數(shù)學(xué)資優(yōu)教育視域下的“學(xué)材再建構(gòu)”案例研究
——以勾股定理及其應(yīng)用為例

重慶市第八中學(xué)校(400030) 程 燦

重慶八中宏帆中學(xué)校(400021) 宋俐瑩

1 問題提出

何為資優(yōu)教育,李翠翠(2019)指出資優(yōu)教育亦稱為天才教育、英才教育、超常教育,是現(xiàn)代學(xué)校教育的一種理念,其邏輯起點是維護教育公平,并充分發(fā)揮資優(yōu)生的優(yōu)異才能,為社會輸送創(chuàng)新型人才[1].資優(yōu)教育一直關(guān)注人才的資質(zhì)及其對應(yīng)的培養(yǎng)方式,為創(chuàng)新人才的培養(yǎng)提供了重要保障.何為數(shù)學(xué)資優(yōu)生,劉永東(2017)認(rèn)為數(shù)學(xué)資優(yōu)生是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上具有思路清晰、敏捷的思維能力,同時具備較好的概況能力和創(chuàng)造能力的學(xué)生[2].數(shù)學(xué)資優(yōu)教育在創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)與選拔中發(fā)揮著不可替代的作用.目前國內(nèi)培養(yǎng)數(shù)學(xué)資優(yōu)生的主要途徑有各類競賽培訓(xùn)活動、理科實驗班、課程改革融合班等.由于我國數(shù)學(xué)資優(yōu)教育的研究起步較晚,系統(tǒng)制定和精心修訂的課程、教材還比較缺乏,初中數(shù)學(xué)資優(yōu)教育還在摸索中前行.

2017年,國家級教學(xué)成果獎一等獎獲得者李庾南及團隊在“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法原有理論和實踐的基礎(chǔ)上,提出“學(xué)材再建構(gòu)、學(xué)法三結(jié)合、學(xué)程重生成”的“三學(xué)”操作規(guī)則.李庾南認(rèn)為對“學(xué)材”再建構(gòu),是指根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)情對原教材的內(nèi)容進行增減,對教材中知識呈現(xiàn)的順序和詳略,知識呈現(xiàn)的背景、方式、方法及學(xué)習(xí)的策略等進行調(diào)整或重組[3].針對數(shù)學(xué)資優(yōu)生的培養(yǎng),我們的步子也許還可以更大,只要基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ),順應(yīng)學(xué)生最近發(fā)展區(qū),有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)分析、解決問題能力培養(yǎng)的重構(gòu)學(xué)材都可以納入資優(yōu)教育教學(xué)實際中.

筆者結(jié)合初中課改融合班任教經(jīng)歷,在數(shù)學(xué)資優(yōu)教育視域下嘗試對北師大版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》(以下簡稱“教材”)中勾股定理及應(yīng)用相關(guān)內(nèi)容進行整合,并做分析、研究.

2 案例呈現(xiàn)與研究

2.1 教材內(nèi)容安排

教材中勾股定理相關(guān)內(nèi)容安排見表1,內(nèi)容編排遵循整套教材的知識螺旋式展開、遞進之體例.八年級上冊第1 節(jié)第1 課時主要是在網(wǎng)格中探索、驗證勾股定理,并簡單應(yīng)用勾股定理.教材先作出幾個以格點為頂點的直角三角形,分別以三角形的各邊為正方形的一邊,向三角形外作正方形,分別利用直接數(shù)小正方形個數(shù)或割補拼湊來表示每個正方形的面積,由此得出直角三角形邊長平方關(guān)系.第1 節(jié)第2課時去掉網(wǎng)格,利用“趙爽弦圖”等驗證勾股定理.同時在“議一議”環(huán)節(jié)中,給出網(wǎng)格背景下的斜三角形(鈍角三角形或銳角三角形),讓學(xué)生判斷其三邊是否還滿足a2+b2=c2.第2 節(jié)主要通過給幾組三角形的邊長,讓學(xué)生判斷這些三角形是否為直角三角形,并與同伴交流,教材正文未給出勾股定理逆定理的證明.第3 節(jié)主要內(nèi)容為勾股定理應(yīng)用,主要解決立體圖形側(cè)面最短路徑問題.下冊第2 節(jié)正文部分嚴(yán)格論證了勾股定理逆定理,并在“讀一讀”材料中給出了歐幾里得在《幾何原本》中證明勾股定理的大致過程.

表1 勾股定理相關(guān)內(nèi)容分布

2.2 學(xué)材建構(gòu)思路

熊斌(2018)認(rèn)為普通教育數(shù)學(xué)課程(特別是義務(wù)教育階段)反映的是大眾數(shù)學(xué),較少考慮數(shù)學(xué)資優(yōu)生的需要[4].筆者認(rèn)為針對數(shù)學(xué)資優(yōu)生的勾股定理教學(xué)可以做一些新的嘗試,比如縱向整合上、下兩冊教材相關(guān)內(nèi)容,理順內(nèi)容之間的邏輯順序,設(shè)計結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示.

圖1

對勾股定理的探究可以始于網(wǎng)格驗證,但落腳必須高于此,雖然勾股定理和斜三角形中邊角關(guān)系的推理證明等已經(jīng)超出《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)要求,但對數(shù)學(xué)資優(yōu)生而言,如果在課堂上不用跳就摘到“桃”,那這樣的“桃”是沒有多大魅力和價值的.因此,為了數(shù)學(xué)資優(yōu)生的能力最大化發(fā)展,在學(xué)材建構(gòu)過程中,除了縱向整合,還可以適度橫向拓展、加深.比如可以提出啟發(fā)學(xué)生思考的問題:

(1)給定直角三角形某兩邊,第三邊長度唯一確定嗎?

(2)為什么要開門建山地研究線段的平方關(guān)系而不是研究線段的線性等量關(guān)系?

(3)在網(wǎng)格中對構(gòu)造的三個正方形面積關(guān)系的研究畢竟只是一種直觀驗證,是否可以通過演繹推理證明勾股定理?

(4)在斜三角形中,三邊關(guān)系a2+b2=c2還成立嗎?

如果能讓資優(yōu)生順應(yīng)這些新的嘗試,且從這些深度探究問題的解決過程中獲得靈感,其分析問題、解決問題的能力必定更上一層.

2.3 學(xué)材建構(gòu)案例分析

案例1執(zhí)教第1 課時,筆者首先選擇在網(wǎng)格中驗證勾股定理,并對網(wǎng)格中的驗證進行變式,讓格點直角三角形三條邊都不與網(wǎng)格的水平和豎直線重合,學(xué)生從直接數(shù)單位小正方形個數(shù)求面積,變成了通過割、補來計算三個正方形面積,實現(xiàn)了難度的提升;接著,去掉網(wǎng)格,讓學(xué)生思考,又該如何驗證,因為在網(wǎng)格計算中學(xué)生有將正方形“改斜歸正”地割、補的探究經(jīng)驗,學(xué)生再來理解“趙爽弦圖”就會容易得多;最后,賞析八年級上冊教材閱讀材料“漫話勾股定理”中的其他驗證方法.第2 課時,介紹八年級下冊教材閱讀材料“勾股定理的證明”中的歐幾里德證法,如圖2,ΔFAB面積為正方形GFAC面積的一半,ΔCAD面積為矩形AMND面積的一半,又因為ΔFAB≌ΔCAD(SAS),故ΔFAB面積等于ΔCAD面積,所以正方形GFAC面積等于矩形AMND面積.同理,正方形HCBI面積等于矩形MNEB面積,故AC2+BC2=AB2.這一證明十分優(yōu)美,極大地開拓了學(xué)生眼界.另外,在網(wǎng)格背景下通過計算可判斷鈍角三角形兩短邊的平方和小于最長邊的平方,銳角三角形兩短邊的平方和大于最長邊的平方.提出兩個思考問題:

圖2

問題1去掉網(wǎng)格背景,任意斜三角形三邊平方的不等關(guān)系還成立嗎?

問題2不等關(guān)系能否轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系,即鈍角三角形兩短邊的平方和比最長邊的平方小多少,銳角三角形兩短邊的平方和比最長邊的平方大多少?

解答1如圖3,鈍角ΔABC中,∠ACB >90°,按照前面的證明思路,有AC2=S正方形GF AC=S矩形PFAQ?S矩形P GCQ=S矩形ADNM?S矩形P GCQ,故AC2S矩形ADNM.同理,BC2>S矩形MNEB,故AC2+BC2>S矩形ADNM+S矩形MNEB=S正方形ADEB,即AC2+BC2>AB2.

圖3

圖4

解答2如圖4,S矩形P GCQ=CG·CQ=AC·BC·cos ∠ACB,故AC2=S矩形ADNM+AC·BC·cos ∠ACB,同 理,BC2=S矩形MNEB+BC·AC·cos ∠ACB,故AC2+BC2=AB2+2AC·BC·cos ∠ACB.思考問題2 竟與余弦定理產(chǎn)生了關(guān)聯(lián),同時鈍角三角形中的等量關(guān)系與鈍角的余弦定義以及誘導(dǎo)公式等知識有關(guān),這些知識已超出《標(biāo)準(zhǔn)》要求,因此課堂上僅提出思考,可供資優(yōu)生課后自主探究.

案例2在處理勾股定理應(yīng)用一節(jié)時,筆者發(fā)現(xiàn)教材中的引例可以橫向拓展.

例有一個圓柱,它的高等于12cm,底面上圓的周長等于18cm.在圓柱下底面的點A有一只螞蟻,它想吃到上底面與點A相對的點B處的食物,沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少?

(1)自己做一個圓柱,嘗試從點A到點B沿圓柱側(cè)面畫出幾條線路,你覺得哪條線路最短呢?

(2)將圓柱側(cè)面展開成一個長方形,從點A到點B的最短路線是什么? 你畫對了嗎?

(3)螞蟻從點A出發(fā),想吃到點B處的食物,它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少?

解析經(jīng)分析,螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是圓柱側(cè)面展開圖中線段AB的長,AB=

以上三個問題難度不大,但考慮到螞蟻沿圓柱表面爬行時,只從側(cè)面走未必是最近的.隨后筆者在課堂上提出“如果圓柱不是開口的,而是加蓋的,螞蟻怎樣爬行路程最短”.起初,這一問題并還沒有引起學(xué)生的重視,大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為不會影響答案,只有少部分學(xué)生開始動筆演算,越算越覺得問題并沒有那么簡單,慢慢的課堂靜了下來,學(xué)生頭腦動起來了.

在充分思考后,有學(xué)生提出可以引入字母來表示數(shù)量,如設(shè)圓柱體高為h,底面圓直徑為d,則要比較h+d與的大小,需分類討論:當(dāng)·d時,有故先沿著母線,再沿著上底直徑爬行,路程更短;當(dāng)h >·d時,沿著圓柱側(cè)面展開圖中連線AB爬行,路程更短;否則,兩種方式路程相同.還有同學(xué)提出是否有更短的路程,螞蟻會不會從側(cè)面爬行至上底面圓上某點,再從這一點向B點爬行.事實上,這一追問頗有難度,已經(jīng)超出了課堂預(yù)設(shè),囿于課堂時間,將這一問題留作課后思考,筆者課后及時將問題整理如下.

如圖5,螞蟻先沿著側(cè)面爬行至上底面⊙O上一點D,再沿著線段DB爬行至點B,爬行路程除了與圓柱體高h與底面圓直徑為d有關(guān)外,還與∠COD有關(guān),設(shè)∠COD=θrad,則爬行路程為曲線AD與線段DB的長度之和,表示為利用求導(dǎo),得出當(dāng)時,l(θ)最短.

圖5

3 結(jié)語

以上案例是筆者根據(jù)資優(yōu)生勾股定理及其應(yīng)用的教學(xué)需要,基于教材展開的內(nèi)容更豐富、邏輯更自然的教學(xué)設(shè)計.以教材內(nèi)容為核心,進行恰當(dāng)?shù)目v向整合,不斷深化對勾股定理的認(rèn)知,切實鞏固“四基”;調(diào)整教材內(nèi)容順序,將閱讀材料、學(xué)生課堂生成的問題等內(nèi)容也納入到課堂教學(xué)中,將學(xué)材橫向拓展,讓學(xué)生在多種活動和學(xué)材中體驗知識生長,很大程度上提升了課堂教學(xué)的容量;歐幾里得證法變形后為斜三角形的研究理順了研究思路.同時,將立體圖形側(cè)面最短路徑進一步拓展,變單一結(jié)論為分類討論,無不體現(xiàn)從相同的模型范式中尋求更高能力的思維生成.

初中數(shù)學(xué)資優(yōu)教育需要教師根據(jù)教學(xué)實際情況,從教材內(nèi)容、學(xué)生提問等方面提取有效、高質(zhì)的“學(xué)材”,需要縱橫延伸,需要教師具備“學(xué)材再建構(gòu)”能力,以追求學(xué)生的最大發(fā)展.