關(guān)注對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)常見解題誤區(qū)

劉 洋

(天津市第三十二中學(xué))

學(xué)生在求解與對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí),常陷入各種解題誤區(qū),以下對(duì)常見的解題誤區(qū)加以歸類解析,以期幫助學(xué)生全面準(zhǔn)確地理解、認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),提高解題效率和解題能力.

1 未注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域而致錯(cuò)

例1函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________.

剖析錯(cuò)解的根源在于忽視了對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log3u單調(diào)遞增,必須滿足u∈(0,＋∞).

求解與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0,a≠0)有關(guān)的函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間時(shí),應(yīng)優(yōu)先考慮其本身的約束條件,即x＞0.

2 未注意函數(shù)圖像的漸近線而致錯(cuò)

例2設(shè)a＞1,則曲線y＝|loga(x＋1)|與直線x＝－3的公共點(diǎn)共有________.

錯(cuò)解如圖1所示,在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝|loga(x＋1)|和x＝－3的圖像,由圖觀察即知所求曲線與直線的公共點(diǎn)共有1個(gè).

圖1

剖析上述錯(cuò)解的根源在于沒有注意到對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax圖像的漸近線——y軸,即直線x＝0,從而所作曲線y＝|loga(x＋1)|的圖像不準(zhǔn)確,由此致錯(cuò).

正解如圖2 所示,先準(zhǔn)確地作出函數(shù)y＝|loga(x＋1)|的圖像,注意該函數(shù)圖像的漸近線為x＝－1;然后再作直線x＝－3,則由圖觀察即知所求曲線與直線的公共點(diǎn)共有0個(gè).

圖2

值得注意的是,在利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像解題時(shí),準(zhǔn)確地作出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵所在.

3 未注意函數(shù)特性的靈活運(yùn)用而致錯(cuò)

例3對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax與二次函數(shù)y＝(a－1)x2－x在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能是( ).

錯(cuò)解如果0＜a＜1,則因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像的開口向下,所以對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減,故選C.

剖析錯(cuò)解的根源在于沒有注意到當(dāng)0＜a＜1時(shí),二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)滿足:一個(gè)是坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)在x軸負(fù)半軸上.故考查二次函數(shù)的圖像時(shí),不但要注意開口方向,而且要注意函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的具體情形.

正解當(dāng)0＜a＜1 時(shí),二次函數(shù)圖像的開口向下,且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn):一個(gè)是坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)在x軸負(fù)半軸上,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

當(dāng)a＞1時(shí),二次函數(shù)圖像的開口向上,且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn):一個(gè)是坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)在x軸正半軸上,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤,又因?yàn)榇藭r(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增,所以選項(xiàng)D 也錯(cuò)誤.故選A.

遇到二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)在圖像方面的交會(huì)問題時(shí),要注意認(rèn)真觀察函數(shù)的圖像,靈活運(yùn)用函數(shù)的特性,加以準(zhǔn)確分析.

4 未注意底數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響而致錯(cuò)

例4如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a＞0,a≠0)在區(qū)間[－1,1]上的最小值為,求a的值.

剖析錯(cuò)解的根源在于分析t的取值范圍時(shí),誤以為指數(shù)函數(shù)t＝ax在[－1,1]上單調(diào)遞增.實(shí)際上,因?yàn)榈讛?shù)a＞0,且a≠1,所以指數(shù)函數(shù)t＝ax在[－1,1]上的單調(diào)性不確定,故應(yīng)加以討論分析.

正解當(dāng)a＞1時(shí),同錯(cuò)解,可得a＝3.

當(dāng)0＜a＜1時(shí),因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)t＝ax在[－1,1]上單調(diào)遞減,所以,所以當(dāng)t＝a時(shí),由題設(shè)知,又0＜a＜1,解得

綜上,a的值為3或.

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解題時(shí),首先要注意底數(shù)與1的大小關(guān)系,若不確定,則應(yīng)分情況討論.一般地,若底數(shù)a＞1,則有ax＞ay?x＞y;若底數(shù)0＜a＜1,則有ax＞ay?y＞x.

5 未注意對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽 必須滿足真數(shù)取遍所有的正數(shù)而致錯(cuò)

例5若函數(shù)f(x)＝ln(ax2＋2x＋1)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

錯(cuò)解依題設(shè),應(yīng)使ax2＋2x＋1＞0在R 上恒成立,所以解得a＞1.

綜上,所求實(shí)數(shù)a∈(1,＋∞).

剖析當(dāng)真數(shù)大于零時(shí),并不能保證真數(shù)一定取遍所有的正數(shù),從而對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域也就不一定是R.例如:函數(shù)y＝lg(x2＋1)中的真數(shù)x2＋1≥1＞0,但對(duì)應(yīng)的y≥lg1＝0,即函數(shù)的值域是[0,＋∞),顯然就不是R.上述錯(cuò)解,實(shí)際上是分析了當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí),實(shí)數(shù)a∈(1,＋∞).

正解依題設(shè),應(yīng)使函數(shù)g(x)＝ax2＋2x＋1的函數(shù)值取遍所有的正數(shù).

當(dāng)a＝0 時(shí),在原函數(shù)f(x)的定義域{x|x＞的約束下,函數(shù)g(x)的函數(shù)值顯然可以取遍所有的正數(shù).

當(dāng)a≠0時(shí),要使二次函數(shù)g(x)的函數(shù)值取遍所有的正數(shù),則應(yīng)使解得0＜a≤1(注意此時(shí)原函數(shù)f(x)的定義域可由g(x)＞0求得).

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,1].

求解本題的關(guān)鍵在于,分析題設(shè)得到真數(shù)ax2＋2x＋1必須取遍所有的正數(shù).

綜上,借誤導(dǎo)悟,有利于迅速提高學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解,同時(shí)也有利于進(jìn)一步提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)以及邏輯推理素養(yǎng).

(完)