超越模型在比較大小問(wèn)題中的應(yīng)用

丁 濤

(青島市黃島區(qū)博文中學(xué))

以函數(shù)為背景的比較大小問(wèn)題,是近年高考的?？碱}型,多以選擇題的形式出現(xiàn),且常出現(xiàn)在壓軸題的位置,學(xué)生因不清楚這類題目的命題原理,因此在高考有限的時(shí)間內(nèi),往往不能快速、準(zhǔn)確地解答問(wèn)題.通過(guò)深入研究,筆者發(fā)現(xiàn)此類問(wèn)題大多以某一函數(shù)為背景,以函數(shù)的性質(zhì)為切入點(diǎn).因此在求解問(wèn)題時(shí)只要準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)型,即可順利解答.筆者發(fā)現(xiàn)常用的函數(shù)模型有以及這兩個(gè)函數(shù)的倒數(shù)函數(shù).下面就針對(duì)這幾個(gè)函數(shù)模型的應(yīng)用進(jìn)行舉例說(shuō)明.

例1下列不等關(guān)系中不正確的是( ).

綜上,故選A.

例2已知,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則a,b,c的大小關(guān)系為( ).

圖1

例3設(shè),則a,b,c的大小關(guān)系為( ).

綜上,c＜b＜a,故選B.

例4已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足b＞1,則a,b,c的大小關(guān)系為( ).

已知b＞1,即lna＞0,c＜0,所以a＞1.

設(shè)函數(shù)g(x)＝lnx－x(x＞0),求導(dǎo)得g′(x)＝,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減,gmax(x)＝g(1)＝ln1－1＝－1＜0,所以lnx＜x(x＞0),所以lna＜a,即

綜上,b＞a＞c,故選A.

處理比較大小問(wèn)題,除了構(gòu)造幾種超越函數(shù)模型外,還要熟悉基本指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像和性質(zhì),以及不同函數(shù)之間的位置關(guān)系.

(完)