一個數(shù)列不等式證明過程的“九連問”

浙江省紹興市越州中學(312075) 屠豐慶

吉林省北華大學數(shù)學與統(tǒng)計學院(132013) 屠蕊林

數(shù)學知識在提出問題的過程中不斷創(chuàng)新,數(shù)學思維在分析問題的過程中趨向深刻,數(shù)學能力和素養(yǎng)在解決問題的過程中螺旋上升.近期我們父女兩對以下?？碱}從第一個疑慮出發(fā),通過尋根問底和系列討論,對此類問題有了新的認識,現(xiàn)整理成文,供有類似疑問的讀者參考.

?？碱}已知{an}是公差不為0 的等差數(shù)列,Sn是等比數(shù)列bn的前n項和,若a2是a1和a4的等比中項,a1=b1=6,a3=b2.

(1)求an及Sn;

解析(1)an=6n,bn=6·3n?1,Sn=3(3n?1),過程略.

①當n=1 時,左邊=右邊=不等式成立;

②假設當n=k時,不等式成立,則當n=k+1 時,根據(jù)歸納假設:

問題1數(shù)學歸納法往往能用于跟自然數(shù)相關命題的證明,為什么此題不能用數(shù)學歸納法?

分析其實所以化簡不等式即只需證:

解決從證明對象的“形式”上看,一般認為: 等式的證明數(shù)學歸納法肯定適合,而對于不等式”等其他情形類似分析,下同)的證明,往往只適合兩側都帶有n的情形.本題整理后一側是常數(shù),不適合使用數(shù)學歸納法.

問題2那此類不等式何時才能使用數(shù)學歸納法證明,具體要滿足什么條件?

分析為了搞清這個問題,先來看以下兩個不等式用數(shù)學歸納法的證明和解析過程.

證明①當n=1 時,左邊=右邊=不等式成立;

②假設當n=k時,不等式成立,則當n=k+1 時,根據(jù)歸納假設只需證:即證:顯然成立.

由①②可知,不等式對任意n都成立.

解析只關注第②步,當n=k+1 時,使用歸納假設后只需證明整理后即證但此式對任意自然數(shù)n都不成立,骨牌中斷!

兩個不等式形式上完全類同,而且從強弱的角度,不等式(1)更強,但為什么在數(shù)學歸納法面前,不等式(2)反而傳遞不下去,難道形同質異?

解決其實根據(jù)上述證明過程我們發(fā)現(xiàn),從k到k+1的過程中,要保證傳遞的連續(xù)性,要求左側的增量小于等于右側的增量.一般地,對于不等式當ak≤f(k)?f(k?1)時才能保證歸納假設的傳遞性.

問題3那對于而言,是否可以從邏輯上確定呢?

分析首先假設不等式可以強化為接著思考的問題自然是: 要使加強命題成立,g(n)應滿足什么條件呢? 根據(jù)問題2 的證明和解析過程,g(n)應滿足:

觀察(2)式的結構,不等式左邊分母是二次多項式,于是我們考慮到如果g(n)是一次多項式,則不等式右邊通分后也是一個二次多項式,這樣(2)式就轉化為兩個二次多項式的比較,從而可以通過g(n)的系數(shù)控制使(2)式成立.

解決設g(n)=(a,b為待定的常數(shù)),將代入(2)式,化簡整理得:a(2k+3)2≥(ak+b)(ak+a+b)對k ∈N?恒成立,即要求: 4ak2+12ak+9a≥a2k2+(2ab+a2)k+b(a+b)對k ∈N?恒成立,比較各項系數(shù)可取a≤4,b≤4.又因為g(n)=還需滿足(1)式,代入得a+b≥因此根據(jù)上述邏輯推理,不妨取a=4,b=4,即得g(n)=

問題4此方法對類似不等式的證明是否適用,譬如對文初的?？碱}該如何操作?

分析由上,問題也就是如何加強致使不等式能用數(shù)學歸納法證明.

類似分析首先假設不等式可以強化為觀察(4) 式的結構,考慮g(n)=則g(n) 整理后應滿足:即這樣的a不存在!

解決一般地,類似不等式加強為

這樣,給類似的不等式證明提供了一條嶄新的道路(下稱“新方法”)!

問題5新方法與傳統(tǒng)不等式放縮法相比,有什么異同和優(yōu)點?

分析其實根據(jù)數(shù)學歸納法的證明過程,關注利用n=k的歸納假設推導n=k+1 應滿足的條件,發(fā)現(xiàn)新方法其本質上就是放縮法.

解決由上分析,新方法本質上就是特殊的放縮法,只是它不僅給出了一種放縮程序化的探求方法,而且縮小了的上界;另外我們還可以通過待定系數(shù)調整g(n),使得進一步逼近上確界.因此新的證明方法相比傳統(tǒng)的放縮法更精確,更具可操作性.

問題6從傳統(tǒng)放縮法的視角,如何理解新方法中放縮的特殊性?

分析進一步化簡整理得到發(fā)現(xiàn)新方法推導的放縮結論,一般情形下,解題者不會想到如此操作.

解決根據(jù)上述放縮的三個著眼點,結合上例中對于的證明,來理解新方法的放縮結論,首先從第二項開始大于等于其次新數(shù)列通項屬等差×等比,能采用錯位相減的方法求和.最后新數(shù)列和的上確界為沒有超過上限1.

新方法給出的放縮雖可通過邏輯推理得到,但美中不足的是過程相對復雜,而且待定系數(shù)之前需觀察通項的結構特征,也具一定的技巧性.

問題7無論是新方法還是傳統(tǒng)放縮都有點“高深”,那對具體的通項,放縮的方向和結論有沒有規(guī)律可循?

分析在新方法放縮結論的基礎上,繼續(xù)觀察?？碱}參考答案給出的放縮過程:

顯然,跟新方法相比,參考答案給出的方法,放縮更加“大膽粗獷”.

結合問題6 中對放縮的三個著眼點,來挖掘數(shù)列放縮的規(guī)律.首先,當n趨向于無窮大時,通項an=中起關鍵作用的是3n,相對于3n,分子n與分母中的?1 可以忽略不計,參考答案將3n用2n替換,明顯比新方法的放縮更加大刀闊斧;其次,形式上參考答案放縮結論是非常簡潔的等比數(shù)列能直接使用公式求和.

但應該指出的是,如此大膽放縮,其“代價”就是上界估計精確度的降低,也就是極有可能放過頭,參考答案放縮成好在數(shù)列求和結果還沒有超過上限1,否則就要不斷調整,譬如將原題上限的估計精度提高到常見調整有兩種處理辦法,一種是增強通項放縮的精度,譬如從第三項開始改放縮為另一種是保留左側數(shù)列求和的前幾項不變,保留越多精確度越高,本例中,只需保留前三項,后續(xù)仍然放縮為也就能達到證明的精度.

解決常見的放縮還是有規(guī)律可循,一般可以在觀察通項結構的基礎上,先明確各項無窮大“階”的高低順序,眾所周知: 以“2”為例,當n趨向于無窮大時,n!?2n ?n2?2n ?log2n ?常數(shù)2.上例中類似地有3n ?n ?常數(shù)-1;然后結合已有數(shù)列的求和方法和放縮方向,從階小的項開始調整,往能求和的數(shù)列通項變形,一般來說,調整項的階越高調整幅度越大.抓住本質,放縮就有規(guī)律可循,也就不再高深莫測.對于?？碱},除了前面提到的兩種放縮,通項還可以放縮為等,甚至可以從數(shù)列的某一項開始放縮成(1

問題8根據(jù)剖析過程,是否意味著這類不等式的證明可采用一種“賴皮”的方法?

分析還是就?？碱}的證明而言,解題者根本不需要細細思考,就對作一大膽放縮,例如:說明: 此處沒有細細運算,是故作玄虛,n隨意選取了足夠大的100.接下去對原不等式作如下變形和放縮,

雖然有點投機取巧,但從邏輯的角度,證明本質上將數(shù)列求和從無限變?yōu)橛邢?過程也無可厚非!

解決由上,本文研究的不等式中的級數(shù)都是收斂的,因此可“較隨意”地放縮成一個易求和的數(shù)列,譬如放縮成一個簡單的無窮遞縮等比數(shù)列,則總存在一個較大的N0,使得目標值.因為隨著N0不斷增大,與0 越來越接近,也就是說不斷接近于的上確界,這樣就會出現(xiàn)類似上述這種“賴皮”的證明方法.

問題9上述放縮的“賴皮”法以及用數(shù)學歸納證明加強命題的新方法,是否普遍適用?

分析我們來考察不等式的證明.眾所周知顯然當n →∞時,1?→1,也就是的上確界為1.那么無論從那一項N0開始放縮,放縮成那個具體的數(shù)列bn,總有放縮肯定會突破上確界1,至少放大到1+(bN0?aN0).

其次,在“盲目”的狀態(tài)下,解題者能將此加強成“不等式”,再用數(shù)學歸納法證明嗎? 答案也是否定的,假設可以加強為則1?<1?g(n),即g(n)<對任意的n都成立.期望加強命題能用數(shù)學歸納法來證明,按照前面的邏輯推理,則必須滿足:?n0,對?k≥n0,都有g(k)?g(k+1)≥則矛盾! 因此不能使用加強成“不等式”再數(shù)學歸納法證明的新方法.

解決上述放縮的“辣皮”法不是普遍適用的,至少對于收斂級數(shù)當C剛好為的上確界C0時,C?C0=δ=0 沒有放縮的自由活動空間,在這種情況下,上述放縮法不再適用;另外,對于數(shù)學歸納證明加強成命題的新方法,也不是普遍適用的,但有時候可以加強為等式來證明.

至此,對這個數(shù)列不等式證明過程的“連問”,暫告一個段落.但問題似乎還遠沒有結束,譬如: 對于收斂級數(shù)是否可以分成兩類,即分別加強“不等式”或“等式”再用數(shù)學歸納法證明? 如果不能,需要滿足什么條件才能使用加強命題的新方法? 等等,期待讀者和同行對此不等式的進一步研究!