串聯(lián)新舊知識，激發(fā)復(fù)習(xí)課的生長點(diǎn)

梁希

［摘? 要］ 復(fù)習(xí)課是鞏固所學(xué)知識，提升知識應(yīng)用技能的重要環(huán)節(jié). 在教學(xué)中要通過串聯(lián)新舊知識，建構(gòu)知識體系，提升復(fù)習(xí)課的效率，觸發(fā)復(fù)習(xí)課新的生長點(diǎn).

［關(guān)鍵詞］ 新舊知識；復(fù)習(xí)課；知識體系

復(fù)習(xí)課是教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，對于學(xué)生鞏固復(fù)習(xí)舊知，構(gòu)建知識體系，深化對知識的認(rèn)識起著關(guān)鍵性的作用. 然而復(fù)習(xí)課卻常常陷入“炒冷飯”的誤區(qū)，課堂沉悶枯燥. 教師將學(xué)生已學(xué)知識進(jìn)行簡單的羅列，或者將復(fù)習(xí)課變成習(xí)題講解課，影響了復(fù)習(xí)課的效率，達(dá)不到真正的復(fù)習(xí)效果，反而浪費(fèi)了課堂的教學(xué)時(shí)間. 筆者在教學(xué)中進(jìn)行了一些嘗試，通過教學(xué)設(shè)計(jì)的試講、修改，不斷提升復(fù)習(xí)課的效果，落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)，現(xiàn)將修改教學(xué)設(shè)計(jì)的過程進(jìn)行呈現(xiàn)，與各位同行進(jìn)行交流探討.

教學(xué)設(shè)計(jì)初稿

（一）試題練習(xí)復(fù)習(xí)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；

（二）求解對稱式與非對稱式的值，體會數(shù)學(xué)化歸思想；

（三）判別含參數(shù)的一元二次方程的實(shí)數(shù)根；

（四）求解一元二次方程整數(shù)根的問題；

（五）課堂小結(jié)提升.

設(shè)計(jì)意圖 以習(xí)題的方式進(jìn)行一元二次方程知識點(diǎn)的復(fù)習(xí)，通過不同板塊的設(shè)計(jì)，以問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，提升學(xué)生運(yùn)用知識的技能，為二次函數(shù)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

試講之后的改進(jìn)方案

（一）計(jì)算題化繁為簡

選取典型試題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論：

案例1 已知方程x2+3x-99=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α和β，并且α<β，請計(jì)算下列各式的值：（1）α+β；（2）α-β；（3）+；（4）α2+2α-β.

師：同學(xué)們還記得學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)計(jì)算過方程的根，如果已知方程x2+3x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是α和β，那么α與β的和是多少？說一說理由.

生1：α與β的和等于-，也就等于-3.

師：那么α與β的積呢？

生2：α與β的積等于等于-1.

師：請計(jì)算+的值.

生3：+等于α與β的和與α與β的積的比值，因此等于3.

師：很好，這個(gè)是對稱式，可以先進(jìn)行通分，再利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.因此我們可以進(jìn)行公式的提煉，若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根是α與β，可以得到+=-，那么同學(xué)們知道α-β的值是多少嗎？

生3：因?yàn)椋é?β）2=（α+β）2-4αβ=13，所以α-β的值為.

師：你是怎么想到要這樣計(jì)算的呢？

生3：因?yàn)槲覀冎懒甩僚cβ的和與α與β的積，我就想到了學(xué)過的兩個(gè)數(shù)的差的平方與兩個(gè)數(shù)的和的平方之間的關(guān)系.

師：學(xué)會了聯(lián)想，非常好！雖然α-β也是一個(gè)對稱式，但是無法直接求解，需要對它進(jìn)行變形，變成α與β的差的平方，因此我們可以繼續(xù)推廣到一般的情形：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根是α與β，那么α-β的值等于（Δ≥0）.

那么我們還有其他方法求α-β的值嗎？

生4：可以利用求根公式進(jìn)行求解，當(dāng)Δ≥0時(shí)，x=，所以α-β等于

-=

=.

師：非常精彩！這個(gè)結(jié)論我們在今后的學(xué)習(xí)中將會經(jīng)常用到，請同學(xué)們要加深印象.

下面我們再來想一個(gè)問題，剛才我們解決的都是對稱式的結(jié)構(gòu)，那么如果是非對稱式α2+2α-β的值是多少呢？

生5：因?yàn)棣潦欠匠痰膶?shí)數(shù)根，所以α2+3α-1=0，經(jīng)過求解可以得到α2+2α=1-α，代入原式可以得到1-α-β=1-（α+β）=1-（-3）=4.

生6：利用根的定義可知，因?yàn)棣潦欠匠痰膶?shí)數(shù)根，所以α2+3α-1=0，化簡可以得到α2=1-3α，代入原式可以得到結(jié)果為4.

師：兩位同學(xué)的解答都非常精彩，在解題的過程中體現(xiàn)了等量轉(zhuǎn)換和化歸的思想.

改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)，通過“問題串”的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生一步步深入探究一元二次方程的解答過程，讓學(xué)生在解題的過程中逐漸理解了問題的本質(zhì). 同時(shí)，通過解題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察和總結(jié)，讓學(xué)生理解結(jié)論的由來，減少了熱身的題目數(shù)量，真正體現(xiàn)了減負(fù)增效，并且滲透了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí).

（二）前后聯(lián)系，引導(dǎo)深入探究

復(fù)習(xí)課不是新課的重新講授，也不能變成簡單的習(xí)題課，復(fù)習(xí)課是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入探究，去發(fā)現(xiàn)和解決問題，提升對問題的認(rèn)識.

師：已知一元二次方程x2+2（m+1）x+m2+2=0的兩個(gè)根x和x，求x+x的最值.

生8：要計(jì)算x+x的最值，可以先對x+x進(jìn)行化簡整理.根據(jù)已知條件可得x+x=-2（m+1），xx=m2+2，因此代入x+x，可以得到x+x的值為2m2+8m.

師：好的，那么接下來應(yīng)該怎樣繼續(xù)計(jì)算才能求出最值呢？

生9：可以進(jìn)行配方求解. 原式=2（m2+4m）=2（m2+4m+4-4）=2（m+2）2-8，因?yàn)椋╩+2）2≥0，所以當(dāng)m=-2時(shí)，2（m+2）2-8的最小值是-8.

師：同學(xué)們覺得這個(gè)答案有問題嗎？

生11：這個(gè)答案有問題，這個(gè)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的前提是Δ≥0，但是剛才的答案沒有考慮Δ.

師：觀察得很仔細(xì)，在Δ≥0的前提下，這個(gè)方程才有實(shí)數(shù)根，所以上面的結(jié)論還正確嗎？

生11：不正確，因?yàn)棣ぁ?，可以得到m≥，所以m=-2與題意不符.

師：那么我們該怎樣求x+x的最值呢？

（學(xué)生紛紛陷入思考，覺得很有難度）

師：那我們一起來看一下函數(shù)y=2（m+2）2-8，說一說它的性質(zhì)是什么？

生12：它的圖像是一條開口向上的拋物線，它的對稱軸是直線x=-2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，-8）. 在對稱軸的左側(cè)和右側(cè)，y分別隨x的增大而減小和隨x的增大而增大. 因此當(dāng)x=-2時(shí)，y的最小值是-8（如圖1）.

師：我們觀察圖像可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)m≥時(shí)，它的圖像只是其中的一段曲線，不是一條完整的拋物線，那么，你發(fā)現(xiàn)了什么呢？

生13：在這段曲線的右側(cè)，y隨x的增大而增大，所以在這條曲線上我們可以發(fā)現(xiàn)最低點(diǎn)，因此當(dāng)m=時(shí)，x+x的最小值是.

經(jīng)過改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)使學(xué)生在教師的引導(dǎo)下開展探究活動(dòng)，問題更具開放性，學(xué)生的主體地位得到尊重，自主學(xué)習(xí)能力得到提升，從一元二次方程的學(xué)習(xí)過渡到二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，新舊知識產(chǎn)生聯(lián)系，銜接自然，加深了學(xué)生對知識的理解，將方程和函數(shù)知識進(jìn)行了串聯(lián)，構(gòu)建起新的知識體系.

教學(xué)反思

教師在課堂中的主導(dǎo)地位主要體現(xiàn)在能夠給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)主動(dòng)探究、理解數(shù)學(xué)的環(huán)境，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，在復(fù)習(xí)課中發(fā)現(xiàn)新的學(xué)習(xí)增長點(diǎn).

復(fù)習(xí)課不是簡單的知識重復(fù)，最忌諱無意義的重復(fù)，消耗學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，那么如何才能讓復(fù)習(xí)課上出新意，讓復(fù)習(xí)課觸發(fā)學(xué)生新的增長點(diǎn)呢？筆者認(rèn)為：

首先，教師要鉆研教材，明確教學(xué)目標(biāo). 部分教師常常忽略教學(xué)目標(biāo)的確定，使得很多復(fù)習(xí)課非常隨意，以至于浪費(fèi)時(shí)間. 有的教師把復(fù)習(xí)的知識挨個(gè)重復(fù)，有的教師準(zhǔn)備了一系列習(xí)題，學(xué)生做到哪里算哪里，這都偏離了復(fù)習(xí)課的目的. 教師在準(zhǔn)備復(fù)習(xí)課時(shí)，同樣要準(zhǔn)備好復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)，從哪些知識點(diǎn)展開，通過哪些活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，知識之間進(jìn)行怎樣的聯(lián)系等，只有精心準(zhǔn)備才能提高學(xué)生的復(fù)習(xí)效率.

其次，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課需要教師設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，教學(xué)活動(dòng)是達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的重要抓手和載體. 在數(shù)學(xué)活動(dòng)中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這是復(fù)習(xí)課是否達(dá)到效果的關(guān)鍵之一. 教師可以巧妙地設(shè)計(jì)問題，通過問題引領(lǐng)將新舊知識進(jìn)行串聯(lián)，將復(fù)習(xí)課進(jìn)行拓展和延伸，觸發(fā)學(xué)生新的增長點(diǎn)，發(fā)揮復(fù)習(xí)課最大的效果. 復(fù)習(xí)課上也可以通過創(chuàng)設(shè)情境，從學(xué)生熟悉的知識進(jìn)行導(dǎo)入，讓學(xué)生能夠快速地進(jìn)入復(fù)習(xí)的狀態(tài)，并自覺進(jìn)行新舊知識的串聯(lián). 此外還可以設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，讓學(xué)生在探究中體會數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法. 總之，豐富多樣的活動(dòng)可以有效提高課堂效率.

最后，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課需要進(jìn)行典型題的訓(xùn)練和評析，試題練習(xí)是復(fù)習(xí)課中不可回避的重要環(huán)節(jié)，但是在試題選擇上，要注重典型性和引導(dǎo)性，從典型試題中復(fù)習(xí)知識，發(fā)現(xiàn)學(xué)生知識的漏洞，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識的能力. 試題的訓(xùn)練并不是最終的目的，教師讓學(xué)生在習(xí)題練習(xí)中學(xué)會自主分析和解決問題，提高解題能力才是復(fù)習(xí)的目標(biāo). 因此在習(xí)題練習(xí)之后教師的評析就顯得尤為重要，根據(jù)學(xué)生的困惑和錯(cuò)誤，教師要進(jìn)行有重點(diǎn)的分析和總結(jié)，從試題中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納，總結(jié)數(shù)學(xué)的解題思路，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律，真正理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).

綜上所述，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是提升學(xué)生對知識的認(rèn)知能力，鞏固內(nèi)化所學(xué)，感悟數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵環(huán)節(jié). 在教學(xué)中教師要鉆研教學(xué)目標(biāo)，了解學(xué)情，在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上彌補(bǔ)缺漏，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)和探究，建構(gòu)起知識體系和數(shù)學(xué)模型，不斷增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，提升綜合素養(yǎng).