例談回歸橢圓定義解題,提升學(xué)生運算素養(yǎng)

江蘇省盱眙中學(xué)(211700) 周志國

認(rèn)識事物需要透過現(xiàn)象看本質(zhì),解題更是如此,只要理清問題本質(zhì),回歸本源,解題便是水到渠成之事.橢圓是高中數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容之一,也是難點,如何處理與橢圓有關(guān)的問題? 首先要深刻認(rèn)識橢圓的各種定義,并學(xué)會串聯(lián),關(guān)注與其它內(nèi)容之間的聯(lián)系.下面通過例析如何回歸橢圓定義解題,以饗讀者.

1 橢圓第一定義是本,解題不忘本

1.1 利用橢圓第一定義,從幾何視角認(rèn)知并化簡方程

例1在實數(shù)范圍內(nèi)解方程

分析常規(guī)解法是移項,平方,將兩個根號退化成僅有一個根號,再移項,平方,將無理式化成有理式,并解方程,但其運算過程繁雜,難以在短時間內(nèi)完成.倘若聯(lián)想到橢圓第一定義,將方程配方后令1=y2,得則點M(x,y)的軌跡是以F1(?1,0),F2(1,0)為焦點,長軸長為4 的橢圓,進(jìn)而原方程的解等價于已知橢圓上點的縱坐標(biāo),求該點的橫坐標(biāo).

解析由原方程可得所以解得

評析解題過程是思維過程的體現(xiàn),解較復(fù)雜的代數(shù)方程時,方程化簡運算過程,更加凸顯出多想一點,少算一些.從不同的認(rèn)知角度觀察,關(guān)注方程整體結(jié)構(gòu)特征,發(fā)散思維,用不同視角等價轉(zhuǎn)化條件,從數(shù)與形兩個方面相互轉(zhuǎn)化,尋找實切的運算對象,從解題中不斷提升自身的思維能力.

1.2 巧用橢圓第一定義,搭起均值不等式橋梁

例2(2004年高考數(shù)學(xué)全國卷III)設(shè)橢圓=1 的兩個焦點分別是F1(?c,0),F2(c,0)(c >0),且橢圓上存在點P,使得直線PF1與直線PF2垂直,求m的取值范圍.

分析根據(jù)焦點三角形ΔF1PF2為直角三角形,得到三邊之間的平方關(guān)系:|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,再結(jié)合點P在橢圓上,應(yīng)滿足橢圓第一定義,再通過均值不等式建立關(guān)于m的不等式,進(jìn)而求出m的取值范圍.

解析由題意知m >0,a=且滿足

②2?①得,|PF1|·|PF2|=2a2?2c2=2b2,又所以2b2≤a2,即2≤m+1,所以m≥1.

評析橢圓第一定義中“|PF1|+|PF2|=2a”恰與均值不等式“|PF1|·|PF2|≤”一端直接有關(guān),因此,在處理與焦點三角形ΔF1PF2中的PF1,PF2有關(guān)的最值范圍問題時,可以嘗試?yán)脵E圓第一定義,將條件等價表示,搭起與均值不等式的橋梁.

1.3 活用橢圓第一定義,變“折線”為“直線”求最值

例3(1999年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽) 已知橢圓內(nèi)有一點P(1,?1),F為橢圓右焦點,M是橢圓上動點,求|MP|+|MF|的最小值.

分析聯(lián)想到求一條直線上一個動點到兩個定點的距離之和的最值時,兩點需要分布在直線的兩側(cè),而兩點如果在直線的同一側(cè)時,距離只差的絕對值應(yīng)該有最大值.類比,嘗試?yán)脵E圓定義把|MP|+|MF|轉(zhuǎn)化成|MP|+2a?|MF′|,即4+|MP|?|MF′|,再根據(jù)平面幾何知識,兩邊之和大于第三邊,轉(zhuǎn)化成兩個定點之間的距離問題.

解析設(shè)橢圓的左焦點為F′,所以|MP|+|MF|=|MP|+2a?|MF′|=4+|MP|?|MF′|≥4?|PF′|=當(dāng)且僅當(dāng)M為線段F′P的延長線與橢圓交點時取等號.所以|MP|+|MF|的最小值為

評析從本題轉(zhuǎn)化中看出,在使用橢圓第二定義時,不僅要把點點距離轉(zhuǎn)化為點線距離,而且還調(diào)整了中|BF|前面的系數(shù),讓|BF|前面的系數(shù)和|AB|前面的系數(shù)一致,真可謂一舉兩得.因而,涉及橢圓中有關(guān)折線的最值問題時,可以通過橢圓的兩種定義,設(shè)法將折線拉直,轉(zhuǎn)化為兩點間的距離或者點到直線的距離問題,原問題便迎刃而解.

1.4 逆用橢圓第一定義,求軌跡

例4(2002年春季高考) 已知橢圓的焦點是F1,F2,P是橢圓上一個動點,如果延長F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動點Q的軌跡是( )

A.圓 B.橢圓

C.雙曲線一支 D.拋物線

分析將延長F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,相當(dāng)于把PF2繞著點P旋轉(zhuǎn)使得和F1P在一條直線上,滿足QF1為定值,Q點軌跡是圓.

解析因為|PQ|=|PF2|,所以|QF1|=|PQ|+|PF1|=|PF2|+|PF1|,由橢圓第一定義得|PF1|+|PF2|=2a,故|QF1|=2a,即Q點軌跡是以F1為圓心,以2a為半徑的圓,選A.

評析在2021年蘇教版教材選擇性必修一中,通過折紙實驗操作,探究得知橢圓可以由圓折疊,折痕交點的軌跡生成橢圓;反之,由橢圓上的點通過旋轉(zhuǎn)變換(或者對稱變換)也可以還原成圓,兩者可以互相生成,在解題過程中要關(guān)注它們之間內(nèi)在聯(lián)系,借助圖形,架起兩者之間溝通的橋梁.

1.5 調(diào)用橢圓第一定義,解焦點三角形

例5已知點P是橢圓(a>b>0)上的一點,F1,F2是兩個焦點,且∠F1PF2=α,求ΔF1PF2的面積S.

分析聯(lián)系已知條件∠F1PF2=α和所求ΔF1PF2的面積,根據(jù)點P是橢圓(a >b >0)上的一點,用余弦定理和橢圓定義即可求出|PF1||PF2|的值,再利用SΔP F1F2=|PF1||PF2|sinα求出ΔF1PF2的面積S.

解析因為點P是橢圓(a >b >0) 上的一點,F1,F2是兩個焦點,所以|PF1|+|PF2|=2a,在ΔPF1F2中,由余弦定理,得

所以|PF1||PF2|=故SΔP F1F2=

評析橢圓的第一定義涉及焦點三角形的兩條邊,因而在涉及焦點三角形問題時,要心懷橢圓定義,從橢圓定義出發(fā),用定義刻畫橢圓上點的幾何意義,并聯(lián)合三角形中的正弦定理或余弦定理,再從方程組的角度認(rèn)知條件,解決問題便水到渠成.

例6已知P是橢圓C:(a>b>0)上一點,F1,F2是橢圓的左、右焦點,若∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,求橢圓C的離心率(用α,β表示).

分析由焦點三角形ΔPF1F2中的兩個角∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,利用正弦定理,得到等式

解析設(shè)橢圓C的離心率為e,在ΔPF1F2中,由正弦定理有用合比定理,得到即所以

評析橢圓的焦點三角形中含有了離心率所需的兩個量a,c,在處理此類問題中,利用解三角形知識,設(shè)法尋找焦點三角形中的邊角等量關(guān)系,打通條件和設(shè)問之間的通道.

1.6 妙用橢圓第一定義,搭橋橢圓與圓

例7(2019年高考數(shù)學(xué)江蘇卷) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:=1(a >b >0) 的焦點F1(?1,0),F2(1,0).過F2作x軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓F2: (x?1)2+y2=4a2交于點A,與橢圓C交于點D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點B,連結(jié)BF2交橢圓C于點E,連結(jié)DF1.已知

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求點E的坐標(biāo).

分析根據(jù)條件“圓F2: (x?1)2+y2=4a2”可得圓F2的圓心F2(1,0)恰好為橢圓C:=1(a>b>0)的右焦點,半徑長2a,也恰好等于橢圓C的長軸長,結(jié)合橢圓的定義,可得EF1=EB,即從而∠BF1E=∠B,再結(jié)合圓的特征,得到∠A=∠B,從而EF1//F2A,EF1⊥x軸,最后轉(zhuǎn)化成求直線x=?1 與橢圓C的交點的坐標(biāo).

例7 圖1

例7 圖2

解析(1)略;(2)由(1)知,橢圓C:=1.如圖所示,聯(lián)結(jié)EF1.因為BF2=2a,EF1+EF2=2a,活用定義,在結(jié)合圓的條件,所以EF1=EB,從而∠BF1E=∠B.因為F2A=F2B,所以∠A=∠B,所以∠A=∠BF1E,從而EF1//F2A.因為AF2⊥x軸,所以EF1⊥x軸.因為F1(?1,0),由得又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以y=因此

評析本題如按照構(gòu)圖過程,逐步求解,求解過程復(fù)雜,中間銜接的過渡點,不必要求解的也一并求解了,且加大了運算的復(fù)雜程度和難度.利用橢圓的第一定義,從幾何的角度分析,直接得到問題的解決.

2 橢圓第二定義是魂,解題不能丟魂

2.1 關(guān)注結(jié)構(gòu),從“形”到“數(shù)”

例8已知x,y ∈R,且滿足試判斷點M的軌跡是怎樣的曲線.

分析從“形”的角度上認(rèn)知,等式左邊可看作兩點M(x,y)和(2,0)之間的距離,進(jìn)一步觀察,發(fā)現(xiàn)右邊與點M到直線x+y?2=0 的距離有關(guān),按此路徑,結(jié)合橢圓第二定義,便得到了所求點M的軌跡是橢圓.

解析由原方程可得這式子表明點M到點(2,0)的距離和點M到直線x+y?2=0 的距離之比為

評析若將原方程平方,化簡不易,即使化簡完成,根據(jù)化簡后的結(jié)果判斷其軌跡特征也是比較困難的.我們面對這類問題,倘若我們有著“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”意識,變換角度,挖掘等式中所隱藏的幾何特征,善于向著目標(biāo)變形轉(zhuǎn)化,尋找其形的特征,便不難突破難點,問題便順利解決.

2.2 關(guān)注差異,求同存異

例9(1999年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽)給定A(?2,2),已知B是橢圓=1 上動點,F是左焦點,當(dāng)取最小值時,求B點坐標(biāo).

分析此題如果按一般求最值的方法先建立目標(biāo)函數(shù),再求最值,因含有兩個根式的和,代入消元不易,難以求解,但如果我們關(guān)注到所求的問題涉及橢圓上的點到焦點的距離,借助橢圓定義,從“形”上,結(jié)合平面幾何知識,合理化歸轉(zhuǎn)化.

解析(1)因為所以點A在橢圓內(nèi)部,由橢圓第二定義可得:B到橢圓左準(zhǔn)線l的距離所以結(jié)合平面幾何知識,可知,當(dāng)AB⊥l時,|AB|+d最小,此時易求B點坐標(biāo)為

評析從本題轉(zhuǎn)化中看出,在使用橢圓第二定義時,不僅僅把點點距離轉(zhuǎn)化為點線距離,而且還調(diào)整了中|BF|前面的系數(shù),讓兩其系數(shù)和|AB|前系數(shù)一致,可謂一舉兩得.因而,涉及橢圓中有關(guān)折線的最值問題,通過橢圓的第二定義,設(shè)法將其拉直,實現(xiàn)轉(zhuǎn)化,順利求解.

3 橢圓第三定義是神,解題需神來助

例10(2011年高考數(shù)學(xué)江蘇卷) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M,N分別是橢圓的頂點,過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P,A兩點,其中點P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,連接AC,并延長交橢圓于點B.設(shè)直線PA的斜率為k.

圖(例10)

(1)當(dāng)直線PA平分線段MN,求k的值;

(2)當(dāng)k=2 時,求點P到直線AB的距離d;

(3)對任意k >0,求證:PA⊥PB.

分析本題設(shè)問PA⊥PB,只要證明出kP A·kP B=?1,而結(jié)合橢圓第三定義得知,kBA·kP B=因而只要能夠證明kBA=即可.

解析(1)(2)略:(3)設(shè)B(x,y)(|x|?=x0),P(x0,y0)(x0>0,y0>0),則A(?x0,?y0)(x0>0,y0>0),所以作差,得則kBA·kBP=而kBA=kAC=所以kP A·kP B=?1,所以PA⊥PB.

評析在處理與橢圓有關(guān)的多條直線斜率相互關(guān)系的問題中,不要忘記橢圓有一種定義與直線斜率也直接相關(guān),即:動點P和兩定點構(gòu)成直線的斜率乘積為定值μ(λ<0 且λ ?=?1),則動點P的軌跡是橢圓,在解決問題時,要善于尋找它們之間關(guān)聯(lián)直線,搭起解決問題的橋梁,提升我們的運算求解能力和推理論證能力.

4 借力變換,“橢圓”還“圓”

例11(2019年南通二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1:橢圓=1(a>b>0),C2與C1的長軸長之比為離心率相同.

(1)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)點P為橢圓C2上一點.

①射線PO與橢圓C1依次交于點A,B,求證:為定值;

②過點P作兩條斜率分別為k1,k2的直線l1,l2,且直線l1,l2與橢圓C1均有且只有一個公共點,求證:k1·k2為定值.

分析根據(jù)條件可知,橢圓C1:橢圓離心率相同,對于兩曲線和直線都實施變換:所有的點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?縱坐標(biāo)不變),便可以把兩曲線都變換成圓,問題轉(zhuǎn)化成變換后的直線與圓的相關(guān)問題.

例11 圖1

例11 圖2

解析(1)過程略,橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)①略

評析我們熟知,在處理直線與圓的位置關(guān)系問題時,可以通過聯(lián)立直線和圓的方程,轉(zhuǎn)化成二次方程來求解,還可以根據(jù)“形”的特征,用幾何意義來轉(zhuǎn)化求解.而橢圓是由圓通過線性變換(伸壓變換)而來的,變換過程中仍然保證位置關(guān)系不變性.因而,在處理橢圓問題中,調(diào)整了運算對象,還“圓”處理,緊扣圓的特殊性,借助于圓的幾何意義,以形助數(shù),優(yōu)化了算理,簡化了運算過程,提高了運算正確率,進(jìn)而提升了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

總結(jié)數(shù)學(xué)中的定義是問題的起源,本文通過對幾道與橢圓有關(guān)的例子分析、解析與評析,點明了數(shù)學(xué)中的定義在解題過程中不可忽視,在解題過程中要能抓住問題核心,要善于從不同的角度理解認(rèn)識問題,抓住問題本質(zhì),問題從哪里來回到哪里去,不能舍近求遠(yuǎn),本木倒置,多思少算,思與想貫穿數(shù)學(xué)解題的始終,用數(shù)學(xué)的眼光解題,提升我們的思維能力和運算素養(yǎng).