數(shù)列探索性問題分類和對應(yīng)解題思路分析

黃保球

(江蘇省清江中學(xué))

數(shù)列問題是高中數(shù)學(xué)重要的考查題型,主要包含求數(shù)列的通項、數(shù)列求和以及以數(shù)列為載體的綜合問題.近年來,數(shù)列相關(guān)的探索性問題考查頻率在逐漸提升,要求學(xué)生在掌握數(shù)列基礎(chǔ)知識的前提下求解相關(guān)探索性問題,具有一定的綜合性和難度.本文主要介紹三類不同的數(shù)列探索問題:條件探索性問題、結(jié)論探索性問題、存在性探索問題,并結(jié)合例題對不同類型問題的方法和思路進(jìn)行分析.

1 條件探索性問題

與數(shù)列相關(guān)的條件探索性問題常常會給出確切的結(jié)論,要求考生對滿足結(jié)論的條件進(jìn)行分析和探索,運用分析法解題的關(guān)鍵在于從結(jié)論著手找出必要條件.解答條件探索類數(shù)列問題,具體的解題思路如下:

1)根據(jù)問題給出的結(jié)論得到相關(guān)必要條件,結(jié)合已知條件將必要條件轉(zhuǎn)化為具體的關(guān)系式;

2)結(jié)合題意,給關(guān)系式添加限制條件,求解關(guān)系式,即可得到使結(jié)論成立的條件.

例1已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1＝2,{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)2n＋2＋4對任意n∈N*恒成立.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;

(2)各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列{cn}滿足c39＝a1007,且存在正整數(shù)k使c1,c39,ck成等比數(shù)列.若數(shù)列{cn}的公差為d,求d的所有可能取值之和.

分析聚焦第(2)問,首先問題給出已經(jīng)成立的結(jié)論:c1,c39,ck為等比數(shù)列,由該結(jié)論可推導(dǎo)出必要條件.結(jié)合第(1)問的通項公式和條件c39＝a1007可求出c1,c39,ck的表達(dá)式,將其代入必要條件得到具體等式.結(jié)合題意給等式添加限制條件,此時可求得充分條件d的值,進(jìn)而求出d的所有可能取值之和.

解(1)an＝2n,bn＝2n(求解過程略).

(2)當(dāng)d＝0時,符合題意.

當(dāng)d＞0,由c39＝c1＋38d＝2014,可得

ck＝c39＋(k－39)d＝2014＋(k－39)d,將c1,ck帶入中,可得

(2014－38d)[2014＋(k－39)d]＝20142,化簡得kd－39d＝53k－53×77,則

又因為c1＝2014－38d＝38(53－d)＞0,d＞0,所以d＝34,51,52,故d的所有可能取值之和為137.

變式已知數(shù)列{an}是首項為a,公差為1的等差數(shù)列,若對任意n∈N*都有bn≥b8成立,則實數(shù)a的取值范圍為_________.

分析首先對結(jié)論bn≥b8進(jìn)行分析,結(jié)合{an}是遞增數(shù)列且公差為1,可得與a有關(guān)的不等式組,求出的范圍即為a的取值范圍.

解因為,若對任意n∈N*都有bn≥b8,即bn－b8≥0,則,又因為{an}是遞增數(shù)列且公差為1,所以a9＞0且a8＜0,所以解得－8＜a＜－7.

綜上,實數(shù)a的取值范圍為(－8,－7).

2 結(jié)論探索性問題

與數(shù)列有關(guān)的結(jié)論探索性問題主要是根據(jù)具體的條件推導(dǎo)具體結(jié)論或判斷所給結(jié)論的正誤,解答這類問題可采取特例法,即從特殊情況著手分析、探索得到結(jié)論后,驗證一般情況下該結(jié)論成立與否.求解數(shù)列的結(jié)論探索性問題,解題思路通常如下:

1)對問題題意進(jìn)行分析,根據(jù)已知條件對結(jié)論進(jìn)行猜想;

2)通過數(shù)列求通項和前n項和的運算方法,判斷猜想的結(jié)論正確;

3)證明猜想結(jié)論.

例2已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足,且a2＋a4＝2a3＋4,其 中n∈N*.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

分析主要對第(2)問進(jìn)行分析,要比較Tn和2的大小關(guān)系,首先憑借第(1)問{an}的通項公式,求出數(shù)列{cn}的通項公式,分析通項公式的結(jié)構(gòu)特點,采取錯位相減法求解Tn的表達(dá)式為.易得到Tn＜2的大小關(guān)系,故猜想結(jié)論Tn＜2,證明過程即對應(yīng)整個推理過程.

解(1)an＝2n(求解過程略).

(2)結(jié)論為Tn＜2,證明過程如下.

3 存在性探索問題

存在性探索問題是指在已知條件下對與數(shù)列有關(guān)的某一參數(shù)或某一結(jié)論成立存在的可能性進(jìn)行探索,通常運用反證法進(jìn)行解答,即假設(shè)問題給出的結(jié)論成立,在該前提下進(jìn)行邏輯推理,若推斷過程中存在矛盾,則假設(shè)不成立,反之則可得到存在的對應(yīng)具體值.解答數(shù)列的存在性探索問題,常見的解題思路如下:

1)假設(shè)問題中需要探索的存在性條件或結(jié)論成立,得到對應(yīng)的關(guān)系等式;

2)結(jié)合已知條件,對推導(dǎo)得到的關(guān)系等式進(jìn)行驗證;

3)若驗證過程中存在矛盾,對應(yīng)的假設(shè)不成立,該條件或結(jié)論不存在;反之,若無矛盾之處,則假設(shè)成立.

例3設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn＝n2,數(shù)列{bn}滿足),是否存在m使得數(shù)列{bn}中某項bt滿足b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成為等差數(shù)列? 若存在,寫出符合題意的m的個數(shù);若不存在,說明理由.

分析問題對參數(shù)m的存在性進(jìn)行探索,解題時要先求出an,bn的通項公式,假設(shè)存在m使得數(shù)列{bn}中b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差數(shù)列這一結(jié)論成立,則2b4＝b1＋bt,根據(jù)已知條件求出b1,b4,bt的具體表達(dá)式,并代入2b4＝b1＋bt中,判斷等式是否成立.若成立,則可求得參數(shù)m的具體個數(shù),此時應(yīng)結(jié)合m∈N,t∈N*,t≥5進(jìn)行判斷,求出符合結(jié)論的m的個數(shù).

解因為Sn＝n2,Sn－1＝(n－1)2,所以當(dāng)n≥2時,有an＝Sn－Sn－1＝2n－1.

又因為當(dāng)n＝1時,a1＝S1＝1符合an＝2n－1,即{an}的通項公式為an＝2n－1,所以

由題意得2b4＝b1＋bt,則

綜上,當(dāng)m＝6,7,8,9,11,14,17,23,41時,存在t＝43,25,19,16,13,11,10,9,8 滿足題意,即存在m∈N 使得b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差數(shù)列,滿足題意的m有9個.

數(shù)列探索性問題的考查具有一定的意義,不僅要求學(xué)生熟練掌握并運用數(shù)列求通項以及數(shù)列求和方法,還要求學(xué)生具有一定的邏輯思維和創(chuàng)新能力.分析上述三類數(shù)列探索性問題不難發(fā)現(xiàn),不同類型問題對應(yīng)不同的解題策略和思路,學(xué)生應(yīng)熟悉和掌握這些內(nèi)容,才能靈活運用不同方法解題.

(完)