一類軌跡問題,從位似變換說起

廣東省東莞市萬江教育管理中心(523053) 溫河山

位似變換是一種是放大或縮小物體的特殊相似,縮放因子在所有方向上都作相同的變換.如圖1,以點O為位似中心,將線段AB進行位似變換,使新圖形A′B′與原圖形AB的位似比為即如圖2,點P在AB上,連接并延長PO,交A′B′于P′,易證ΔA′OP′∽ΔAOP,AP與A′P′仍然是位似關系,且有

圖1

結論一在位似變換中,某一點運動時,對應點的運動軌跡與該點的運動軌跡形狀相同,只是大小不一定相同.

特殊地,當該點作直線運動時,對應點亦作直線運動.如圖2,當點P在線段上從點A運動到點B時,對應點P′的運動軌跡為線段A′B′,運動方向是從點A′到點B′的方向.

圖2

在圖2的基礎上,將ΔOA′B′繞點O旋轉某一度數(shù)得到ΔOA′′B′′,點P′相應地旋轉到P′′的位置.如圖3,連接AA′′、BB′′、CC′′,由∠A′OA′′=∠B′OB′′=∠P′OP′′得到∠AOA′′=∠BOB′′=∠POP′′,所以ΔAOA′′∽ΔBOB′′∽ΔPOP′′.我們不妨稱這種變換為類位似變換,其旋轉中心點O為類位似中心,稱點P和點P′′為對應點,AB和A′′B′′為對應邊,新圖形與原圖形對應邊的比為類位似比,稱類位似中心與對應點的夾角為類位似角.類位似變換的特點是保持對應邊的比例關系不變,類位似角相等.類位似變換是位似變換與旋轉變換的合體.

圖3

結論二在類位似變換中,某一點運動的過程中,該點與類位似中心連線掃過的圖形與其對應點與類位似中心連線掃過的圖形相似.

特征分析類位似變換的特征為定角、定比、定中心.運動過程中,類位似角保持不變,比例關系保持不變,類位似中心保持不變,簡稱為“三定”.

例1如圖4,點P以點O為類位似中心作類位似變換,類位似比為已知點P所經過的軌跡長為5,求對應點P′的軌跡長.

圖4

簡析點P所經過的軌跡長為5,∴對應點P′的軌跡長為

評析該例運用“三定”性質,直接解題.

例2如圖5,正方形ABCD的邊長為2,動點B′從點B出發(fā),沿邊BA向終點A運動,以CB′為邊向上作正方形B′CD′A′.

圖5

(1)求運動過程中點A′經過的路徑長.

(2)求運動過程中DA′的最小值.

(3)求運動過程中CA′掃過的面積.

圖6

簡析(1)變換過程中保持∠B′CA′=45°不變,保持不變,類位似中心為點O,滿足“三定”法則,屬于類位似變換.過點A作A′′A ⊥AC,垂足為A,延長CD,交A′′A于點A′′.則有點A′的運動經過的路徑長

(2)運動過程中DA′的最小值為點D到AA′′的距離,值為

(3)運動過程中CA′掃過的面積為

評析該類位似變換隱藏在以正方形為背景的問題中,由于問題動點在線段上運動,其對應點的運動軌跡也是一條線段,通過動點的起點找到對應點的起點,再通過動點的終點找到對應點的終點,連接對應點的起點和終點即得到對應點的運動軌跡,從而清晰地還原運動過程.

例3(1)如圖7,點O為坐標原點,⊙O的半徑為1,點A(2,0).動點B在⊙O上,連結AB,向上作等邊ΔBAC,求OC的最大值.

圖7

(2)如圖8,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(5,0),點P為線段AB外一動點,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,求線段AM長的最大值及此時點P的坐標.

圖8

簡析(1)如圖9,問題符合“三定”原則,屬于類位似變換問題.類位似比為1.點C的運動軌跡是圓,其圓心O′是點O的對應點,求得其坐標為O′(1,),故OC的最大值為3.實際上,OC的最小值為1.

圖9

(2)如圖10,問題(2)是(1)的變式.點B是類位似變換中心,類位似比=點P運動軌跡⊙A的半徑為2,對應圖形⊙A′的圓心A′是點A的對應點,坐標為(2,3),半徑為故AM的最大值為+3.如圖11,構建一線三等角模型,可得到此時點P的坐標為

圖10

圖11

評析該問題中動點運動軌跡為圓,故類位似變換后的軌跡也是圓,可將動點的圓心進行類位似變換得到軌跡的圓心,將動點圓的半徑大小乘以位似比即得到軌跡圓的半徑大小,從而確定軌跡圓的位置和大小,進而解決問題.

教學反思(1)類位似變換具有“三定”特征,分別是“定角”“定中心”和“定比”;反過來,具有“三定”特征的圖形變換就是類位似變換.類位似變換實質上是位似變換和旋轉變換的合體,因此同時具有相似和旋轉的性質.主要包括圖形的形狀相同,但大小可能不同(也可能相同).不但如此,某一點在運動變化過程中,該點與類位似中心連線掃過的圖形與其對應點與類位似中心連線掃過的圖形相似.

(2)組合思維把多項貌似不相關的事物通過想像加以連接,從而使之變成彼此不可分割的新的整體,往往可以得到意想不到的結果.組合是一種創(chuàng)新,使得組合之后的事物“整體具有單個事物所不具備的新質”,增加了新的功能.在數(shù)學教學中也?？梢姶祟愃季S.比如菱形和矩形組合成正方形,平行線與角平分線組合成等腰三角形模型等等.而通過原事物的性質研究往往就可以輕松地研究組合事物的性質.