?cè)俣x一個(gè)概念：若一個(gè)集合A與自然數(shù)集N等勢(shì)，則稱集合A為可數(shù)集（可數(shù)集都是無(wú)限集）。

一個(gè)集合A為可數(shù)集的充分必要條件是它的元素可列成一個(gè)形如的（各項(xiàng)不重復(fù)）無(wú)窮數(shù)列，A的每一個(gè)元素在數(shù)列中僅出現(xiàn)一次。

好，現(xiàn)在我們證明有理數(shù)集R自然數(shù)集N等勢(shì)。

證明：

由有理數(shù)定義：任意一個(gè)有理數(shù)必可寫(xiě)為兩個(gè)整數(shù)之比。

下面我們證明：任意個(gè)可數(shù)集的并都是可數(shù)集。

同樣的，我們只需要變一下正負(fù)號(hào)，就可以得出負(fù)有理數(shù)集R-也是可數(shù)集。于是我們得出有理數(shù)集也是可數(shù)集，所以它也與自然數(shù)集N等勢(shì)。

這樣，我們就嚴(yán)格證明了有理數(shù)和自然數(shù)一樣多。依據(jù)這個(gè)證明思路，我們可以證明整數(shù)也與自然數(shù)一樣多。但是要注意，實(shí)數(shù)是不能與自然數(shù)構(gòu)成雙射的，因?yàn)閷?shí)數(shù)中某些數(shù)，比如π，只能用無(wú)窮級(jí)數(shù)精確表示，不能構(gòu)成映射，而且實(shí)數(shù)也不能排列成無(wú)窮數(shù)列，因?yàn)樗菬o(wú)縫的。