淺談兩類常見集合的區(qū)別

楊園

摘 要：集合是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ).集合是集合論中原始的不定義的概念，只能給出對(duì)集合概念的描述性說(shuō)明，即是“某些指定的對(duì)象集在一起就構(gòu)成了一個(gè)集合”.集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素，顯然“某些對(duì)象”可以是“一些數(shù)”“一些點(diǎn)”“一些圖形”“一些式子”“一些物體”“一些人”等.以“一些數(shù)”為指定對(duì)象構(gòu)成的集合叫做數(shù)集，以“一些點(diǎn)”為指定對(duì)象構(gòu)成的集合叫做點(diǎn)集.在學(xué)習(xí)時(shí)一定要注意區(qū)分這兩類特殊的集合.

關(guān)鍵詞：集合；數(shù)集；點(diǎn)集

一、表示形式的差別

1.用列舉法表示數(shù)集和點(diǎn)集的形式是完全不同的.所謂列舉法，就是把集合中的每一個(gè)元素都一一寫出來(lái).如：

數(shù)集有：{1}，{-1，0}，{a，b，c}等等；

點(diǎn)集有：{（1，2）}，{（0，1），（-1，0）}，{（a，b，c），（d，e，f）}等等.

2.用描述法表示數(shù)集和點(diǎn)集的形式也是完全不同的.所謂描述法，就是把集合中元素的共性提煉出來(lái)并限定范圍.如：

數(shù)集有：{x│x∈R}，{y│y=x2}等等；

點(diǎn)集有：{（x，y）│y=x}，{（x，y）│y=x2}等等.

顯然，從上面例子可以看出，數(shù)集和點(diǎn)集的表示形式是完全不同的.

二、表示意義的差別

例1. A={x│y=x2+1，x∈R}，B={y│y=x2+1，x∈R}，C={y│x=y2+1，y∈R}，D={（x，y）│y=x2+1，x∈R}，試問(wèn)這四個(gè)集合是否表示同一集合？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：從表示形式上可以看出，集合A，B，C是數(shù)集，而集合D是點(diǎn)集，集合D表示的是拋物線上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，故A，B，C與D不是同一個(gè)集合，再看A，B這兩個(gè)集合，A中的元素為x，x是函數(shù)y=x2+1的自變量，即集合A是函數(shù)y=x2+1的定義域，由題意可知A=R；而B中的元素為y，y是函數(shù)y=x2+1的函數(shù)值，即集合B是函數(shù)y=x2+1的值域，由題意可知B={y│y≥1}，顯然這兩個(gè)集合中的元素不完全相同，故不是同一集合.顯然將集合C中x，y全部互換可得：C={x│y=x2+1，y∈R}，顯然它與集合A是同一個(gè)集合.

點(diǎn)評(píng)：顯然從上面例子可以看出數(shù)集和點(diǎn)集的表示意義也是完全不同的.因此遇到集合問(wèn)題，首先就應(yīng)該弄清楚集合的元素是什么？有何表示意義？這樣才不至于引起混淆.

三、集合運(yùn)算上的差別

例2.（1）已知集合M={x│x≥1}，N={y│0≤y≤5}，求M∩N？

（2）已知集合A={（x，y）│4x+y=6}，B={（x，y）│3x+2y=7}，求A∩B？

解：（1）中M，N顯然均是數(shù)集，借助數(shù)軸可知，

M∩N={x│1≤x≤5}；

（2）中顯然是點(diǎn)集，表示的是直線4x+y=6與3x+2y=7的交點(diǎn)構(gòu)成的集合，故有：

4x+y=63x+2y=7，解得x=1y=2，∴A∩B={1，2}.

例3.（1）已知集合M={y│y=x2+2}，N={y│x2=-y+2}，求M∩N？

（2）已知集合A={（x，y）│y=x2+2}，B={（x，y）│x2=-y+2}，求A∩B？

解：（1）中M，N為數(shù)集，由它們所表示的意義可知，M={y│y≥2}，N={y│y≤2}

如圖所示，借助數(shù)軸可知，M∩N={2}.

（2）中A，B為點(diǎn)集，表示的是拋物線y=x2+2與x2=-y+2的交點(diǎn)構(gòu)成的集合，故有：

y=x2+2x2=-y+2，

解得x=0y=2

∴ A∩B={（0，2）}

點(diǎn)評(píng)：由例2，例3可知，數(shù)集與點(diǎn)集在求交并運(yùn)算時(shí)，所用的思想方法和所得的結(jié)果是截然不同的.在求由不等式為條件構(gòu)成的數(shù)集的交集時(shí)，可結(jié)合數(shù)軸，用數(shù)形結(jié)合的思想幫助簡(jiǎn)化思維過(guò)程；在求以方程為條件構(gòu)成的點(diǎn)集的交集時(shí)，則需聯(lián)立方程組求交點(diǎn).

綜上可知，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們一定要時(shí)刻注意數(shù)集和點(diǎn)集的差別，抓住本質(zhì)，以不變應(yīng)萬(wàn)變，這樣才能準(zhǔn)確地解決集合中的相關(guān)問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

[1]沈汝彪.集合論的孕育與誕生[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2000（05）.

[2]朱梧，肖奚安.集合論導(dǎo)引.大連理工大學(xué)出版社，2008-03.

（作者單位 湖北省黃岡中學(xué)）