插空法巧解題

黃旭軍

上課鈴響起，小張同學(xué)正想把兩本課外書放到最上層書架上時(shí)，阿木老師走進(jìn)了教室，大叫一聲：“停！”然后拿起手機(jī)，把書架拍了下來(lái)。

各位同學(xué)看得莫名其妙。老師把拍好的照片投影出來(lái)，說(shuō)：“剛才小張同學(xué)要把兩本不同的課外書放在最上層的4本書中，共有幾種放法？”同學(xué)們恍然大悟，原來(lái)阿木老師又想到新題了。這個(gè)題目看似簡(jiǎn)單，卻有種“有力無(wú)處使”的感覺。有些同學(xué)用枚舉法一個(gè)個(gè)列出來(lái)，也不敢保證是否有重復(fù)和遺漏。

阿木老師說(shuō)：“其實(shí)很簡(jiǎn)單，我們只要把4本書看成5個(gè)空隙，放第一本書時(shí)，這5個(gè)空隙就是5個(gè)不同的位置！”

“哦，然后放第二本時(shí)，就有了6個(gè)空隙，就有6種了，那么一共就是5×6=30（種）！”數(shù)學(xué)課代表接著回答。

“真棒！”阿木老師點(diǎn)點(diǎn)頭，“這種通過(guò)找空隙插入的方法稱為插空法，其優(yōu)點(diǎn)大家都看到了，是不是很方便??？”阿木老師一說(shuō)完，同學(xué)們紛紛懇求他傳授數(shù)學(xué)“絕招”。

例1

把1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字1、2不相鄰的5位數(shù)，則所有不同排法有多少種？

觀察開始

把1、2、3、4、5排成1、2不相鄰且數(shù)字不重復(fù)的5位數(shù)是排列組合問(wèn)題。其中，問(wèn)題的關(guān)鍵在于1和2是不相鄰的。

常規(guī)思路

我們先來(lái)思考1和2相鄰的情況。當(dāng)1和2相鄰時(shí)，有2種排列情況：12和21。

接下來(lái)，我們把12和21當(dāng)做一個(gè)整體，分別與3、4、5進(jìn)行排列，共有2×4！=48（種）排法。

如果不考慮相鄰的情況，共有5！=120（種）排法。

因此1、2不相鄰的排法有120-48=72（種）。

另辟蹊徑

下面我們來(lái)試試插空法：

先將3、4、5三個(gè)元素排定，共有3！=6（種）排法，然后再將1、2分別插入3、4、5的4個(gè)空位中，共有4×3=12（種）排法。

根據(jù)乘法原理，所有排法共有6×12=72（種）。

答：一共有72種排法。

例2

6個(gè)白球排成一隊(duì)，再加3個(gè)黑球，請(qǐng)問(wèn)一共有多少種排法？

觀察開始

又是一道排列組合類的題目。這道題目很簡(jiǎn)單，但是我們解答起來(lái)比較麻煩。

常規(guī)思路

我們先用枚舉法列出所有可能?！癘”表示白球，“●”表示黑球。

第一類：3個(gè)黑球排在一起，共有以下7種排法。

第二類，2個(gè)黑球排一起;第三類，1個(gè)黑球單獨(dú)排……

經(jīng)過(guò)復(fù)雜的排列，共有504種排法。

另辟蹊徑

我們用插空法求解，這樣更簡(jiǎn)便。

6個(gè)白球算上兩端共有7個(gè)空：

我們先放第一個(gè)黑球，有7種放法。放好后，共有7個(gè)球了，再放第二個(gè)黑球時(shí)就有8個(gè)空。排最后一個(gè)黑球時(shí)就有9個(gè)空了。所以共有7×8×9=504（種）。

答：共有504種排法。

訓(xùn)練一二一

在一張節(jié)目單中原有6個(gè)節(jié)目，若保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去3個(gè)節(jié)目，則不同的添加方法共有多少種？

（答案見下期）

上期答案：1. 11厘米。2. 一組是14（2個(gè)7），33（1個(gè)11和1個(gè)3），75（2個(gè)5和1個(gè)3），169（2個(gè)13）;另一組是30，35，39，143。