圖形的旋轉(zhuǎn)在中考中的運(yùn)用與思考

周鳴

【摘要】旋轉(zhuǎn)變換作為初中幾何內(nèi)容的重要組成部分，是中考常考的內(nèi)容之一.本文通過(guò)研究以旋轉(zhuǎn)為背景的中考試題，分析了如何正確運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】幾何;旋轉(zhuǎn);全等

一、問(wèn)題背景

圖形的旋轉(zhuǎn)等幾何變換內(nèi)容是新課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求的知識(shí)模塊，也是中考必考的知識(shí)點(diǎn).近幾年，涉及幾何變換的內(nèi)容在中考中所占的比例越來(lái)越大，難度系數(shù)也不斷增加.所以，如何在教學(xué)過(guò)程中指導(dǎo)學(xué)生合理有效地認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的特征并利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來(lái)解題，是數(shù)學(xué)教師面對(duì)的重要任務(wù).這就需要我們?cè)谄綍r(shí)的課堂教學(xué)中加強(qiáng)思考，勇于探索實(shí)踐，努力摸索出一套行之有效的方法.

下面結(jié)合具體實(shí)例，談一談怎樣理解圖形旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的特征和本質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上指導(dǎo)學(xué)生如何在解題實(shí)踐中正確運(yùn)用旋轉(zhuǎn)知識(shí).

二、圖形旋轉(zhuǎn)的概念及其性質(zhì)

圖形的旋轉(zhuǎn)變換是指在同一平面內(nèi)，某一圖形繞一個(gè)定點(diǎn)順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度而得到的新位置圖形的一種圖形變換.它是初中幾何三大全等變換中最復(fù)雜也是應(yīng)用最廣泛的一種圖形變換.

四、解題感悟與思考

（一）圖形旋轉(zhuǎn)解題的三要素

旋轉(zhuǎn)作為一種圖形變換，利用圖形旋轉(zhuǎn)解題，首先要明確旋轉(zhuǎn)中的三要素——旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向，即繞哪個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，向哪個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)了多少度.復(fù)雜圖形中的某個(gè)特殊點(diǎn)往往就是旋轉(zhuǎn)中心，如果圖形中存在幾組共端點(diǎn)的等長(zhǎng)線段時(shí)，那么解題時(shí)我們常常以這些公共點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心來(lái)解決問(wèn)題.由于中考題型難度計(jì)算量的限制，旋轉(zhuǎn)角度往往是30°，60°，90°一些常用角度，而這些旋轉(zhuǎn)角度往往蘊(yùn)含在等腰直角三角形、等邊三角形、正方形等特殊的幾何圖形中，本文中的例題幾乎都屬于此種類型.另外，中心對(duì)稱作為旋轉(zhuǎn)的一種特殊情況（旋轉(zhuǎn)角為180°），在中考中也是經(jīng)常出現(xiàn)的.同時(shí)，我們?cè)谧约簶?gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形時(shí)，尤其要注意旋轉(zhuǎn)方向即順時(shí)針和逆時(shí)針的選擇，不要出現(xiàn)漏解.

（二）圖形旋轉(zhuǎn)解題的三步法

第一步，仔細(xì)審題，明確能否用圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.有些題目圖形間的旋轉(zhuǎn)關(guān)系并不是十分明確，需要我們轉(zhuǎn)變觀念，創(chuàng)新思想，巧妙添加各種輔助線，構(gòu)造各種幾何圖形，用動(dòng)態(tài)幾何的視角重新審視我們面對(duì)的研究對(duì)象，如例3中發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的旋轉(zhuǎn)關(guān)系.這一步是旋轉(zhuǎn)解題過(guò)程中最關(guān)鍵的一步.第二步，在發(fā)現(xiàn)圖形旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上，為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)解題的嚴(yán)密性，需要根據(jù)已知條件證明圖中確實(shí)存在所發(fā)現(xiàn)的旋轉(zhuǎn)關(guān)系.這一步需要用到三角形全等和相似的各種證明方法.第三步，在明確題目要求的前提下，結(jié)合旋轉(zhuǎn)變換中的一些基本圖形和數(shù)學(xué)思想方法，充分利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)1—4，尤其要特別重視性質(zhì)4，發(fā)現(xiàn)圖形中有關(guān)幾何要素的數(shù)量和位置關(guān)系.

（三）圖形旋轉(zhuǎn)解題的三境界

利用圖形的旋轉(zhuǎn)解題，既要求學(xué)生具備一定的動(dòng)手操作能力，也要求學(xué)生具有較強(qiáng)的空間想象能力.中考中涉及圖形旋轉(zhuǎn)的試題看似常見(jiàn)，但內(nèi)涵豐富，變化多端，要在紛繁復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)圖形中找到合理巧妙的解決方法，學(xué)生必須經(jīng)歷“看懂”“做對(duì)”“悟通”三種境界.“看懂”就是要求學(xué)生能夠用旋轉(zhuǎn)的眼光尋找解題方案，能夠從題目中找到旋轉(zhuǎn)圖形，同時(shí)要看到旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形之間一些幾何要素的各種對(duì)應(yīng)關(guān)系.當(dāng)然，有些題目表面上看同旋轉(zhuǎn)無(wú)關(guān)，但通過(guò)仔細(xì)挖掘可以發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏著非常巧妙的旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是利用旋轉(zhuǎn)解題的基本境界.“做對(duì)”就是要重新審視我們面對(duì)的旋轉(zhuǎn)圖形，能夠靈活應(yīng)用平時(shí)解題過(guò)程中學(xué)到的各種方法和模型，并尋求解決問(wèn)題的最佳方案.如例1中的軌跡法和例3中的截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是旋轉(zhuǎn)中的常用方法;例5中的由靜轉(zhuǎn)動(dòng)的思想也是我們?cè)诮忸}中經(jīng)常運(yùn)用的思想方法.“悟通”就是要善于在紛繁復(fù)雜的題型中總結(jié)出各種常用方法和數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，用旋轉(zhuǎn)思想統(tǒng)一方法，讓學(xué)生體會(huì)幾何構(gòu)造之美，幾何構(gòu)造之巧，感受數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力.

旋轉(zhuǎn)作為動(dòng)態(tài)幾何中的一個(gè)重要內(nèi)容，它不但是初中幾何的一個(gè)重要研究對(duì)象，也是我們研究問(wèn)題的一個(gè)重要方法.縱觀初中幾何教學(xué)的內(nèi)容，相當(dāng)部分都可以理解成在旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，很多幾何問(wèn)題也最終可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)解決.

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