以小見大探細(xì)節(jié) 深入思維尋方法
——以一道教材應(yīng)用題為例

廣東省廣州市二中蘇元實(shí)驗(yàn)學(xué)校(510000) 張亞茹

1 原題呈現(xiàn)

從甲地到乙地有一段上坡與一段平路.如果保持上坡每小時(shí)走3km,平路每小時(shí)走4km,下坡每小時(shí)走5km,那么從甲地到乙地需54min,從乙地到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少?

本題源自人教版教材七年級下冊第102 頁第6 題,考查的基本知識為:實(shí)際問題與二元一次方程組——行程問題,考查的基本能力為:能夠根據(jù)題意,設(shè)立恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),列出方程或方程組;能夠選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?求出方程組的解,解決實(shí)際問題.用二元一次方程組解決的應(yīng)用題類型很多,其中的行程問題、工程問題、分配問題等,都是近幾年考試的熱點(diǎn)問題.

2 試題分析

在這道行程問題的應(yīng)用題中,涉及的路程有:從甲地到乙地的路程、從乙地到甲地的路程、上坡路、平路、下坡路.學(xué)生審題時(shí),結(jié)合生活實(shí)際,不難得出這幾段路程之間的關(guān)系:從甲地到乙地的路程=從乙地到甲地的路程,從甲地到乙地的路程=上坡路+平路,從乙地到甲地的路程=平路+下坡路,還應(yīng)該注意的是,平路的長度不變,上坡路的的長度=下坡路的長度.

在本題中,涉及的速度有:上坡時(shí)的速度是每小時(shí)3km,平路每小時(shí)走4km,下坡每小時(shí)走5km,在不同的路段,因?yàn)樗俣炔煌?所用的時(shí)間也就不同.涉及的時(shí)間有:從甲地到乙地的時(shí)間是54min,從乙地到甲地的時(shí)間是42min,時(shí)間的單位是以“min”也就是“分鐘”為單位,速度的單位是“km/h”也就是“千米/小時(shí)”,所以,在時(shí)間的單位上,存在著巨大的陷阱,審題時(shí)沒能引起對“時(shí)間單位不統(tǒng)一”的關(guān)注的同學(xué),本題做錯(cuò)的風(fēng)險(xiǎn)大大提升了.

在本題中,路程、速度、時(shí)間,三者之間的關(guān)系為:路程=速度×?xí)r間,速度=路程÷時(shí)間,時(shí)間=路程÷速度,用哪個(gè)量建立等量關(guān)系好呢? 選取的等量關(guān)系不同,決定設(shè)立的未知數(shù)以及建立的方程都會有所不同.

結(jié)合以上對試題的分析,如果以時(shí)間為等量關(guān)系,則比較容易得出:從甲地到乙地的時(shí)間=上坡路所用的時(shí)間+平路所用的時(shí)間,從乙地到甲地所用的時(shí)間=平路所用的時(shí)間+下坡路所用的時(shí)間.關(guān)于時(shí)間的統(tǒng)一,可以將分鐘轉(zhuǎn)化為小時(shí),也可以將“千米/小時(shí)”轉(zhuǎn)化為“千米/分鐘”,盡管后者不常用.

3 解法探究

解法1設(shè)坡路長為xkm,平路長為ykm.54 min依題意列方程組得:或者列成均可,解得

如果以路程相等建立等量關(guān)系,則有:從甲地到乙地的路程=從乙地到甲地的路程.因?yàn)樵谄铰匪玫臅r(shí)間是相同的,而平路所用的時(shí)間又與上坡所用的時(shí)間和下坡所用的時(shí)間都有聯(lián)系,所以可以設(shè)平路的時(shí)間為未知數(shù),利用路程相等建立方程,此種解法仍需轉(zhuǎn)化時(shí)間單位.

解法2設(shè)平路所用的時(shí)間為th,則上坡所用的時(shí)間為下坡所用的時(shí)間為根據(jù)路程相等,列一元一次方程得:解得t=0.4,計(jì)算+4t=2.7?1.2+1.6=3.1km.

從解法2 中,我們可以獲得新的靈感,既然從甲地到乙地的平路路程=從乙地到甲地的平路路程,平路的路程與速度都相等,則所用的時(shí)間也是相等的,那么54 min-42 min=12 min=就是這段坡路因?yàn)樯掀潞拖缕碌乃俣炔煌a(chǎn)生的時(shí)間差,由此,我們可以得到更為簡潔的方法.

解法3解:設(shè)坡路長為xkm,依題意得:解得:x=1.5,再計(jì)算=1.5+1.6=3.1km.這種解法在計(jì)算上非常簡便,但是在思維能力方面的要求上,明顯比解法1 和解法2 的要求更高一些.

在思考的過程中,也可以同時(shí)抓住“時(shí)間”和“路程”兩個(gè)量來建立等量關(guān)系,此時(shí)可以列出如下的三元一次方程組.

解法4設(shè)上坡路用xh,平路用yh,下坡路用zh,依題意列方程組得: 54 min=0.9 h,42 min=0.7 h.解得:再計(jì)算3×0.5+4×0.4=3.1km.這種解法也很有自己的優(yōu)勢,在列方程和求解方程上都非常自然和簡潔.

4 學(xué)生思維障礙分析

本題在七年級第二學(xué)期期末檢測中作為第20 題考查過,該題滿分6 分,全級得分平均為為3.27 分,從閱卷情況看,答題情況很不理想,零分的人數(shù)占40%左右,特別值得關(guān)注.筆者通過對全級學(xué)生的答題情況進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題思維障礙主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

4.1 審題不仔細(xì),忽略細(xì)節(jié)

學(xué)生在審題時(shí),不夠細(xì)心,沒有發(fā)現(xiàn)時(shí)間的單位不統(tǒng)一,得零分的學(xué)生,有一大部分比例是因?yàn)檫@個(gè)細(xì)節(jié)出錯(cuò).典型錯(cuò)誤如下:

解設(shè)坡路長為xkm,平路長為ykm,依題意列方程組得解得:然后計(jì)算得x+y=90+96=186km.

更為關(guān)鍵的是,學(xué)生沒有結(jié)合實(shí)際檢驗(yàn)一下,這個(gè)結(jié)果是否可能,也就是說,從結(jié)果來看,從甲地到乙地共186km,步行竟然只需54min,這完全不符合生活實(shí)際,如果有這種檢驗(yàn)的意識,也會發(fā)現(xiàn)自己列的方程是有問題的.

4.2 轉(zhuǎn)化能力弱,不能準(zhǔn)確找出等量關(guān)系

部分成績比較弱的學(xué)生,讀不懂題意,或者直接用錯(cuò)路程、速度、時(shí)間三者之間的關(guān)系,典型錯(cuò)誤如下:

解設(shè)坡路長為xkm,平路長為ykm,依題意列方程組得或者方程中出現(xiàn)了“路程×速度=時(shí)間”這樣的錯(cuò)誤,平時(shí)的教學(xué)中,也常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生對“順?biāo)嫠畣栴}”、“相遇問題”、“追及問題”等行程問題的理解和掌握,都還有很大的提升空間.

4.3 計(jì)算能力不過關(guān)

除了單位轉(zhuǎn)化這個(gè)難點(diǎn)之外,解方程組成為了另一個(gè)難點(diǎn),計(jì)算能力不過關(guān),或?qū)е掠?jì)算過程中的各種失誤.

錯(cuò)誤1少數(shù)學(xué)生列出方程組之后,不會利用“加減消元法”進(jìn)行消元,或者不會去分母,將方程組化為整數(shù)系數(shù)的方程組,出現(xiàn)了混亂的計(jì)算.也有學(xué)生將方程成功的化簡為后,計(jì)算的結(jié)果沒有約分,得到了然后在計(jì)算時(shí),數(shù)據(jù)比較大,導(dǎo)致了計(jì)算的失誤.個(gè)別學(xué)生計(jì)算對了一個(gè)結(jié)果,代入求另一個(gè)結(jié)果時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤,還有學(xué)生寫反了分子分母,得到等.

錯(cuò)誤2成功的轉(zhuǎn)化了3km/h=卻將方程組錯(cuò)誤的列為:非常可惜.

錯(cuò)誤3個(gè)別學(xué)生把數(shù)據(jù)寫反了,方程組列成了雖然只是很少數(shù)的學(xué)生,但是也提醒我們,一定要看清楚數(shù)據(jù),寫錯(cuò)一個(gè)數(shù)據(jù)就全盤皆輸了.

錯(cuò)誤4時(shí)間單位轉(zhuǎn)化錯(cuò)誤,將54 min=0.54 h,42 min=0.42 h,方程組錯(cuò)誤的列成了分鐘與小時(shí)的轉(zhuǎn)化,是60 進(jìn)制,學(xué)生錯(cuò)誤的按百分制進(jìn)行了轉(zhuǎn)化.

5 反思與啟示

通過對學(xué)生答題的思維障礙分析,我們發(fā)現(xiàn),教師在教授應(yīng)用題解題時(shí),可以注重以下方面的一些改進(jìn).

(1)通過一些典型的例子,教學(xué)生如何審好題,在讀條件、分析條件、利用條件的同時(shí),一定要特別留意細(xì)節(jié),比如本題的單位轉(zhuǎn)化,比如人教版教材七年級下冊第126 頁第7題,也同樣存在“元”與“萬元”的單位轉(zhuǎn)化.

(2)在解應(yīng)用題時(shí),列圖表、畫示意圖等都有利于分解題目難度,幫助學(xué)生快速、準(zhǔn)確的找出等量關(guān)系.比如,此題中,涉及的路程、速度、時(shí)間等,在審題時(shí),可以列出下列的表格幫助分析:

從甲地到乙地從乙地到甲地路程上坡xkm 平路ykm 平路ykm 下坡xkm速度3km/h 4km/h 4km/h 5km/h時(shí)間54min 42min

畫出這樣的示意圖幫助分析:

(3)在應(yīng)用題的“審”、“設(shè)”、“列”、“解”、“檢驗(yàn)”、“答”環(huán)節(jié)中,教學(xué)中要注意各種應(yīng)用題模型在以上環(huán)節(jié)中的技巧,盡量減少計(jì)算方面的丟分,并強(qiáng)調(diào)在問題解決之后的檢驗(yàn).

(4)教學(xué)中不能脫離教材,用好教材中的例題、課后題,深挖典型題目的作用,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維,深入學(xué)習(xí)和探討多種方法解決問題,培養(yǎng)和提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力.