教材一個(gè)例子引發(fā)的思考
——橢圓中一個(gè)定值問題

廣東省揭陽市揭陽第一中學(xué)(522000) 張喜金

課堂教學(xué)與反思相輔相成,即要掌握好基礎(chǔ)知識基本方法,也在拓展其內(nèi)在屬性,找出看似沒關(guān)的內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系,更容易讓學(xué)生掌握并學(xué)會(huì)應(yīng)用.

圓錐曲線的“兩率”(斜率、離心率)問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考命題者的“必爭之地”,在高考數(shù)學(xué)試題中,圓錐曲線中的斜率的積為定值的問題經(jīng)常亮相,重點(diǎn)考查,已經(jīng)成為高考數(shù)學(xué)試題中繞不開的“情結(jié)”,值得我們探討研究.

下面就教材(選擇性必修第一冊)的例題進(jìn)行思考:

1 問題探索

例題如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(?5,0),B(5,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是求點(diǎn)M的軌跡方程.

思考例題求得點(diǎn)M的軌跡方程為1(x ?=±5),其軌跡是除去(?5,0),(5,0)兩點(diǎn)的橢圓.可見例題是由斜率積得到了橢圓,對于這個(gè)具體的橢圓,直觀形象的體現(xiàn)了焦點(diǎn)在x軸的上的橢圓上異于左右頂點(diǎn)A,B的任一點(diǎn)M,直線AM,BM的斜率之積是定值簡單求法,內(nèi)蘊(yùn)十足,那么,對于一般的橢圓=1(a>b>0),是否具備這樣的特征?

探究橢圓=1(a >b >0) 左右頂點(diǎn)A(?a,0),B(a,0),M(x,y)在橢圓上(異于A,B),則kAM=所以kAM·kBM==

總結(jié)由此可以看出,橢圓上異于左右頂點(diǎn)A,B的另一點(diǎn)M與左右頂點(diǎn)連線斜率的乘積為定值,即kAM·kBM=

延伸焦點(diǎn)在y軸上的橢圓=1(a>b>0)也是有相似特征,可得kAM·kBM=其中A,B是上下頂點(diǎn).

進(jìn)一步思考:A,B兩點(diǎn)是長軸端點(diǎn),關(guān)于原點(diǎn)對稱,那是否可以是短軸端點(diǎn)呢? 是否可以是更一般的關(guān)于原點(diǎn)對稱的橢圓上任兩點(diǎn)呢?

結(jié)論1設(shè)橢圓=1(a>b>0)上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(?x1,?y1),P(x0,y0)在橢圓上(異于A,B),且直線PA,PB斜率存在,則kP A·kP B=

證明A(x1,y1),P(x0,y0) 坐標(biāo)代入橢圓方程得兩式作差得即即

結(jié)論2焦點(diǎn)在y軸的橢圓=1(a>b>0)上,有

結(jié)論1、結(jié)論2 得到斜率積為定值,前提條件是A,B關(guān)于原點(diǎn)對稱或A,B連線過原點(diǎn),結(jié)論如果換成雙曲線,同樣有相似性質(zhì)成立.以上這個(gè)性質(zhì)在圓錐曲線問題中起到了化繁為簡的作用,使得很多問題的解決變得有章可循,直奔問題的本源.

2 結(jié)論應(yīng)用舉例

例1已知橢圓C:=1(a >b >0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,直線l過點(diǎn)B且與x軸垂直,點(diǎn)P是橢圓C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),直線AP與直線l交于點(diǎn)M,若OM⊥PB,則橢圓的離心率是____.

分析注意到題目涉及三個(gè)斜率kP A,kP B,kOM,如圖所示,則

又因?yàn)镺M⊥PB,所以

又

解析由分析①②③可得又kP A=所以所以e==

強(qiáng)化訓(xùn)練1如圖,A1,A2為橢圓=1 的長軸的左、右端點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),S,Q,T為橢圓上不同于A1,A2的三點(diǎn),直線QA1,QA2,OS,OT圍成一個(gè)平行四邊形OPQR,求|OS|2+|OT|2的值.

分析平行四邊形OPQR中,斜率可轉(zhuǎn)移,即直線QA1斜率與直線OS斜率相等,直線QA2斜率與直線OT斜率相等.

解析設(shè)Q(x,y),T(x1,y1),S(x2,y2),直線QA1,QA2的斜率分別為k1,k2,則直線OT,OS的斜率分別為k1,k2,由分析可得k1k2=所以|OT|2=x21+k21x21=同理|OS|2=因此

評注問題的本質(zhì)在于斜率的轉(zhuǎn)移與斜率積為定值,把握住內(nèi)在規(guī)律,化繁為簡.

3 聯(lián)結(jié)中點(diǎn)弦問題

結(jié)論3由圖可知OM//PB,故kOM=kP B,又因?yàn)閗P A·kP B=所以kP A·kOM=即中點(diǎn)弦問題.

結(jié)論4同樣的,對于橢圓=1(a >b >0)任意一條弦CD(斜率存在且非零),弦CD的中點(diǎn)為N的時(shí)候,則kON·kCD=

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為:學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是對知識進(jìn)行“再創(chuàng)造”,所以,在我們學(xué)習(xí)中有必要對例題、試題進(jìn)行延伸與拓展.

4 中點(diǎn)弦問題應(yīng)用

例2已知橢圓+y2=1.

(2)求斜率為2 的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程;

(3)過A(2,1)引橢圓的割線,求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

分析設(shè)涉及弦兩端點(diǎn)分別為M(x1,y1),N(x2,y2),線段MN的中點(diǎn)P(x,y),由上面結(jié)論3 可以知道:(1)當(dāng)AP不平行坐標(biāo)軸時(shí),kl·kOP=再補(bǔ)充說明特殊情況即可.

解析由分析知(1)由點(diǎn)得kOP=1,得kMN=故所求直線方程為:y?即2x+4y?3=0.代入橢圓方程x2+2y2=2 得符合題意,2x+4y?3=0 為所求.

(2)由題意kl=2 恒成立,代入可得kOP=是定值,故知P軌跡為過原點(diǎn)且斜率為的線段,由解得所求軌跡方程為:x+4y=

(3)過A的直線不平行坐標(biāo)軸時(shí),將代入kl·kOP=得x2+2y2?2x?2y=0(x ?=2,x ?=0),當(dāng)過A的直線平行x軸或y軸時(shí),可得弦中點(diǎn)為(0,1)或(2,0)滿足上式方程,故所求軌跡方程為:x2+2y2?2x?2y=0.

評注本題利用中點(diǎn)弦模型,即弦所在直線的斜率與弦中點(diǎn)和原點(diǎn)所在直線的斜率相乘的定值關(guān)系,簡單快速的解決了學(xué)生平常覺得困難的問題.考生實(shí)踐做題時(shí),對于中點(diǎn)弦模型基本用上面結(jié)論可輕松解決,掌握了相關(guān)結(jié)論的內(nèi)涵及外延可以完善知識結(jié)構(gòu)和構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò),在考試中可以迅速找到解題的切入點(diǎn)與突破點(diǎn).

另外,做為解答題解決橢圓中點(diǎn)弦問題可用點(diǎn)差法:利用端點(diǎn)在曲線上,坐標(biāo)滿足方程,將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程,然后作差,構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)斜率得到定值關(guān)系再進(jìn)行求解.

強(qiáng)化訓(xùn)練2(1)過點(diǎn)M(1,2)作直線l:y=+m與橢圓=1(a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn),若M是線段AB的中點(diǎn),則該橢圓的離心率是( ).

(2)已知橢圓E:=1(a >b >0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,?1),則E的方程為______.

(3)橢圓E:mx2+ny2=1 與直線l:x+y=1 相交于A,B兩點(diǎn),過AB中點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)連線斜率為則=( ).

分析作為選擇題或填空題,應(yīng)用相應(yīng)結(jié)論可快速解決問題,根據(jù)結(jié)論3 在(1)小題中,kl·kOM=且kl=kOM=2 可求得的值;在(2)小題中kl·kOM=kF M·kOM=結(jié)合F(3,0) 可得的值;(3)小題中kl·kOM=

解析(1)由分析可得所以該橢圓的離心率

(2)由已知c=3,kl·kOM=kF M·kOM=·(?1)=所以即a2=2b2.又a2=b2+c2=b2+9,所以b2=9,a2=18,即E的方程為

強(qiáng)化訓(xùn)練 3如圖,已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(?4,0),F2(4,0),過 點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B,且|F1B|+|F2B|=10,橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件:2|F2B|=|F2A|+|F2C|.

(1)求該橢圓的方程;

(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo);

(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍.

研究區(qū)內(nèi)土壤總體偏酸性，養(yǎng)分含量較為豐富，但部分地區(qū)缺乏有機(jī)質(zhì)、速效鉀，大部分地區(qū)微量元素缺乏。除此之外，高等級地土層厚度、灌溉保證率等立地條件、理化性狀較好，基本不受限制；中等級地受部分土層厚度、灌溉保證率的影響，存在一定限制性；低等級地土層厚度、耕層質(zhì)地、灌溉保證率影響較大，存在較多限制性因素。

分析利用定義或待定系數(shù)法可解決橢圓方程,利用兩點(diǎn)距離公式可解決|F2A|,|F2C|,同時(shí)可知道弦AC的中點(diǎn)落在線段BB′上,對于(3)小題,設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),由前面可知y0=kx0+m,根據(jù)定值kOP·kAC=且kAC=可得所以kx0=則m=y0?kx0=結(jié)合y0范圍可求得m范圍.

解析(1)由橢圓定義及條件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以故橢圓方程為

(2)由點(diǎn)B(4,yB) 在橢圓上,得|F2B|=|yB|=有因?yàn)橛纱说贸鰔1+x2=8.設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0==4.

(3)由分析可得4k=(當(dāng)k=0 時(shí)也成立).由點(diǎn)P(4,y0) 在弦AC的垂直平分線上,得y0=4k+m,所以m=y0?4k=由點(diǎn)P(4,y0)在線段BB′(B′與B關(guān)于x軸對稱)的內(nèi)部,得所以

評注此題考查直線、橢圓等綜合知識,前兩問較簡單,第三問巧妙地借助中垂線性質(zhì),利用已學(xué)的中點(diǎn)弦模型可把問題化歸為關(guān)系式進(jìn)行范圍求解,設(shè)計(jì)新穎,綜合性,靈活性強(qiáng).

當(dāng)涉及弦的中點(diǎn)問題,解答題常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求,將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)連線斜率聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含的代數(shù)幾何關(guān)系,靈活轉(zhuǎn)化,往往能取得意想不到、事半功倍的效果.選擇題和填空題只要直接用上面結(jié)論可輕松解決,結(jié)論看似簡單,應(yīng)用卻非常廣泛,值得關(guān)注.

5 綜合應(yīng)用

例3(2020年全國I 文21 理20)已知A,B分別為橢圓=1(a >1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),P為直線x=6 上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.

(2)證明:直線CD過定點(diǎn).

分析(1)由已知可得:A(?a,0),B(a,0),G(0,1),即可求得結(jié)合已知即可求解;(2)注意到A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,由結(jié)論1 可得

設(shè)P(6,y0),可得直線AP的斜率為:kAP=即kAC=另一方面,直線DB的斜率為kDB=可知

由①②可知,kAC·kAD=進(jìn)而設(shè)直線CD方程可求解.

解析(1)依據(jù)題意作出如下圖象: 由橢圓方程E:+y2=1(a >1)可得:A(?a,0),B(a,0),G(0,1),=(a,1),??→GB=(a,?1),所以=a2?1=8,a2=9,故橢圓方程為:+y2=1.

(2)證明:設(shè)P(6,y0),由分析可知kAC·kAD=設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),直線CD的方程為x=ty+m,聯(lián)立橢圓方程可得:整理得(t2+9)y2+2tmy+m2?9=0,則有所以

評注此題通過直線DA與DB斜率積為定值,轉(zhuǎn)化為直線DA與DC斜率積為定值,應(yīng)用之妙,存乎一心,找到問題本質(zhì),切中要害,迎刃而解.

美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為“探索是數(shù)學(xué)的生命線”.我們可以借助一些經(jīng)典例題,進(jìn)行“點(diǎn)撥與剖析”“延伸與拓展”和“類比推理”三重途徑,提高學(xué)習(xí)效率.

圓錐曲線命題靈活多變,只有通過不斷的探究和發(fā)現(xiàn),掌握好其包含的各種代數(shù)、幾何特征,探究三種圓錐曲線相似、相異的地方,大膽類比,大膽想像,才能更好的深入學(xué)習(xí)到圓錐曲線的精髓,在雙曲線與拋物線中,相似特征比比皆是,請讀者認(rèn)真總結(jié),把相關(guān)結(jié)論推廣到雙曲線、拋物線.