淺談排列組合中的站隊(duì)問題

齊航

排列與組合是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中“數(shù)與代數(shù)”學(xué)習(xí)領(lǐng)域的一部分內(nèi)容.在古代春秋時(shí)期就已經(jīng)有了組合數(shù)學(xué)思想的萌芽，由《周易》中對(duì)卦符問題的研究——“易生太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”可見，排列組合是一個(gè)名副其實(shí)的古老數(shù)學(xué)問題 .解答排列組合應(yīng)用問題時(shí)，我們應(yīng)首先弄清楚是排列（有序）問題，還是組合（無序）問題，或者是排列與組合的混合問題.其次，我們要準(zhǔn)確的確定哪一步是“分類”，哪一步是“分步”.排列組合應(yīng)用到實(shí)際生活中，常常令情景變得千頭萬緒，但其中仍蘊(yùn)含著不變的解題規(guī)律.

本文通過一道帶有7個(gè)小問的例題全面且詳細(xì)的列舉出此類問題的解答策略.常用的方法有“直接法”和“間接法”（即剔除不符合限制條件的情況，因而間接法又稱為排除法）.如果問題的正面分的類較多或正面問題計(jì)算較復(fù)雜，而反面問題分的類較少或計(jì)算較簡(jiǎn)便，則用“直接法”較麻煩，往往采用“間接法”.

用“直接法”來解決這類有限制條件的排列問題的基本方法有：特殊元素優(yōu)先排——即以元素為主，優(yōu)先考慮特殊元素的要求，再考慮其他元素；特殊位置優(yōu)先放——即以位置為主，優(yōu)先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置.

例（1）7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？

（2）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

（3）7位同學(xué)站成一排，甲不能站排頭，乙不能站排尾的排法共有多少種？

（4）7位同學(xué)站成一排，其中甲不站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

（5）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

（6）7位同學(xué)站成一排，A、B、C三人互不相鄰共有多少種不同的排法？

（7）7位同學(xué)站成一排，A、B、C三人相鄰共有多少種不同的排法？

1. 兩個(gè)原理的應(yīng)用

（1）7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？

解法一首先，判斷“分類”還是“分步”；其次，確定“分步”之后，第一步：從7個(gè)不同的元素中取出3個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，即A37種排法.第二步：剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列，即A44種排法；最后，利用“分步乘法計(jì)數(shù)原理”，即A37×A44種排法.

解法二分排問題直排處理.把n個(gè)元素排成若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法處理.因7名同學(xué)可在前3后4的位置中隨意站位，再無其他條件，所以兩排可看做一排來處理，其不同站法種數(shù)為A77.

2.直接法

（2） 7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

解本題正面計(jì)算簡(jiǎn)便，故用“直接法”.甲站在中間已經(jīng)固定，讓剩余的6個(gè)元素進(jìn)行全排列即可，即A66種排法.

（3） 7位同學(xué)站成一排，甲不能站排頭，乙不能站排尾的排法共有多少種？

解本題考慮直接法時(shí)首先要選擇分類的標(biāo)準(zhǔn).若以甲為研究對(duì)象，因?yàn)橐也荒苷驹谂盼玻约资欠裾驹谂盼惨芤业挠绊?進(jìn)而分為兩類，第一類：甲站在排尾——由于甲站在排尾，所以同時(shí)滿足了甲不站排頭和乙不站排尾這兩個(gè)條件.從除甲之外的6個(gè)人中任取1人站在排頭，有A16種排法，剩下的5個(gè)人在中間的5個(gè)位置進(jìn)行全排列，有A55種排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有A16×A55種排法；第二類：甲不站在排尾——此時(shí)考慮首位的特殊性，從除甲、乙外的5個(gè)人中任選1人站在排尾，有A15種排法，再?gòu)某缀驼驹谂盼驳娜酥獾?個(gè)人中任選1人站在排頭，有A15種排法，最后將剩余的5個(gè)人在中間的5個(gè)位置進(jìn)行全排列，有A55種排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有A15×A15×A55種排法.最后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理共有A16×A55+A15A15×A55

排法.

3.間接法

（3）7位同學(xué)站成一排，甲不能站排頭，乙不能站排尾的排法共有多少種？

解“間接法”.正面計(jì)算此題時(shí)，分類之后每一類下又會(huì)有分步情況，情況復(fù)雜，不易解決，可考慮從反面入手，將其等價(jià)轉(zhuǎn)化成一個(gè)較為簡(jiǎn)單的問題來處理，故采用“間接法”.不妨取名記為“正難則反”.計(jì)算甲站排頭的排法，有A66種，同理乙站排尾也有A66種，用7個(gè)元素全排列減去甲站排頭和乙站排尾的情況，即A77-2A66種.此時(shí)，很容易遺漏甲站排頭和乙站排尾兩種條件下，有一種情況重復(fù)了，即甲站排頭同時(shí)乙站排尾的情況，有A55種排法.這一種情況我們減掉了兩次，故應(yīng)該在其基礎(chǔ)上再加回一次，即A77-2A66+A55種排法.

（4）7位同學(xué)站成一排，其中甲不站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

解甲不站在中間，則有6種可能的站法，正面分類復(fù)雜，計(jì)算繁瑣，故采用“正難則反”的方法.由例（2）知，7個(gè)元素全排列減去甲站在中間的排法即得到甲不在中間的排法，即A77-A66種排法.

4.特殊元素（位置）優(yōu)先法

（4） 7位同學(xué)站成一排，其中甲不站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

解安排甲時(shí)要求其不站在中間的位置，所以這是有限制條件的排列問題，應(yīng)先考慮特殊元素——甲，或者特殊位置——中間，再考慮其他情況.

解法一特殊元素優(yōu)先排——因甲不能站在中間，故第一步先讓甲站在除了中間的任一位置上，有A16種排法；第二步再讓剩下的6個(gè)人站在剩余的六個(gè)位置上，有A66種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有A16×A66種排法.

解法二特殊位置優(yōu)先放——因中間不能站甲，故第一步先從甲以外的6個(gè)人中任選一人站在中間，有A16種排法；第二步再讓剩下的6個(gè)人站在除中間外的六個(gè)位置上，有A66種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有A16×A66種排法.

（5） 7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

解法一特殊元素優(yōu)先排——首先考慮特殊元素，讓甲、乙站在兩端，有A22種排法；再讓其他5個(gè)人在中間的五個(gè)位置上做全排列，有A55種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有A22×A55種排法.

解法二特殊位置優(yōu)先放——首先考慮兩端2個(gè)位置，讓甲、乙站在兩端，有A22種排法；再考慮中間5個(gè)位置，由剩下的5個(gè)人去站，有A55種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有A22×A55種排法.

5.插空法

（6）7位同學(xué)站成一排，A、B、C三人互不相鄰共有多少種不同的排法？

解“插空法”——對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素在這些排好的元素之間及兩端的空隙中插入.首先將除A、B、C三人之外的4個(gè)人進(jìn)行全排列，有A44種排法.四個(gè)人排列之后產(chǎn)生了5個(gè)空位，再?gòu)?個(gè)位置中任選3個(gè)位置，將A，B，C進(jìn)行全排列，有A35種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有A44×A35種排法.

6.捆綁法

（7）7位同學(xué)站成一排，A、B、C三人相鄰共有多少種不同的排法？

解“捆綁法”——對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來看作一個(gè)元素與其他元素排列然后再對(duì)相鄰元素之間進(jìn)行排列.首先將A、B、C三人進(jìn)行全排列，有A33種排法.再將三人看成一個(gè)整體，與剩余的四個(gè)人進(jìn)行全排列，有A55種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有A33×A55種排法.

通過幾例“站隊(duì)”問題映射出了排列應(yīng)用題的六種解題策略.其中，應(yīng)用分步排位的方法計(jì)算排列數(shù)時(shí)，應(yīng)注意以下三個(gè)方面：①在題設(shè)條件制約下，每一步排位，哪些元素可取，哪些元素不能??；②在某一步排位后，下一步排位可取元素的個(gè)數(shù)，應(yīng)視具體情況而定；③若某一步必須分類，則分類后各步都必須按各類分別計(jì)算.例（4）和例（5）都是帶有限制條件的排列問題，此類問題應(yīng)對(duì)特殊的元素或者特殊的位置進(jìn)行優(yōu)先考慮.例（6）和例（7）是典型的“鄰不鄰”問題.對(duì)于有些元素必須要安排在一起，我們常用“捆綁法”.把它們視為一個(gè)整體，即先排整體內(nèi)部的元素，再把整體視為一個(gè)個(gè)體，一個(gè)大“元素”與其他元素一起排列即可.對(duì)于有些元素不能安排在一起，也就是需要間隔，我們把這類有部分元素不能相鄰的排列問題稱為間隔排列問題.解決間隔排列問題的有效方法是“插空法”，也就是先排不需要間隔（可以相鄰）的元素，再將需要間隔的元素用插空方式插進(jìn)來即可.

三、總結(jié)

解決排列組合問題的基本規(guī)律可以用16個(gè)字來概括：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合.“站隊(duì)”問題的解題方法特殊，抽象性強(qiáng)，思維方法新穎.在解這類題時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)對(duì)題設(shè)認(rèn)識(shí)不夠，題設(shè)中的內(nèi)涵關(guān)系理解不透，題設(shè)結(jié)論之間的聯(lián)系分析不盡而出現(xiàn)解題思路受限，條件應(yīng)用考慮不周，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)重復(fù)、遺漏甚至答非所問的情況 .本文通過對(duì)兩類問題的解題規(guī)律和解題方法進(jìn)行探究，從千差萬別的實(shí)際問題中探究出數(shù)學(xué)模型，方便理解和記憶排列組合題型中的多種分類標(biāo)準(zhǔn)和解題方法.排列組合的內(nèi)容雖然在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中所占比重不大，但卻是今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ).而且通過排列組合的學(xué)習(xí)，可以變換學(xué)生的思維方法，這也是培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)、優(yōu)化思維過程的一個(gè)重要方面.

（收稿日期：2014-11-10）