計(jì)數(shù)原理易錯(cuò)點(diǎn)梳理

葉朝倫 李燕祥

(云南省玉溪市民族中學(xué))

計(jì)數(shù)原理是高考理科數(shù)學(xué)考查的重要內(nèi)容之一,該問題具有類型多、方法多、變化多、交會(huì)多的特點(diǎn),解題時(shí),稍不注意就會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤,而且有的錯(cuò)誤往往令人難以察覺.基于此,本文梳理常見易錯(cuò)點(diǎn),以幫助讀者加深對有關(guān)基本知識和解題思維的準(zhǔn)確理解與到位認(rèn)識,進(jìn)一步提升解題能力.

1 處理相鄰問題時(shí)，沒有考慮順序問題

例1 6名同學(xué)排成一排,其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有( ).

易錯(cuò)點(diǎn)分析本題易錯(cuò)點(diǎn)是將甲、乙兩人看成一個(gè)整體加以處理時(shí),沒有考慮甲、乙之間的順序問題——是甲左乙右,還是甲右乙左? 特別提醒:

1)一般地,遇到相鄰問題,則應(yīng)將相鄰元素看作一個(gè)整體加以處理,但要注意考慮相鄰元素之間的順序問題(是固定的,還是可變的);

2)一般地,設(shè)正整數(shù)n,m滿足n＞m≥2,若n個(gè)人站成一排,其中m個(gè)人必須排在一起,則不同排法有種.局部整體化分析時(shí),需要考慮順序問題.

2 處理有關(guān)個(gè)數(shù)問題時(shí)，沒有考慮隱含條件

例2用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中偶數(shù)共有( ).

當(dāng)三位數(shù)是偶數(shù)時(shí),應(yīng)滿足個(gè)位是偶數(shù),這里可取0,2,4.

若個(gè)位是0,則只需考慮十位、百位放什么數(shù)字,顯然此時(shí)從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)得到的不同的排列數(shù)符合題意,從而有個(gè)偶數(shù).

若個(gè)位是2,則先從1,3,4,5這四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)放在百位,顯然有4種放法,再從剩余的四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)放在十位,也有4種放法,從而此時(shí)有4×4＝16個(gè)偶數(shù).

若個(gè)位是4,則類似個(gè)位是2 的分析知,有4×4＝16個(gè)偶數(shù).

易錯(cuò)點(diǎn)分析本題易錯(cuò)點(diǎn)是沒有注意到當(dāng)個(gè)位是2或4時(shí),應(yīng)優(yōu)先考慮百位放什么數(shù)字,這是因?yàn)槿粩?shù)的百位不能為零.特別提醒:

1)一般地,若一個(gè)位數(shù)大于2的自然數(shù),則該自然數(shù)的首位不能為零;

2)本題的求解用到了“分類與整合”的思想,這是由個(gè)位數(shù)的不確定而引起的.

3 約束條件較多時(shí)，利用“作差法”

例37人站成一排,若要求甲不站排頭,且乙不站排尾,求不同的排法共有多少種?

易錯(cuò)點(diǎn)分析本題易錯(cuò)點(diǎn)是沒有注意到若甲站排頭,則乙可能站排尾;若乙站排尾,則甲可能站排頭.因此,利用作差法求個(gè)數(shù)時(shí),極易因忽視“甲站排頭同時(shí)乙站排尾”這類特殊情形而導(dǎo)致錯(cuò)誤.特別提醒:

1)求解這類有關(guān)個(gè)數(shù)問題時(shí),要注意“正難則反”思想在解題中的靈活運(yùn)用;

2)一般地,n(n∈N*,且n≥3)個(gè)人站成一排,由左到右分別記作:第1個(gè)位置,第2 個(gè)位置,…,第n個(gè)位置,若甲不站某一個(gè)指定位置,且乙不站另一個(gè)指定位置,則不同排法共有種.

4 約束條件較多時(shí)，考慮不全面

例4有3個(gè)成年男子和2個(gè)男孩應(yīng)邀一起去上海觀光旅游,晚上住在某旅店,該店有A,B,C 三個(gè)房間,房間A 可住3人,房間B可住2人,房間C可住1人.為確保安全,男孩需由成人陪同方可入住,則他們?nèi)胱〉牟煌绞焦灿衉_______種.

要把5人安排入住,可以分兩類:一是只住2個(gè)房間A 和B,2個(gè)小孩都住A 房間,只需挑1個(gè)大人住A 房間,其余2個(gè)大人住在B 房間,共有種;或1個(gè)小孩住A 房間,共有種.二是住在3個(gè)房間,2個(gè)小孩都住A 房間,共有種;或1個(gè)小孩住A 房間,共有種.

易錯(cuò)點(diǎn)分析本題易錯(cuò)點(diǎn)是因?yàn)榧s束條件較多,分類討論時(shí)不能將各種情況考慮全面,所以極易出錯(cuò).

5 沒有厘清“二項(xiàng)式系數(shù)”與“系數(shù)”

例5的展開式中第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是_________,第六項(xiàng)的系數(shù)是_________.

展開式中第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C56＝6.因?yàn)檎归_式中

故所求展開式中第六項(xiàng)的系數(shù)是－6.

易錯(cuò)點(diǎn)分析本題易錯(cuò)點(diǎn)是沒有真正厘清如何具體求解“指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”與“指定項(xiàng)的系數(shù)”.特別提醒:(a＋bx)n(n∈N*)展開式中第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為,第r＋1項(xiàng)的系數(shù)為,具體運(yùn)用時(shí)必須把底數(shù)看作是兩數(shù)之和的形式,否則極易出錯(cuò).

6 沒有厘清“二項(xiàng)式系數(shù)之和”與“系數(shù)之和”

例6已知二項(xiàng)式

(1)若展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,求展開式中含x－1的項(xiàng)的系數(shù);

(2)若展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為256,求展開式中含x－1的項(xiàng)的系數(shù).

令4－r＝－1,得r＝5,故所求展開式中含x－1的項(xiàng)的系數(shù)為

(2)取x＝1,即得的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為(5－1)n＝4n,所以由題設(shè)得4n＝256,所以n＝4.

令2－r＝－1,得r＝3,故所求展開式中含x－1的項(xiàng)的系數(shù)為

易錯(cuò)點(diǎn)分析本題易錯(cuò)點(diǎn)是容易搞混“展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和”與“展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和”這兩個(gè)不同的概念,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.特別提醒:一般地,設(shè)f(x)＝(a＋bx)n(n∈N*),則展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和必為2n;取x＝1,即得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為f(1).

綜上,認(rèn)真學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)原理章節(jié)的知識,梳理常見解題易錯(cuò)點(diǎn),有利于幫助我們不斷積累解題經(jīng)驗(yàn),避免一些常見錯(cuò)誤的產(chǎn)生,逐步提高解題的速度和準(zhǔn)確性.

鏈接練習(xí)

1.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相鄰但不排在兩端,不同的排法共有( ).

2.高考規(guī)定每一個(gè)考場30名學(xué)生,可以編成“五行六列”就坐.若來自同一學(xué)校的甲、乙兩名學(xué)生將同時(shí)排在同一考場考試,要求這兩名學(xué)生前后左右不能相鄰,則甲、乙兩名學(xué)生不同坐法種數(shù)為( ).

5.我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中,有5架“中國殲-15”戰(zhàn)斗機(jī)準(zhǔn)備著艦,如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦,而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦,那么不同的著艦方法有_________種.

鏈接練習(xí)參考答案

(完)