初中數(shù)學(xué)相似三角形的應(yīng)用課例研究

王珺

摘? 要：相似三角形的學(xué)習(xí)是初中數(shù)學(xué)課程中的重難點，也是中學(xué)生從恒等變換圖形到相似變換圖形學(xué)習(xí)的一個轉(zhuǎn)折點，在教學(xué)中難度較大。因此文章通過對相似三角形的判定課例設(shè)計，旨在讓學(xué)生了解相似三角形的判定定理。

關(guān)鍵詞：相似三角形;初中數(shù)學(xué);判定定理

一、教學(xué)任務(wù)分析

（一）教材分析

本節(jié)內(nèi)容是滬教版九年級上冊第二十四章第三節(jié)“相似三角形”的第一節(jié)課，在此之前學(xué)生已經(jīng)對相似圖形、比例線段等相關(guān)知識有所了解，因此本節(jié)課在學(xué)習(xí)的過程中起到的是承上啟下的作用，也是對之前全等三角形知識的內(nèi)容拓展。相似三角形定理1是相似三角形學(xué)習(xí)的最基本知識之一，這一知識點的學(xué)習(xí)也能夠為后期的判定定理學(xué)習(xí)提供一定依據(jù)，因此本章的學(xué)習(xí)尤為重要。

（二）學(xué)情分析

此前的教學(xué)內(nèi)容中已經(jīng)有對相似圖形的教學(xué)，本次課程學(xué)習(xí)也有一定的知識積累。九年級學(xué)生對幾何猜想有一定的判定基礎(chǔ)并且能夠進行幾何驗證。在這個階段中，學(xué)生具備較強的動手能力，在課程學(xué)習(xí)過程之中也能夠自主探究。

（三）教學(xué)目標

1. 掌握相似三角形的概念，掌握預(yù)備定理及判定定理1，并且可以通過這些定理來解決實際數(shù)學(xué)問題。

2. 能夠根據(jù)操作情況完成對于圖形的觀察以及猜想，并且可以通過度量形式來對數(shù)學(xué)知識進行驗證推理。

3. 能夠積極參與到課堂的學(xué)習(xí)之中，對數(shù)學(xué)知識進行探索，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識過程中的快樂。

重點：相似三角形的預(yù)備定理和判定定理1。

難點：探究三角形相似的條件。

二、教學(xué)流程安排

（一）教學(xué)活動流程

階段一：以問題的方式復(fù)習(xí)相似多邊形的定義，全等三角形的定義，它在形狀上、大小上有何特征;兩個全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角有什么關(guān)系，平等線分線段成比例定理。

階段二：明確本節(jié)課學(xué)習(xí)目標，學(xué)生通過測量法得出相似三角形預(yù)備定理。

階段三：由教師具體展示演繹推理過程。

階段四：運用所學(xué)知識去解決相似三角形等幾何問題，以小組的形式進行討論與分析，并嘗試寫出推理過程。

階段五：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出相似三角形判定定理1，并由學(xué)生自己整理與小結(jié)本節(jié)課所學(xué)知識。

（二）教學(xué)活動目的

1. 教師通過復(fù)習(xí)，了解學(xué)生的掌握情況，為下一階段的教學(xué)做好準備。

2. 為證明兩個三角形對應(yīng)線段比相等進而得出兩個三角形相似作鋪墊。

3. 驗證猜想，結(jié)論合理化。

4. 幫助學(xué)生理解吸收新知識，應(yīng)用新知識，提高學(xué)生的幾何思維水平。

5. 納入相似三角形知識體系中，擴充學(xué)生思維認知。

三、教學(xué)過程設(shè)計

（一）階段一：信息

問題1：什么叫相似多邊形？

問題2：什么叫作全等三角形？它在形狀上、大小上有何特征？

問題3：兩個全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角有什么關(guān)系？

師生活動：教師向?qū)W生提問。這些問題基本都是之前學(xué)習(xí)過的內(nèi)容，大多數(shù)學(xué)生可以直接回答。學(xué)生在前面幾節(jié)課中已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似多邊形的性質(zhì)和定義，在教師的幫助下可以得到相似三角形的定義。

設(shè)計意圖：識別學(xué)生對先前知識的熟練程度，通過概念性問題測試他們對概念的理解，將已學(xué)知識轉(zhuǎn)化為本次課程學(xué)到的內(nèi)容，將現(xiàn)有知識作為新知識，成長點自然轉(zhuǎn)化為他們在這堂課上學(xué)到的東西，讓學(xué)生感受到今天所學(xué)的東西并不陌生，增加學(xué)習(xí)的信心和興趣，感受幾何語言的正確性。

（二）階段二：定向引導(dǎo)

每個學(xué)生準備兩個相似三角形△ABC和△DEF，現(xiàn)移動△ABC，使得∠A和∠D重合，邊AB落在邊DE上，邊AC落在邊DF上，如圖1所示，BC和EF有什么樣的位置關(guān)系呢？反之，如果BC∥EF，那△ABC和△DEF相似嗎？接著將△ABC繞著A點旋轉(zhuǎn)180°，再次求解。

師生活動：學(xué)生先觀察，后分組討論，在教師的指導(dǎo)下大膽猜想。根據(jù)所學(xué)知識，學(xué)生獨立回答討論，只有一種方法可以證明兩個三角形相似。相似三角形的概念可以使用先前學(xué)到的知識來解釋，分別是平行線分線段成比例定理和性質(zhì)。分析結(jié)束后，選出兩組代表并展示在板書上。

板書之后，教師對內(nèi)容進行一些簡單分析，學(xué)生嘗試將命題進行歸納：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三形相似。

總結(jié)出以上結(jié)論之后，繼而提出問題在△ABC和△A1B1C1中，已知∠A=∠A1，∠B=∠B1，能證明△ABC和△A1B1C1，相似嗎？

設(shè)計目的：學(xué)生已經(jīng)具備較強的動手能力，通過實際動手操作來感受兩個三角形之間的關(guān)系，通過直觀感知進行猜想，但直觀的猜想是不夠的，需要從抽象層面提出假設(shè)，根據(jù)已知條件抽象出幾何問題之后，學(xué)生的幾何思維逐漸向抽象層次發(fā)展，幾何思維水平逐步從水平-2分析過渡到水平-3抽象。

（三）階段三：顯性化

經(jīng)過第二階段的定向引導(dǎo)，學(xué)生大概可以猜出兩者之間的相似關(guān)系，但對于怎樣進行推理演繹還是不清楚的，即使頭腦中有一些思路，也比較混亂，難以梳理，所以在這個階段主要由教師板書演示推理過程，使結(jié)論合理化。處于水平-2的學(xué)生發(fā)展到水平-3，尤其要關(guān)注水平-2的學(xué)生的轉(zhuǎn)化，注意適當指導(dǎo)使水平-3的學(xué)生也能有所收獲。

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析本題思路，在相似三角形證明的問題上，結(jié)合剛才學(xué)習(xí)的相似三角形預(yù)備定理，增加了一條證明的思路和依據(jù)，由此考慮通過移動其中的一個三角形，構(gòu)造出具有預(yù)備定理的特征的圖形，然后利用預(yù)備定理解答。分析過后，小組討論證明過程。教師帶領(lǐng)學(xué)生一起詳細作圖，板書演示過程如下：

證明：在射線AB上截取AD=A1B1，再過點D做∠ADE =∠B1，DE與射線AC相交于點E。

∵ AD=A1B1，∠A=∠A1，∠ADE=∠B1

∴ △ADE≌△A1B1C1

∵ ∠B=∠B1

∴ ∠ADE=∠B，得DE∥BC

∴ △ADE ∶ △ABC（相似三角形預(yù)備定理）

∴ △ADE ∶ △A1B1C1

此即相似三角形判定定理1：如果一個三角形的兩角和另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，則兩個三角形相似。

設(shè)計目的：在課堂上，以學(xué)生為主導(dǎo)，學(xué)生主動參加到相似三角形的預(yù)備定理的探索發(fā)現(xiàn)過程中，使其通過對相似三角形判定定理的觀察、猜想、討論、分析和證明過程提高了思維的條理性。在這個階段，教師應(yīng)參與到他們的分析、證明過程之中，帶領(lǐng)他們一起思考，學(xué)生在這個水平基礎(chǔ)上，能夠進行一些簡單的演繹推理，但是推理能力仍比較薄弱，對定理的理解還不夠深入，教師在班級走動的過程中，發(fā)現(xiàn)幾何知識薄弱的學(xué)生，可適時給予指導(dǎo)，不僅要講授證明的過程，更重要的是幫助學(xué)生梳理思路，使學(xué)生自然而然地往下一水平過渡。

（四）階段四：自由探索

經(jīng)過前面的探索發(fā)現(xiàn)過程，學(xué)生已經(jīng)初步了解了相似三角形預(yù)備定理和相似三角形判定定理1，接下來將知識應(yīng)用于具體問題中。在這個過程之中，學(xué)生會將剛才學(xué)習(xí)的內(nèi)容進一步鞏固，同時在學(xué)習(xí)上的問題也會暴露出來，教師便可根據(jù)學(xué)生暴露的實際掌握情況，對癥下藥，促進知識的內(nèi)化吸收。

（1）已知：如圖3，直線BE與DC交于A，∠E=∠C，求證：DA·AC=BA·AE

（2）如圖4，若△DAE經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、平移、特殊化后，（1）中的結(jié)論是否依然成立，如果成立請證明，反之則給出理由。

師生活動：教師和學(xué)生一起讀題，由學(xué)生自己找出題目中的已知條件和證明問題，先由學(xué)生獨立思考，然后小組一起討論、交流思路，在教師的帶領(lǐng)下梳理思路。在例1中，要證DA·AC=BA·AE，只要證明△ADE～△ABC即可。圖形做以下變換后，結(jié)論依然成立。在此基礎(chǔ)上，請兩名同學(xué)到黑板上進行板書，其他同學(xué)在作業(yè)本上完成，完成之后，同桌交換進行點評。

證明：（1）∵ ∠E=∠A，∠EAD=∠CAB

∴ △ADE ∶ △ABC（兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似）

∴ ■=■，即DA·AC=BA·AE

（2）∵ ∠A=∠A，∠ADB=∠ABC

∴ △ADE ∶ △ABC（兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似）

∴ ■=■，即DA·AC=BA·AE

設(shè)計目的：學(xué)生已經(jīng)能夠運用所學(xué)知識去解決相似三角形的幾何問題，在梳理了證明思路后能夠獨立完成證明過程的書寫，這就要求學(xué)生達到水平-3非形式化演繹水平或水平-4形式化演繹水平，在前面的研究中，只有25.9%的學(xué)生達到了形式化演繹水平，所以在此階段教師需要協(xié)助較多的學(xué)生來共同完成。在這一階段所解決的問題，不僅僅只是定理的簡單套用，更多的是需要深思熟慮之后的靈活運用，因此在這個階段，教師設(shè)置了不同難度的練習(xí)，由淺及深，引導(dǎo)學(xué)生的幾何思維能力穩(wěn)步提高，不同難度習(xí)題的設(shè)置，也能滿足不同幾何思維水平學(xué)生的需求，使學(xué)有所困的學(xué)生夯實基礎(chǔ)，使學(xué)有余力的同學(xué)拓展提高。

（五）階段五：整合

經(jīng)過前面幾個階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了相似三角形預(yù)備定理和相似三角形判定定理1，并能將它們進行應(yīng)用。

師生活動：由學(xué)生小結(jié)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容，有什么收獲，教師或其他同學(xué)給予適當補充。

設(shè)計目的：學(xué)生梳理了本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，加深對本節(jié)課的理解，加強知識的鞏固，對本節(jié)課學(xué)習(xí)的相似三角形知識進行全面的評價，內(nèi)化到自己的知識系統(tǒng)中。

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