一道數(shù)學(xué)填空題引發(fā)對(duì)細(xì)節(jié)的思考

李菲燕

摘 要： 數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，教師的發(fā)展就是為了每一位學(xué)生的發(fā)展，但是在教學(xué)過(guò)程中總是容易忽略一些細(xì)節(jié)，這其實(shí)會(huì)阻礙學(xué)生的發(fā)展，要時(shí)刻記得注意細(xì)節(jié)是不容忽視的，只有縝密的教學(xué)語(yǔ)言才能使學(xué)生形成嚴(yán)密的思維方式.

關(guān)鍵詞： 細(xì)節(jié) 集合 區(qū)間 角度制 弧度制

某次考試后的集體改卷中，我們備課組成員對(duì)于該考卷中的某道題目的處理產(chǎn)生了爭(zhēng)議.

填空題13題：求函數(shù)y=sin（2x+）的單調(diào)遞增區(qū)間.

學(xué)生給出的答案有主要有兩種寫(xiě)法：

（1）（kπ-，kπ+）k∈Z（閉區(qū)間也給分）

（2）{x/kπ-

備課組老師有的認(rèn)為（1）的寫(xiě)法比較準(zhǔn)確，有的則認(rèn)為兩者都可作為正確答案.

必修一在第1章第2節(jié)：函數(shù)及其表示中，通過(guò)集合給出區(qū)間的概念，所以區(qū)間是集合，是一個(gè)數(shù)集，但區(qū)間必須指的是一個(gè)連續(xù)的范圍，所以區(qū)間并不等同于集合，或者說(shuō)，并不等同于數(shù)集.在很多情況下，區(qū)間與數(shù)集具有相同的效果，可以相互轉(zhuǎn)化表示某一個(gè)范圍，如：

例1：[1，5]={x/1≤x≤5}，（1，5）={x/1

例2：函數(shù)f（x）=ln（x-6x+5）的定義域：既可以表示成（-∞，1）∪（5，+∞），又可以表示成{x/x<1或x>5}.

例3：函數(shù)f（x）=lg（x-1）既可以說(shuō)在（1，+∞）遞增，又可以說(shuō)在{x/x>1}上是增函數(shù).

那么例1中的單調(diào)區(qū)間的兩種表示方法是否都正確呢？

筆者認(rèn)為，第一種表示方法指的是多個(gè)區(qū)間，當(dāng)k取不同的整數(shù)的時(shí)候，表示不同的區(qū)間，如：k=-1表示區(qū)間（-，-），k=0表示區(qū)間（-，-），k=1表示區(qū)間（，），即k取遍所有整數(shù)時(shí)的各個(gè)區(qū)間，即它不等同于這些集合的并集.而第二種表示法方法指是多個(gè)區(qū)間的并集，即：…∪（-，-）∪（-，-）∪（，）∪…即k取遍所有整數(shù)時(shí)所得區(qū)間的并集.再者，我們了解，對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性，只能在定義域的某個(gè)區(qū)間上進(jìn)行研究，不能將單調(diào)性相同的區(qū)間并起來(lái)，如函數(shù)f（x）=的單調(diào)區(qū)間，學(xué)生容易誤寫(xiě)成：（-∞，0）∪（0，+∞），而正確的寫(xiě)法為：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞），它指的是函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間.所以例1中的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)該是有無(wú)數(shù)多個(gè)，而不是取并集為一個(gè)區(qū)間.這個(gè)問(wèn)題其實(shí)在必修四中正切函數(shù)的性質(zhì)也有所體現(xiàn)：“正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間（-+kπ，+kπ），k∈Z內(nèi)都是增函數(shù).”認(rèn)真觀察我們便會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于單調(diào)區(qū)間，課本是有給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎镜?，即三角函?shù)中的單調(diào)區(qū)間基本都會(huì)用區(qū)間表示.

所以事實(shí)上，數(shù)集和區(qū)間并不能等同，數(shù)集和區(qū)間在其他地方也是有區(qū)別的.例如：對(duì)于離散的數(shù)集，可用集合{1，2，3，4}表示，但不能用區(qū)間表示若給定集合{x/m-1-2，即此區(qū)間一定有意義，不為空集.

所以數(shù)集和區(qū)間并不能簡(jiǎn)單地等同，它們之間存在區(qū)別，我們必須認(rèn)清它們的區(qū)別并正確使用，例如：函數(shù)y=lg（sinx）的定義域正確表示則應(yīng)該為{x/2kπ

總之，區(qū)間的概念是在集合的基礎(chǔ)上給出的，在很多情況下區(qū)間和集合可以相互轉(zhuǎn)化.

其實(shí)在本題中，集合與區(qū)間的區(qū)別僅僅在于后面的k∈Z，比如區(qū)間（，π）與集合{x/

數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在教學(xué)中處處體現(xiàn)其嚴(yán)謹(jǐn)性，這樣學(xué)生才能在學(xué)習(xí)中逐步形成嚴(yán)密的思維方式，在教學(xué)中不能模棱兩可，是就是，不是就不是，容不得半點(diǎn)紕漏，要注意各種細(xì)節(jié)的不同.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，其實(shí)還有很多細(xì)節(jié)需要我們注意，比如此題學(xué)生所寫(xiě)答案除了本文開(kāi)頭兩種外，還有部分學(xué)生的答案為（3）{x/k·180°-75°

對(duì)于這個(gè)答案，備課組老師們大多數(shù)認(rèn)為，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域必須是數(shù)集，而單調(diào)區(qū)間是定義域的一個(gè)子集，所以必須為數(shù)集，那么就必須用弧度制表示，所以這類答案肯定不正確.那么，事實(shí)真是如此嗎？

必修一是在兩個(gè)非空數(shù)集的基礎(chǔ)上給出函數(shù)的概念，于是，在高中教學(xué)中，有很多老師在給學(xué)生介紹弧度制時(shí)都以為了使研究三角函數(shù)時(shí)，使得角與實(shí)數(shù)集一一對(duì)應(yīng)為理由，但真的是如此嗎？事實(shí)上，弧度制和角度制是度量角的兩種不同的方式，而其實(shí)，無(wú)論是角度制還是弧度制，都能使得每個(gè)角都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，也就是說(shuō)，無(wú)是有角度制還是弧度制，都能夠建立三角函數(shù)，三角函數(shù)的定義域及單調(diào)區(qū)間也能用角度制表示，所以筆者認(rèn)為，第（4）種答案也是可以的.那么到底為什么有了角度制還要引入弧度制呢？我們知道角度制為六十進(jìn)制，而弧度制是用長(zhǎng)度單位度量角，是一類十進(jìn)制的實(shí)數(shù)，弧度制的定義巧妙地將長(zhǎng)度單位和角度單位統(tǒng)一起來(lái)，這給研究三角函數(shù)帶來(lái)很大的便利.而且在必修四給出三角函數(shù)的定式義時(shí)：是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么，y叫做α的正弦，即sinα=y，這個(gè)時(shí)候，y的單位為長(zhǎng)度單位，若此時(shí)，角a采用角度制，則它們的單位無(wú)法統(tǒng)一，而弧度制恰恰解決了這個(gè)問(wèn)題.

當(dāng)然，因?yàn)榻嵌戎剖怯媒嵌攘拷?，而弧度制是用長(zhǎng)度度量角，這種方式學(xué)生理解起來(lái)會(huì)有些困難，在教學(xué)中解釋為什么引入弧度制的必要是十分重要的，對(duì)于弧度制的理解，必須貫穿整個(gè)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，即教學(xué)學(xué)習(xí)中都要盡量采用弧度制以便學(xué)生習(xí)慣并掌握弧度制，角度制和弧度制是角的兩同的度量方式，這與用千克，磅度量質(zhì)量一樣，是一種非常重要的認(rèn)識(shí)，弧度制的引入最基本的作用體現(xiàn)在三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)上.

老子曾說(shuō)：“天下難事，必做于易；天下大事，必作于細(xì)?！币龊靡患?，必須從最簡(jiǎn)單最細(xì)微的地方入手，在科學(xué)領(lǐng)域中，細(xì)節(jié)是決定成敗的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)教學(xué)也是如此，在教學(xué)過(guò)程中，一定要注重各種細(xì)節(jié)，即使是教學(xué)語(yǔ)言也要注重細(xì)節(jié)，養(yǎng)成用詞的習(xí)慣，這樣學(xué)生才能吃透課本，深入理解每個(gè)概念，從而真正掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)好數(shù)學(xué).總之，教師的發(fā)展就是為了學(xué)生的發(fā)展，在教學(xué)中，對(duì)細(xì)節(jié)的不忽視、不敷衍，是對(duì)學(xué)生負(fù)責(zé)任的一種體現(xiàn).